ARHIMEDOVA TAČKA

SPIRALE I 4 BUBAMARE

Ilustracija

 

Povremeno će se u Novoj Galaksiji pojavljivati zanimljivi prilozi iz sveta matematike koji uključuju interesantne matematičke formule, događaje iz sveta matematike i života velikih matematičara i elementarne ali intrigantne i izazovne zadatke, za čije rešavanje je dovoljno srednjoškolsko znanje matematike. Većina ovih priloga, kao i još matematičkih priča i zanimljivosti, može se naći na sajtu www.miodragpetkovic.com autora ovih priloga (opcija teme u meniju).


Prof. dr Miodrag Petković

LOGARITAMSKA SPIRALA

Logaritamska spirala je ravanska kriva data jednačinom u polarnim koordinatama

(sl. 1). Ime sledi iz gornje jednačine. Konstante a i b određuju brzinu rasta spirale i stepen njene zakrivljenosti.

Sl. 1 Logaritamska spirala                           Sl. 2 Loksodroma

Logaritamsku spiralu prvi su izučavali francuski matematičar i filozof Rene Dekart (1596-1650) i švajcarski matematičar Jakob Bernuli (1655-1705). Bernuli je pokazao nekoliko interesantnih osobina spirale. Na primer, isto kao i krug, logaritamska spirala seče svoje radijuse pod konstantnim uglom, zbog čega se u literaturi može sresti i naziv ekviugaona spirala. Ovo svojstvo je iskorišćeno u navigaciji. Kriva koja odgovara logaritamskoj spirali, a leži na površi Zemljinog globusa, zove se loksodroma (sl. 2) i ona preseca geografske meridijane pod konstantnim uglom.

Sl. 3 Komorni nautilus, Chris 73                    Sl. 4 Stepeniše crkve sa

perspektivom u obliku logaritamske

spirale Brad Hamonds

Logaritamska spirala često se pojavljuje u prirodi i prirodnim oblicima, počev od jednoćelijskih mikroorganizama do ogromnih galaksija. Najpopularnija pojava logaritamske spirale jeste, svakako, kod školjke morskog mekušca komornog nautilusa (Nautilus pompilius, videti sliku 3). Kako mekušac raste, on gradi sve veće i veće komore u svom kućištu, i izoluje male koje ostaju neiskorišćene. Vrlo interesantno je da se oblik kućišta ne menja dok mekušac raste.

Logaritamske spirale često se mogu sresti i u građevinskim strukturama. Jedan od najlepših primera je stepenište crkve u mestu Kutna Hora u Češkoj (sl. 4), koje je osmislio arhitekta Jan Blažej Santini-Ajšel u 18. veku.

Sl. 5 Spiralna galaksija NGC 1300, NASA, 2005

Spiralne galaksije poprimaju oblik logaritamske spirale. Na slici 5 prikazana je spiralna galaksija NGC 1300, snimljena svemirskim teleskopom Habl” 2005, videti sajt

http: //hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2005/01/image/a/

Procenjuje se da je 15% svih galaksija, uključujući i naš Mlečni put, spiralnog oblika, dok su najstarije i najveće elipsastog oblika. To se dešava zbog toga što se one sastoje od relativno tankog diska gasa i zvezda koji se svi zajedno okreću oko centra. Što je objekat (ili skup objekata kao što je naš solarni sistem) bliži galaktičkom centru, on se brže kreće formirajući na taj način spiralu. Ovo je prilično uprošćeno objašnjenje, nova saznanja ukazuju na mnogo složenije uticaje, naročito susednih galaksija.

Na kraju, jedan zadatak za čitaoce koji vole da rešavaju interesantne zadatke. Četiri bubamare A, B, C i D nalaze se na temenima kvadrata stranice L santimetara (sl. 6). U jednom trenutku bube istovremeno polaze jedna prema drugoj: A prema B, B prema C, C prema D i D prema A. Njihove brzine su jednake i konstantne. Posle izvesnog vremena bube će se sresti u centru kvadrata. Koje putanje u ravni tačaka A, B, C i D opisuje svaka buba? Naći rastojanje koje je prešla svaka buba od polaska do susreta u centru. Pomenimo da se ovaj zadatak našao više puta na intervjuima kandidata za posao u IT kompanijama (Microsoft, Google i druge).

Odgovor: Svaka buba opisuje logaritamsku spiralu, videti sliku 7. Dokaz prepuštamo čitaocima. Pređeno rastojanje je dodatno pitanje za čitaoce. Za detaljno rešenje pogledati autorov sajt izdanje 35 (jun 2019) ili knjigu Famous Puzzles of Great Mathematicians (American Mathematical Society, Providence, 2009) autora ovog priloga.

Sl. 6 Trka bubamara                                              Sl. 7 Putanje bubamara

O autoru

Stanko

Ostavite komentar