ARHIMEDOVA TAČKA

MATEMATIČKA LEPOTA

1.560 pregleda

Nekad je neko duhovito primetio da je najlepši trenutak u životu matematičara onaj kratak period od momenta kada je dokazao teoremu do momenta kada pronađe grešku („Sinoć sam dokazao teoremu, jutros sam pronašao grešku u dokazu, noćas sam lepo spavao”).

Prof. dr Miodrag Petković

Matematički rezultati i teoreme mogli bi se rangirati do izvesnog stepena po svom značaju i uticaju, ali je veoma teško, vrlo verovatno i nemoguće, načiniti listu najlepših teorema. Lepota je estetska kategorija koja, budući da je dominantno iracionalna, samo u neznatnom delu podleže kvantitativnim ocenama. Više se radi o utisku koji proističe iz dubine, jednostavnosti, jasnoće, elegancije dokaza, neočekivane ideje, savršene simetrije, forme, primene u raznim disciplinama i drugih parametara koji karakterišu jednu teoremu ili formulu.

Mada lepota u matematici nesumnjivo postoji, niko ne bi mogao precizno da kaže u čemu se ona sastoji, a profesionalni matematičari se neće uvek složiti koje teoreme, dokazi, formule, ideje ili koncepti su najlepši. Jednostavno, postoje različite impresije i subjektivne ocene u vezi matematičkih rezultata.

Za profesionalne matematičare uživanje u poslu koji rade je dovoljan razlog da im je matematika lepa. Pa čak i onda kada ponekad pogreše. Nekad je neko duhovito primetio da je najlepši trenutak u životu matematičara onaj kratak period od momenta kada je dokazao teoremu do momenta kada pronađe grešku („Sinoć sam dokazao teoremu, jutros sam pronašao grešku u dokazu, noćas sam lepo spavao”). Jedan broj matematičara opisuje matematiku kao umetničku formu ili bar kao kreativnu aktivnost, upoređujući je često sa muzikom i poezijom. Drugi uživaju u eleganciji i lepoti dokaza teorema, nekima opet pojedine matematičke formule izgledaju izvanredno lepo. Rešenje teškog problema najvećem broju matematičara, ali i naučnika drugih struka, pruža veće zadovoljstvo nego dobijanje neke nagrade.

Matematika kao sublimirani i pročišćeni oblik
naučne misli, višestruko je povezana
sa estetikom.
Rešavanje matematičkih
problema praćeno je snažnim
estetskim doživljajem pa, prema tome, matematički
problem i njegovo rešenje mogu se
okarakterisati i
estetskim kategorijama.

Razvoj kompjuterske grafike, koji je jednim delom postala i novi vid umetnosti (tzv. digitalni print), doprineo je i vizuelnom doživljaju lepote kreiranih slika sa matematičkim sadržajem, koje kroz matematičke forme  interpretiraju raznovrsne procese i pojave. Da biste se uverili u to, dovoljno je pogledati knjige američkog naučnika i velikog popularizatora nauke Kliforda Pikovera The Math  Book (2009) i The Mathematics Devotional (2014), kao i mnogobrojne sajtove.

Matematika kao sublimirani i pročišćeni oblik naučne misli, višestruko je povezana sa estetikom. Naime, rešavanje matematičkih problema praćeno je snažnim estetskim doživljajem pa, prema tome, matematički problem i njegovo rešenje mogu se okarakterisati i estetskim kategorijama. Više detalja o povezanosti matematike i estetike može se naći u knjizi „Matematika i estetika” (2003) Ljubiše Kocića, profesora Elektronskog fakulteta u Nišu.

Iz estetsko-matematičkih iskustava izvedene su neke tradicionalne karakteristike „ dobro uređenih” estetskih predmeta, kao npr. proporcija, simetrija, harmonija, ritam itd. Ove karakteristike mogu se opisati modelima euklidske geometrije, a u nekim slučajevima i drugim vrstama klasičnih neeuklidskih geometrija. Estetski predmeti koji nisu „ dobro uređeni”, već su pre amorfni i haotični (oblaci, mahovina, talasi i slično), takođe nalaze svoj adekvatni matematički model u fraktalnim geometrijama.

Čuveni američki matematičar Džordž Birkof (1884-1944) bavio se eksperimentalnom estetikom povezujući sledeće tri veličine koje se mogu meriti:

M – intenzitet estetskog doživljaja ili estetska mera;

C – kompleksnost (složenost) estetskog predmeta, koji je proporcionalan naporu pažnje potrebnom za njegovu percepciju;

O – mera uređenosti, harmonija ili simetrija predmeta koji se posmatra.

Polazeći od funkcionalne zavisnosti M=f(O/C) i koristeći Košijevu funkcionalnu jednačinu f(x+y)=f(x)+f(y), Birkof je izveo sledeću jednostavnu  formulu

 

koja  u praksi daje zadovoljavajuće rezultate u jednostavnim situacijama. Valjanost svoje formule Birkof je proverio testirajući grupe studenata na Kolumbija univerzitetu (1929) i Univerzitetu Harvard (1930) na primeru dvadeset mnogouglova. Studenti su se složili da je „rejting” pojedinih poligona koji daje Birkofova formula sasvim u skladu sa estetskim izgledom poligona.

Na ovom mestu iznosimo mišljenja nekoliko čuvenih matematičara i filozofa o lepoti u matematici:

Aristotel: „ Osnovni elementi lepote u matematici su red, proporcija i preciznost”.

  1. F. Gaus: „Ne znanje, već proces učenja, i ne [matematički] rezultat već postupak dolaska do njega, pružaju najveće uživanje”.

G. H. Hardi: „Matematičar je, kao i slikar ili pesnik, kreator modela… Matematički modeli, kao i slikarski ili pesnički, moraju biti lepi… Lepota je prvi test: nema mesta u svetu za ružnu matematiku.”

A. Poenkare: „Osećanje matematičke lepote, harmonija brojeva i formi, geometrijska elegancija, predstavljaju istinski estetski osećaj, poznat svim matematičarima”.

M. G. Mitag-Lefler: „Rad velikog broja matematičara je umetnost, vrhunska umetnost, smela kao najskriveniji snovi mašte, jasna i čista”.

DŽ. Polja: „Elegancija matematičke teoreme je direktno proporcionalna broju nezavisnih ideja koje ona sadrži, a obrnuto je proporcionalna naporu da se one uoče”.

V. Fuler: „Kada završim i vidim da rešenje nije lepo, ja znam da je pogrešno”.

S. Banah: „Matematika je najlepša i najmoćnija kreacija ljudskog duha”.

A. Kejli: „Lepota [u matematici] može biti opažena ali se ne može objasniti”.

Umesto pokušaja da definiše lepotu u matematici, Dejvid Vels, britanski matematičar i pisac nekoliko matematičkih knjiga, izabrao je jedan  indirektan ali interesantan način da se približi, manje-više, tačnom odgovoru. On je zapravo načinio listu najlepših rezultata u matematici. U tu svrhu, napravio je upitnik sa 24 najlepše teoreme (po njegovom izboru) i objavio ga u časopisu The Mathematical Intelligencer (#4, 1988). Čitaoci su zamoljeni da lepotu svake od tih teorema ocene ocenom od 0 do 10. Rang-lista teorema načinjena prema prosečnoj oceni objavljena je u Velsovom radu  u broju 4 (1990) istog časopisa. Jasno je da ova rang-lista, isto kao u slučaju rang-lista najlepših slika ili muzičkih dela/pesama, ima neformalan značaj.

U nastavku predstavljamo prvih deset teorema iz časopisa The Mathematical Intelligencer, a čitaocima ostavljamo da komentarišu ovu listu prema svom ličnom osećaju za matematičku lepotu. Prosečna ocena navedena je u zagradi.

 

  1. (7.7) e+1=0 (veza između pet najznačajnijih matematičkih konstanti) (Ojlerova formula).

Matematika na šolji i bedžu, Muzej matematike (MoMat, Njujork) (foto M. Petković)

  1. (7.5) Ojlerova formula za poliedar:

V + F – E = 2

(V – broj temena, F – broj strana, E – broj ivica)

  1. (7.5) Broj prostih brojeva je beskonačan.
  2. (7.0) Postoji 5 pravilnih poliedara.


  1. (Ojlerova formula).
  2. (6.8) Svako neprekidno preslikavanje zatvorenog jediničnog kruga u sebe ima nepokretnu tačku.
  3. (6.7) Ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat jednako 2.
  4. (6.5) Π je transcendentan broj.
  5. (6.2) Svaka mapa u ravni može se obojiti pomoću 4 boje.

  1. (6.0) Svaki prost broj oblika 4n+1može se na jedinstven način predstaviti kao zbir dva kvadrata celih brojeva.

O autoru

Stanko Stojiljković

3 komentara

  • Eseji profeosra Midoraga Petkovića su izuzetni, naročito za nas društvenjake koji smo – pesnički kazano – svetlosnim godinama udaljeni od matematike. Verujem da ih pažljivo čitaju nastavnici u školama, pa i na pojedinim fakultetima, jer uzbudljivo i zanimljivo opisuju pojedine pojave i događaje.

  • Razmišljanja profesora Petkovića o matematičkoj lepoti su vanredna. Helenski filozofi su u brojevima i geometriji tragali za savršenom lepotom. Platon je u svojoj akademiji kroz geometrijska tela nastojao da slikovito prikaže nadlepotu kao filozofsku kategoriju. Platonove teoretske postavke univerzalni genije renesanse Leonardo Da Vinči ovekovečio je kroz svoje crteže poliedara sa kojima je ostavio definiciju večne lepote.

  • Procitao sam ovaj divan clanak u pravom trenutku, kada je nama iznad 65 godina zbog kovida zabranjen izlazak. Posto sam imao intuiciju gde mogu da nadjem lepe formule dao sam se na posao i zabavu (skoro godinu dana). Nije bilo bitno sto formule mozda ne postoje, ili ako postoje vec su pronadjene, sto resavaju probleme koji nemaju primenu u praksi i koji mogu da se rese na drugi nacin (mnogo duzi). Koliko su formule lepe (zbog simetrije) govori cinjenica da kada sam dokazao za n=2 gde se na 6 mesta koriste dve deteminante drugog reda i za n=3 gde se na 8 mesta koriste 4 deteminante treceg reda mogao sam da napisem bez dokaza formule za n=4 gde se na 10 mesta koriste po 8 deteminanti cetvtog reda. Posto mislim da ovo nema kod nas u literaturi, a da bi bilo dostupno drugima napravio sam GRUPU na fejzbuk: Sistemi jednacina kod kojih su koeficijenti komp. brojevi i kvaternioni. Iako je rad dug (50 stranica) kada se preskoce dokazi i primeri letimicno pogledaju onda nije mnogo.

Ostavite komentar