ARHIMEDOVA TAČKA

JEDNOSTAVNO A PRETEŠKO

JEDNOSTAVNO A PRETEŠKO

Povremeno će se u ovoj rubrici pojavljivati zanimljivi prilozi iz sveta matematike koji uključuju interesantne matematičke formule, događaje iz sveta matematike i života velikih matematičara i elementarne ali intrigantne zadatke za čije rešavanje je dovoljno srednjoškolsko znanje matematike. Većina ovih priloga, kao i dosta matematičkih priča i zanimljivosti, može se naći na sajtu www.miodragpetkovic.com autora ovih priloga (opcija teme u meniju).


Prof. dr Miodrag Petković

Formulacije nekih matematičkih hipoteza ili zadataka mogu biti veoma jednostavne, a da rešenja budu veoma teška, u nekim slučajevima i da se, zasad, do njih još nije došlo. Čuveni matematičar David Hilbert (1862-1943) jednom prilikom je rekao da je prvi kriterijum za dobar problem taj da se on može sa lakoćom objasniti većini prolaznika na ulici. Pomenućemo dva čuvena problema takvog tipa.


Sl. 1 Licem-centrirano pakovanje jednakih sfera

Keplerov problem (1671) Naći najgušće pakovanje jednakih sfera u trodimenzionalnom prostoru.

Veličina koja meri efikasnost pakovanja je gustina, definisana kao odnos ukupne zapremine objekata koji se pakuju i zapremine posude u koju treba da se smeste svi objekti kada dimenzija posude teži u beskonačnost. Kepler je verovao da je tzv. licem-centrirano kubno pakovanje (sl. 1) najgušće moguće sa gustinom . Velika upornost Tomasa Hejlsa, profesora Pitsburškog univerziteta, dovela je do rešenje posle 334 godine od postavke. Hejlsov dokaz pomoću računara i intervalne aritmetike, objavljen je 2006. godine na 265 strana! Interesantno, piljari nisu bili impresionirani ovom vrstom pakovanja. Takav način pakovanja je sasvim uobičajen za nas, kažu oni, naš problem je aranžiranje artičoka.

Fermaova poslednja teorema (1670) Jednačina nema celobrojna pozitivna rešenja za i kada jeprirodan broj

Uprkos velikom naporu mnogi veliki matematičari koji su živeli posle Fermaa nisu uspeli da dokažu ovo tvrđenje, koja je, ustvari, sve vreme bila hipoteza. Tek posle više od 300 godina Endru Vajls, profesor Univerziteta u Prinstonu, dokazao je da je Fermaova pretpostavka bila tačna i tako je hipoteza najzad postala teorema. Ispostavilo se da je, uprkos jednostavne formulacije, Fermaov problem veoma dubok i neočekivano težak. Vajls je sedam godina intenzivnog rada posvetio rešavanju ovog problema, oslanjajući se na veoma korisne rezultate svojih prethodnika.

U nastavku dajemo kratku listu otvorenih (nerešenih) problema čije su postavke po pravilu dosta jednostavne.

Erdeš-Štrausova hipoteza (1948) U Starom Egiptu svi razlomci, izuzev 2/3, predstavljani su kao zbir tzv. jediničnih razlomaka, tj. razlomaka sa jediničnim brojiocima (da je to moguće dokazao je čuveni Leonardo iz Pize, zvani Fibonači, još 1202). Na primer (Rajndsovi papirusi), 2/97=1/56+1/679+1/776. Erdeš i Štraus postavili su 1948. sledeće pitanje:

Da li se svaki razlomak oblika može predstaviti kao suma od tri Egipatska razlomka

= ?

Pomoću računara provereno je da ova hipoteza važi za svako , nema kontraprimera ali je i beskonačnost nezamislivo daleko. Teško je poverovati da će ovaj metod iscrpljivanja dati rezultat.

Goldbahova hipoteza (1742) Tokom korespondencije između pruskog matematičara i istoričara Goldbaha i čuvenog naučnika Ojlera formulisana je sledeća hipoteza

Svi parni prirodni brojevi veći od 2 mogu se predstaviti kao suma dva prosta broja.

Do današnjih dana hipoteza nije ni dokazana ni opovrgnuta iako je testirana (naravno, pomoću računara) sve do Jedan matematičar je duhovito primetio da je formulacija toliko jednostavna da ne postoji ideja odakle početi. Na sl. 2 prikazana je tzv. Goldbahova kometa pomoću koordinata, (u opsegu od 4 do 1 000 000) predstavlja broj načina na koji se broj može predstaviti kao zbir dva prosta broja. Slika podseća na Halejevu kometu (sl. 3), otuda i ime.


Sl. 2 Goldbahova kometa Sl. 3 Halejeve kometa, W. Liller (NASA)

Konstrukcija Mebijusove trake. Mebijusova traka je vrsta neorijentisane površi. Obično se kaže da Mebijusova traka ima samo jednu stranu, što je matematički nekorektno. Matematička površ nema strane i debljinu. Ispravno je reći da je Mebijusova traka neorijentisana. Da bi se dobila Mebijusova traka , potrebno je uzeti pravougaonu traku papira (recimo), uviti jedan kraj za i zalepiti krajeve trake, kao što je prikazano na slici 4.


Sl. 4 Konstrukcija Mebijusove trake Sl. 5 Mebijusova traka

Opisana konstrukcija zaista zvuči jednostavno i postavlja se pitanje šta ovde može da bude problem i evo tog pitanja:

Ako je širina pravougaone trake 1, koliko iznosi najmanja dužina trake koja obezbeđuje ovu konstrukciju?

Odgovor na ovo jednostavno (na prvi pogled) pitanje je određivanje broja takvog da je od pravougaone trake dimenzije moguće konstruisati Mebijusovu traku za ali je to nemoguće učiniti ako je . Zvuči neverovatno, ali odgovor nije poznat. Zasad je jedino dokazano da važi . Dakle, interval između i je siva zona za posmatrani problem. Velika većina matematičara veruje da je , ali ovo tvrđenje ostaje samo hipoteza jer niko nije ponudio strog matematički dokaz.

Optimizacioni problem: kako progurati sofu kroz hodnik? Kanadski matematičar Leo Mozer postavio je 1966. godine optimizacioni problem koji se često sreće u praksi i koji se može posmatrati u dve dimenzije. Hodnik stana ima L – oblik jedinične širine. Kroz ovaj hodnik potrebno je uneti krutu sofu manevrisanjem oko ugla hodnika koji oznosi , videti sliku 6.

Problem se sastoji u nalaženju dvodimenzionalnog oblika (preseka) sofe najveće površine.

Dozvoljeno je birati proizvoljan presek sastavljen od više sekcija. Na primer, Džon Gerver je za presek sofe uzeo zatvorenu krivu dobijenu spajanjem 18 glatkih krivih i dobio .

Na prvi pogled izloženi problem je jednostavan, međutim do današnjeg dana nije rešen. Donju granicu za jedinične širine je lako naći, ona se dobija ako prečnik sofe ima oblik polukruga jediničnog poluprečnika i tada je očigledno . Najveća dosad pronađena granica za je a odredio ju je Džon Hamersli još 1968. godine.


Sl. 6 Problem sofe

Ni matematičari ne mogu baš sve da reše, evo jedne prigodne anegdote (priča je istinita). Čuveni matematičar Vilijam Feler (1906-1970) (inače rođen u Hrvatskoj kao Vilibard Srećko Feler, od 1939. živeo je u SAD) i njegova žena pokušali su jednom da presele veliki okrugli sto iz dnevne sobe u trpezariju. Gurali su ga, vukli, rotirali i manevrisali, ali svi njihovi pokušaji da prenesu sto kroz vrata ostali su bez uspeha. Frustriran i izmoren, Feler je seo na pod s olovkom i papirom i pokušao da modelira postojeću situaciju. Nakon nekoliko minuta izveo je dokaz da ono što oni pokušavaju da urade nije moguće. Dok je Feler bio okupiran izračunavanjima, njegova žena je nastavila sama da se bori sa stolom i uspela da ga pregura u trpezariju.

O autoru

Stanko

Ostavite komentar