U toku pandemije, kada je veliki deo sveta u samoizolaciji, vreme provedeno u stanu ili kod kuće može korisno da se provede, da se nešto nauči, čak i zabavi. Nemali broj univerziteta u svetu, brojna matematička društva i mnogi naučno-stručni magazini rešili su da to urade putem elementarnih matematičko-logičkih zadataka. „Galaksija” se pridružuje borbi protiv dosade zbirkom izabranih zadataka čija su rešenja zasnovana na efektnim i oštroumnim idejama. Ona su po pravilu kratka, neočekivana i lepa, i kao takva privlačna za matematičke talente, a biće objavljena u nekim od sledećih izdanja. Većinu zadataka sa rešenjima nalazi se na sajtu www.miodragpetkovic.com (opcija teme u meniju).
Prof. dr Miodrag Petković
1. Svaka od dve sveće sa fitiljem, kada se upali potpuno sagori za jedan sat. Sveće su različite visine i širine, a i njihov sastav nehomogen. Kako se pomoću ove dve sveće može izmeriti vreme od 45 minuta?
2. Tri gimnastičarke imaju na majicama takmičarske brojeve 1, 3 i 6. Kakav položaj treba da zauzmu da dobijeni trocifren broj bude deljiv sa 7?
3. Podove osam prostorija jedne kuće, čiji je raspored prikazan na slici 1, treba obojiti pomoću četiri boje tako da prostorije koje su susedne po horizontalama, vertikalama i dijagonalno ne budu obojene istom bojom. Površina poda svake prostorije jednaka je 9 kvadratnih metara, sa izuzetkom one na vrhu koja iznosi 18 kvadratnih metara. Na raspolaganju su sledeće boje: crvena, za bojenje površine od 27, žuta za 27, zelena za 18 i plava za 9 kvadratnih metara.
4. Šahovska figura skakač nalazi se na vrhu table koja se koristi u popularnoj igri solitera, ali bez centralnog polja (sl. 2). Na tabli se nalazi 31 žeton koje skakač treba da uzme sa table praveći neprekidnu putanju svojim skokovima u minimalnom broju poteza koji, očigledno, iznosi 31. Rešenje nije jedinstveno.
Sl. 1 Sl. 2
5. Jednog dana, tačno u 6 ujutru, planinar je počeo da se penje uskom stazom koja je spiralno vodila do planinarskog doma na vrhu planine. Planinar je išao neravnomernom brzinom, često se odmarajući na svom putu. Na vrh planine stigao je pred zalazak sunca. Pošto je prespavao u planinarskom domu, sutradan ujutru u 6 sati krenuo je niz planinu. Spuštao se istom stazom i išao neravnomernim korakom povremeno se odmarajući. Dokazati da postoji tačka na stazi u koju će on dospeti prilikom spuštanja tačno u isto vreme kao prethodnog dana dok se penjao uz planinu.
6. Iz mesta A polazi biciklista u mesto B brzinom od 10 kilometara na sat, a u isto vreme iz mesta B istim putem polazi drugi biciklista u mesto A brzinom od 15 kilometara na sat. U momentu njihovog polaska, iz mesta A poleće lasta u susret biciklisti koji ide iz smera B. Kada stigne do njega, lasta odmah zaokreće nazad i vraća se prema biciklisti iz mesta A i posle susreta opet leti ka biciklisti iz B. Sve vreme dok se biciklisti približavaju jedan drugom, lasta leti od jednog do drugog sve do njihovog susreta. Ako je brzina ptice 50 kilometara na sat, a mesta A i B su jedno od drugog udaljena 100 kilometara, odrediti koliki put je prešla lasta.
7. Dato je 14 žetona, po dva u crvenoj, plavoj, zelenoj, ljubičastoj, braon, žutoj i beloj boji, i 14 kvadrata jedan uz drugi u liniji (sl. 3). Potrebno je postaviti ove žetone u kvadrate tako da se između dva crvena žetona nalazi 7 žetona, između dva plava žetona 6, između dva zelena žetona 5 i tako redom, i na kraju između dva bela žetona jedan žeton, kao što je označeno na slici 3. Postoji 26 rešenja ne računajući simetrična (u obrnutom redosledu), dovoljno je naći jedno.
Sl. 3 Sl. 4
8. Brojeve od 1 do 19 treba rasporediti po ćelijama figure prikazane na slici 4 (tzv. magični šestougao ili heksagon), tako da zbirovi po svim pravcima (ima ih ukupno 3 x 5 = 15) budu međusobno jednaki. Na slici je naznačeno 5 od ukupno 15 pravaca. Ovaj zadatak zahteva dosta vremena i zato evo male pomoći: zbir u svim pravcima jednak je 38.
9. Dva poznanika, koja se dugo nisu videla, razgovaraju o svojim porodicama.
– Koliko imaš dece?
– Troje, sve tri ćerke.
– Koliko imaju godina?
– Proizvod njihovih godina je 36, a
zbir godina jednak je broju one kuće.
– Nisi mi dovoljno rekao.
– Najstarija ćerka svira klavir.
Koliko godina ima svaka devojčica?
10. Petnaest krijumčara i petnaest mornara, zajedno sa kapetanom, putovalo je brodom koji je zahvatila oluja. Ispostavilo se da brod može biti spašen jedino ako polovina putnika napusti brod. Kapetan je rasporedio svih tridesetoro putnika duž kruga, i počevši sa brojanjem od određene osobe, svakog devetog čoveka je ukrcavao u čamac za spasavanje. Zadatak se sastoji u pravljenju takvog rasporeda krijumčara i mornara na krugu i određivanje osobe od koje treba početi brojanje sa svrhom da svi mornari ostanu na brodu, a svi krijumčari budu ukrcani u čamac.
11. U sobi se nalazi sijalica koja se kontroliše pomoću jednog od 3 prekidača smeštenih izvan sobe. Soba je zatvorena i sa mesta gde se nalaze prekidači ne može se videti unutrašnjost sobe (pa dakle ni sijalica). Kako se može utvrditi koji prekidač pali sijalicu ako je dozvoljen samo jedan ulazak u sobu i nema ograničenja u rukovanju prekidačima (uključivanje i isključivanje) pre ulaska u sobu?
12. Data je mini šahovska tabla 4 x 3 sa 6 skakača (sl. 5). Zadatak se sastoji u tome da beli i crni skakači međusobno zamene mesta u minimalnom broju poteza. Naizmeničnost poteza belog i crnog nije neophodna. One koji su zaboravili da igraju šah podsećamo da se skakač kreće „na G”, tj. dva polja pravo, a onda jedno polje u stranu pod pravim uglom levo, desno, gore ili dole.
Sl. 5 Sl. 6
13. Podeliti krst od papira koji se sastoji od 5 jednakih kvadrata (sl. 6) na četiri dela pomoću dva pravolinijska reza, tako da se od njih može sastaviti kvadrat.
14. Sa plafona galerije visokog 30 metara vise dva konopca na rastojanju od pola metra. Iskusni planinar treba da iseče što veći deo konopaca (računajući oba konopca). Jedini alat koji ima su makaze. Strategija penjanja do plafona po jednom konopcu i sečenje onog drugog je naivna i sigurno nije najbolja. Da li postoji bolja strategija koja omogućuje da se planinar vrati sa znatno većom dužinom konopca?
15. Vozač velike mašine za sečenje stabala zalutao je u šumi, bez mape, orijentira i samo sa 220 litara goriva u rezervoaru mašine koja troši 10 litara goriva po kilometru. Poznato mu je da je šuma površine 60 kvadratnih kilometara i ima oblik elipse. Pomozite drvoseči da sa svojom mašinom izađe iz šume?
16. Farmer želi da zasadi devet stabala javora tako da ona formiraju deset redova (u obliku pravih linija), pri čemu u svakom redu treba da budu tri stabla. Kako će to učiniti?
17. Ana postavlja tri neprozirne flaše na sto, jednu do druge u pravoj liniji. U jednoj od flaša nalazi se mrtva tarantula. U ostale dve su žive otrovne tarantule. Ana zna šta je u kojoj flaši, ali vi ne znate.Možete postaviti Ani pitanje na koje će vam odgovoriti sa da ili ne, i pri postavljanju pitanja morate istovremeno da pokažete na jednu od flaša. Ako pokažete na flašu sa živom tarantulom, ona će reći istinu. Ako pokažete na flašu sa mrtvom tarantulom, ona će proizvoljno reći da ili ne. Vaš zadatak je da nađete jednu od živih tarantula postavljajući samo jedno pitanje.
18. Na jednom ostrvu živi tačno 2.020 kameleona, među kojima ima plavih, zelenih i crvenih. Ako se sretnu dva kameleona različitih boja, oni istovremeno promene boju i oba postaju iste boje, one treće (na primer, ako se sretnu plavi i zeleni, oba postaju crveni). Jednog dana na ostrvu je bilo 1.000 plavih, 600 crvenih i 420 zelenih kameleona. Može li se desiti da posle izvesnog vremena svi kameleoni budu iste boje?
19. Dvanaest pirata napalo je brod koji je prevozio blago i zaplenilo tovar u kome je bilo između 28.000 i 70.000 zlatnika. Posle pljačke pirati su se iskrcali na malo ostvo i rešili da odmah podele blago. Pri deobi plena svi su dobili isti broj zlatnika, ali je jedan zlatnik ostao nepodeljen. U svađi zbog preostalog zlatnika jedan pirat je ubijen. Kad je ostalih 11 pirata ponovo pokušalo da podele plen, ispostavilo se da je opet ostao jedan zlatnik nepodeljen. Ponovo je došlo do žučne rasprave i još jedan pirat je ubijen. Malo priglupi i svakako nezajažljivi pirati nastavili su sa podelom zlatnika među desetoricom preživelih. Ponovila se ista priča, jedan zlatnik je ostao nepodeljen i u neizbežnoj svađi još jedan pirat je izgubio život, itd. Kad je u životu ostalo samo šest pirata, jedan od njih, malo pametniji od ostalih, uzviknuo je: „Stanite braćo, ne budimo toliko glupi, i dalje će biti isto i još će neko nastradati. Bolje je da date meni taj jedan prokleti zlatnik, a ostale ćemo podeliti na jednake delove.” Pirati su ga poslušali, dali su mu jedan zlatnik, a ostatak su podelili tako da je svako dobio isti broj zlatnika. Koliko su zlatnika zaplenili pirati?
20. Poglavica plemena Murgulu negde u istočnoj Africi ima četiri sina i želi da im pokloni veliku plantažu kafe koja je izbrazdana stazama tako da liči na šahovsku tablu 8 x 8. Staze služe beračima da se lakše kreću po plantaži. Na plantaži se nalaze četiri drveta baobaba (sl. 7). Da ne bi došlo do svađe među braćom, poglavica namerava da svaki dobije parcelu iste površine i istog oblika i da svaka od njih sadrži po jedno drvo baobaba. Podela se može izvršiti samo duž staza. Pomozite poglavici da izvrši planiranu podelu.
Sl. 7
