АРХИМЕДОВА ТАЧКА

ЈЕДНОСТАВНО A ПРЕТЕШКО

ЈЕДНОСТАВНО A ПРЕТЕШКО

Повремено ће се у овој рубрици појављивати занимљиви прилози из света математике који укључују интересантне математичке формуле, догађаје из света математике и живота великих математичара и елементарне али интригантне задатке за чије решавање је довољно средњошколско знање математике. Већина ових прилога, као и доста математичких прича и занимљивости, може се наћи на сајту www.miodragpetkovic.com аутора ових прилога (опција теме у менију).


Проф. др Миодраг Петковић

Формулације неких математичких хипотеза или задатака могу бити веома једноставне, а да решења буду веома тешка, у неким случајевима и да се, засад, до њих још није дошло. Чувени математичар Давид Хилберт (1862-1943) једном приликом је рекао да је први критеријум за добар проблем тај да се он може са лакоћом објаснити већини пролазника на улици. Поменућемо два чувена проблема таквог типа.


Сл. 1 Лицем-центрирано паковање једнаких сфера

Кеплеров проблем (1671) Наћи најгушће паковање једнаких сфера у тродимензионалном простору.

Величина која мери ефикасност паковања је густина, дефинисана као однос укупне запремине објеката који се пакују и запремине посуде у коју треба да се сместе сви објекти када димензија посуде тежи у бесконачност. Кеплер је веровао да је тзв. лицем-центрирано кубно паковање (сл. 1) најгушће могуће са густином . Велика упорност Томаса Хејлса, професора Питсбуршког универзитета, довела је до решење после 334 године од поставке. Хејлсов доказ помоћу рачунара и интервалне аритметике, објављен је 2006. године на 265 страна! Интересантно, пиљари нису били импресионирани овом врстом паковања. Такав начин паковања је сасвим уобичајен за нас, кажу они, наш проблем је аранжирање артичока.

Фермаова последња теорема (1670) Једначина нема целобројна позитивна решења за и када јеприродан број

Упркос великом напору многи велики математичари који су живели после Фермаа нису успели да докажу ово тврђење, која је, уствари, све време била хипотеза. Тек после више од 300 година Ендру Вајлс, професор Универзитета у Принстону, доказао је да је Фермаова претпоставка била тачна и тако је хипотеза најзад постала теорема. Испоставило се да је, упркос једноставне формулације, Фермаов проблем веома дубок и неочекивано тежак. Вајлс је седам година интензивног рада посветио решавању овог проблема, ослањајући се на веома корисне резултате својих претходника.

У наставку дајемо кратку листу отворених (нерешених) проблема чије су поставке по правилу доста једноставне.

Ердеш-Штраусова хипотеза (1948) У Старом Египту сви разломци, изузев 2/3, представљани су као збир тзв. јединичних разломака, тј. разломака са јединичним бројиоцима (да је то могуће доказао је чувени Леонардо из Пизе, звани Фибоначи, још 1202). На пример (Рајндсови папируси), 2/97=1/56+1/679+1/776. Ердеш и Штраус поставили су 1948. следеће питање:

Да ли се сваки разломак облика може представити као сума од три Египатска разломка

= ?

Помоћу рачунара проверено је да ова хипотеза важи за свако , нема контрапримера али је и бесконачност незамисливо далеко. Тешко је поверовати да ће овај метод исцрпљивања дати резултат.

Голдбахова хипотеза (1742) Током кореспонденције између пруског математичара и историчара Голдбаха и чувеног научника Ојлера формулисана је следећа хипотеза

Сви парни природни бројеви већи од 2 могу се представити као сума два проста броја.

До данашњих дана хипотеза није ни доказана ни оповргнута иако је тестирана (наравно, помоћу рачунара) све до Један математичар је духовито приметио да је формулација толико једноставна да не постоји идеја одакле почети. На сл. 2 приказана је тзв. Gолдбахова комета помоћу координата, (у опсегу од 4 до 1 000 000) представља број начина на који се број може представити као збир два проста броја. Слика подсећа на Халејеву комету (сл. 3), отуда и име.


Сл. 2 Голдбахова комета Сл. 3 Халејеве комета, W. Liller (NASA)

Конструкција Мебијусове траке. Мебијусова трака је врста неоријентисане површи. Обично се каже да Мебијусова трака има само једну страну, што је математички некоректно. Математичка површ нема стране и дебљину. Исправно је рећи да је Мебијусова трака неоријентисана. Да би се добила Мебијусова трака , потребно је узети правоугаону траку папира (рецимо), увити један крај за и залепити крајеве траке, као што је приказано на слици 4.


Сл. 4 Конструкција Мебијусове траке Сл. 5 Мебијусова трака

Описана конструкција заиста звучи једноставно и поставља се питање шта овде може да буде проблем и ево тог питања:

Ако је ширина правоугаоне траке 1, колико износи најмања дужина траке која обезбеђује ову конструкцију?

Одговор на ово једноставно (на први поглед) питање је одређивање броја таквог да је од правоугаоне траке димензије могуће конструисати Мебијусову траку за али је то немогуће учинити ако је . Звучи невероватно, али одговор није познат. Засад је једино доказано да важи . Дакле, интервал између и је сива зона за посматрани проблем. Велика већина математичара верује да је , али ово тврђење остаје само хипотеза јер нико није понудио строг математички доказ.

Оптимизациони проблем: како прогурати софу кроз ходник? Канадски математичар Лео Мозер поставио је 1966. године оптимизациони проблем који се често среће у пракси и који се може посматрати у две димензије. Ходник стана има L – облик јединичне ширине. Кроз овај ходник потребно је унети круту софу маневрисањем око угла ходника који озноси , видети слику 6.

Проблем се састоји у налажењу дводимензионалног облика (пресека) софе највеће површине.

Дозвољено је бирати произвољан пресек састављен од више секција. На пример, Џон Гервер је за пресек софе узео затворену криву добијену спајањем 18 глатких кривих и добио .

На први поглед изложени проблем је једноставан, међутим до данашњег дана није решен. Доњу границу за јединичне ширине је лако наћи, она се добија ако пречник софе има облик полукруга јединичног полупречника и тада је очигледно . Највећа досад пронађена граница за је а одредио ју је Џон Хамерсли још 1968. године.


Сл. 6 Проблем софе

Ни математичари не могу баш све да реше, ево једне пригодне анегдоте (прича је истинита). Чувени математичар Вилијам Фелер (1906-1970) (иначе рођен у Хрватској као Вилибард Срећко Фелер, од 1939. живео је у САД) и његова жена покушали су једном да преселе велики округли сто из дневне собе у трпезарију. Гурали су га, вукли, ротирали и маневрисали, али сви њихови покушаји да пренесу сто кроз врата остали су без успеха. Фрустриран и изморен, Фелер је сео на под с оловком и папиром и покушао да моделира постојећу ситуацију. Након неколико минута извео је доказ да оно што они покушавају да ураде није могуће. Док је Фелер био окупиран израчунавањима, његова жена је наставила сама да се бори са столом и успела да га прегура у трпезарију.

О аутору

Stanko

Оставите коментар