МЕЂУ ИЗМЕЂУ

ЛИТИЦЕ ПРОСТИХ БРОЈЕВА

Кертис Купер (Брајан Тебенкамп)

Кертис Купер (Брајан Тебенкамп)

Недавно су помоћу рачунара открили највећи прост број до сада који има тачно 22.338.618 цифара! Три столећа пре наше ере славни математичар Еуклид сматрао је да их има бесконачно много, али израчунавање није нимало једноставно. Какве то везе има с бутном кости?

Можете ли да замислите највећи прост број? Да вам помогнемо: то је 274.207.281 – 1 (2 на 74.207.281 степен, па минус 1). Број са више од 22 милиона цифара, тачно 22.338.618! Има малтене пет милиона цифара више од претходног највећег. И одмах је назван М74207281. Можете га и сами израчунати ако 74.207.281 пута помножите 2 са самим собом, а напослетку од умношка одузмете 1.

Сада више не одмахујете главом у неверици? За доказивање постојања новог броја био је потребан 31 дан непрекидног рада личног (PC) рачунара са „Интеловим” (Intel i7-4900) централним процесором. Недавно га је открио др Кертис Купер на Универзитету Средњи Мисури (САД). Уколико пожелите сами да рачунате, једначина је сасвим једноставна: 2n – 1 (два на ма који степен мање један).

Додатна провера тачности протекла је знатно брже: новоизрачунати број М74207281 незавнос је потврђен на три различита рачунара и програма за само три и по дана.

Еуклидово пророчанство

Подухват „Велика интернет потрага за Марсеновим простим бројевима” (Great Internet Marsenne Prime Search, GIMPS) покренуо је у јануару 1996. Џорџ Волтман. Већ следеће године Скот Куровски га је оспособио да аутоматски користи стотине хиљада обичних кућних рачунара да би се убрзало трагање за овом математичком „иглом у пласту сена”.

Прости бројеви представљају
својеврсну „периодну таблицу”
за осталу сабраћу.

У потрагу за запањујућим низом, исписаним са знаних десет цифара (од 0 до 9), укључено је, посредством интернета, мноштво добровољно умрежених рачунара. За подвиг је унапред обећана награда од 100.000 долара коју додељује задужбина „Електронска граница”. Шта су то прости бројеви?

Прости бројеви представљају својеврсну „периодну таблицу” за осталу сабраћу, циглице чијим се разноврсним спајањем исписују сви познати. Прост број је сваки цели већи од један, дељив са самим собом и са јединицом.

Три столећа пре наше ере славни математичар Еуклид смстрао је да их има бесконачно много, иако није нимало лако да се пронађу. На први поглед зачас вам се учини да их свуда видите, почевши да исписујете 2, 3, 5, 7, 11, 13… али што се више удаљавате, прости бројеви су све неухватљивији. А која су једина два узастопна? (Вратите се на реченицу испред).

Највећи прост број (Википедија)

И највећи с почетка (да га изнова не пишемо), зато што се покорава већ написаној једначини, прозван је Марсеновим (Марен) у славу редовника из 16. столећа који је, нажалост, нетачно претпоставио да ни вечност не би била довољна да се одреди петнаестоцифрени или двадесетоцифрени прост број. (Сам је пронашао неколико).

Мерсенови бројеви су,
иначе, занимљиви и због
тога што се од њих добијају
тзв. савршени бројеви.

Упркос таквој погрешки, бројеви названи по овом теологу предмет су великог занимања јер се исказују у тако збијеном облику. Зар није лакше накитити 274.207.281 – 1, наместо мукотрпног и дуготрајног ређања више од 22 милиона цифара? Кудикамо је важније, међутим, да су осмишљени веома паметни поступци да бисте их нашли.

Прости, па савршени

Прости бројеви већ дуго привлаче пажњу и математичара и свакојаких занесењака. Првих неколико 2, 3, 5, 7, 11 и тако даље, али 8 није јер је дељив са 2 и 4. Ако узмемо у обзир да је општи облик Мерсеновог простог броја 2n – 1, при чему је n „обичан” прост број, лако закључујемо да су прва четири Мерсенова броја 3, 7, 31 и 127 (што одговара случајевима када је редом n једнако 2, 3, 5 и 7).

Мерсенови бројеви су, иначе, занимљиви и због тога што се од њих добијају тзв. савршени бројеви. Савршен је сваки број једнак збиру својих правих делилаца (укључујући и јединицу), а њихов општи облик је 2n–1 (2n – 1) где је 2n – 1 поменути Мерсенов број. Да појаснимо претходнo: први савршен број је 6 и он представља збир својих делилаца 1, 2 и 3, док је следећи 48 једнак збиру бројева 1, 2, 4, 7 и 14. Одмах је јасно да је познато укупно 49 савршених бројева, а за прва четири (6, 48, 496 и 8128) знало se још пре две хиљаде година.

Најочевиднији начин тражења простих бројева огледа се у тзв. факторизацији; покушајте, најпре, да их поделите с 3, па са 5, потом са 7 и тако редом; и ако ни са једним не иде, имате прост број. Последњи пут такав број препознат је 1588. године, зато што је с порастом вредности делење бивало све теже и дуже.

Марсен (Википедија)

Стога су математичати измислили лукавије провере простости (није исто што и простота) да би их што једноставније израчунавали. Лукас-Лемерова је најбоља, једина решава Марсенове просте бројеве, а најдивније од свега јесте да не изискује никакво делење, због чега је невероватно убрзана.

Потрајаће пет векова

До сада је срачунато само 49 Марсенових простих бројева, када урачунамо новајлију, од тога 15 увођењем велике претраге преко интернета. Подухватом су обухваћени појединци који су без накнаде изнајмили процерску снагу својих електронски рачунаљки у време празног хода.

Сваки барата једним бројем, испрва настојећи да га растави на мање чиниоце; ако то пропадне, уводи се Лукас-Лемерово испитивање.

Један рачунар који непрестано срачунава за осам дана провери број састављен од десет милиона цифара. Када се појединачни удруже, то је једнако моћи једног од најбржих суперкомпјутера у свету. Ниједан такав моћник не би могао да се издвоји да непрекидно израчунава просте бројеве.

Питагора се нимало
није двоумио:
„Све ствари су бројеви”.

Готово 40 одсто једноцифрених бројева су прости, 22 посто двоцифрених и 16 процената троцифрених.

Најновије постигнуће изузетно је битно за теорију бројева, мада је одгонетнута најкрупнија загонетка како су прости бројеви расподељени. А то личи, донекле, на пентрање уз литице Монт Евереста.

Еуклид (Википедија)

Лов на непознате просте бројеве изванредан је истраживачки изазов за тзв. расподељено (дистрибуирано) рачунарство. За проверу једног броја од сто милиона цифара стони рачунар утроши више од четири; допишете ли још једну нулу, потрајаће дуже од пет векова!

Тајни зарези из Африке

Старогрчки мудрац и математичар, Питагора, нимало се није двоумио: „Све ствари су бројеви”. Завет нашег великана Емилијан Јосимовића „Број и мера, то је моја вера” уткан је у витраж на здању Српске академије наука и уметности.

Питагорејци су учили да су бројеви додирљиви, непроменљиви и вечни, поузданији од пријатеља, а мање грозоморни од Зевса. Да ли се због тога и свеколики космос влада према математичким законима?

Послужимо се одговором Мерилин фон Савант, жене с највећим коефицијентом интелигенције (IQ 228), преузетим из књиге Клифорда Пиковера „Страст за математиком” (у издању „ННК интернационала” из Београда):

„Древни Грци су веровали да је природа математички створена, али судећи по развитку примењене математике, почињем да мислим напросто да је математика измишљена да опише све, а материја није изузетак.”

На Салемској опатији од 11. столећа стоји записано: „Сваки број, све до бесконачног, произишао је из јединице, а тиме из нуле”.

Још од 29 тајних зареза на бабуновој бутној кости из Африке, старих 35.000 година, људи су стално рачунали, упуштајући се у измишљање све већих и већих бројева којима, покаткад, нису налазили опипљиву намену. Чему служи највећи, ако не може ништа да самери?

Монах Михаило

О аутору

Станко Стојиљковић

Оставите коментар