Povremeno će se u ovoj rubrici u pojavljivati zanimljivi prilozi iz sveta matematike koji uključuju interesantne matematičke formule, događaje iz sveta matematike i života velikih matematičara, a i elementarne, intrigantne i izazovne, zadatke za čije rešavanje je dovoljno srednjoškolsko znanje. Većina ovih priloga može se naći na sajtu www.miodragpetkovic.com.
Prof. dr Miodrag Petković
U aprilu su skoro svi vodeći svetski mediji objavili su da je od korona virusa umro u 82. godini Džon Horton Konvej, jedan od najvećih matematičara današnjice, „magični genije” kako su ga zvali naučnici širom sveta. Njegov doprinos teoriji brojeva, kombinatorici, teoriji kodiranja, topologiji, teoriji čvorova, algebri, analizi, teoriji verovatnoće i drugim oblastima matematike je nemerljiv. Ko je bio DŽ. H. Konvej?
Rođen 1937. godine u Liverpulu, bio je čuveni britanski profesor matematike na Univerzitetu u Kembridžu a kasnije i Prinstonu, član Kraljevskog društva, poznat je ne samo u matematičkom društvu već i među matematičarima amaterima zbog velikog doprinosa kombinatornoj teoriji igara i mnogim granama rekreativne matematike. Postao je preko noći slavan kada je 1970. izmislio famoznu „igru života” (Game of Life), ćelijski automat koji predstavlja jednu vrstu veštačke simulacije života. Ćelijski automat je jednostavan matematički sistem za modeliranje složenih fizičkih procesa. Može da posluži za modeliranje rasprostiranja biljnih vrsta, razmnožavanja životinja kao što su školjke, ponašanja hemijskih reakcija, širenja šumskih požara itd.
Delovanje DŽna Konveja u popularnoj matematici najbolji je odgovor svim matematičarima koji smatraju nedostojnim (?!) da naučnici koji se bave ozbiljnom matematikom ne bi trebalo da se bave rekreativnom matematikom. Zaboravili su (ili nisu dovoljno informisani) da su to radili i takvi velikani poput Njutna, Ojlera, Gausa, Kejlija, Hamiltona, Erdeša, Fon Nojmana, Litlvuda, Knuta i mnogih drugih. Takođe su zaboravili i da su neke veoma važne grane matematike nastale pri rešavanju i analizi problema rekreativnog tipa.
U ovom prilogu nećemo se baviti njegovim naučnim dostignućima koja su, čak, i za većinu univerzitetskih profesora bila ponekad preteška. Jedan njegov kolega je jednom izjavio da je s Konvejem skoro nemoguće sarađivati jer je probleme koje su on i saradnici rešavali više meseci, ovaj rešavao za nedelju dana ili manje. Zbog toga je i dobio nadimak „magični genije”. Umesto toga prikazaćemo biser iz njegove zbirke zanimljivih zagonetki za čije rešavanje nije potrebna baš nikakva škola, mada treba reći da mnogi univerzitetski profesori nisu uspeli da dođu do rešenja.
Zadatak se može se naći u knjizi Famous Puzzles of Great Mathematiciansautora ovog priloga, koju je publikovalo Američko matematičko društvo (AMS) 2009. godine. Ovo pominjem zbog toga što mi se tom prilikom imejlom obratio sam Džon Konvej i zahvalio na uključivanje njegovog zadatka u ovu kolekciju sa duhovitim komentarima (u svom poznatom stilu) da dotad „nije znao da ga smatraju velikim matematičarem”. Bio sam veoma počašćen ovom porukom jer je došla od „magičnog genija” svetske nauke. Posebno ga je oduševilo grafičko rešenje problema (sl. 3) koje je dizajnirao Vladimir Petković, danas kreativni direktor grafičkog odeljenja megakompanije Adobe u San Francisku.
Zadatak glasi ovako (sl. 1):
Potrebno je sastaviti kocku dimenzije 5x5x5 od trinaest blokova (blok=kvadar) 1x2x4, tri bloka 1x1x3, jednog bloka 2x2x2 i jednog bloka 1x2x2.
Zagonetka je veoma teška jer postoji ogroman broj rasporeda blokova, naročito ako se sa rešavanjem krene koristeći metod probe i greške. Kada se pojavila, skoro da je izluđivala ljude širom sveta, a popularna je i u današnje vreme. Prvo pitanje koje se odmah logično postavlja jeste koje blokove staviti u prvim potezima jer od toga zavisi dalji proces. Stara izreka da je „početak uvek najteži” je više nego tačna u slučaju ovog zadatka. Većina čitalaca bi provela dane i nedelje da bi došla do rešenja (što baš nije humano, ni svrsishodno – ko voli (i ima dovoljno vremena), nek izvoli), i zato evo malo pomoći na početku. Za to su zaslužni holandske arhitekte J. Slotauber i V. Gracmakoji su pokazali kako treba rasporediti tri najmanja bloka i to bi bio uvod u rešenje, videti sliku 2. Pomenuo bih da je zadatak pakovanja kocke vrlo izazovan i za programere.
Zašto baš ovakav raspored? Odgovor je da najmanji blokovi 1x1x3 moraju zauzeti svih 15 nosača 5×5 u sve tri perspektive (sl. 2). Sada kada znamo kako izgleda početna baza, nije naročito teško doći do rešenja, i pritom se i dobro zabaviti. Ova zagonetka se u vidu igračke i danas prodaje širom sveta, a mogu se iskoristiti i lego kockice kao modeli. Jedinstveno rešenje (isključujući rotacije i refleksije u ogledalu) pakovanja kocke 5x5x5 ilustrovano je na slici 3.
Sl. 3 Konvejevo pakovanje kocke (Ilustracija
Vladimir Petković, Adobe)
U ovom kratkom prilogu pomenimo i da je Džon Konvej, takođe, poznat po jednom neobičnom beskonačnom nizu prirodnih brojeva pod nazivom „gledaj-i-reci” (look-and-say)1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211…
Da bi se generisao sledeći član niza, potrebno je „pročitati”cifre predhodnog člana brojeći broj cifara u grupama sa istom cifrom. Na primer:
1 se čita kao „jedna cifra 1” ili 11.
11 se čita kao „dve cifre 1” ili 21.
21 se čita kao „jedna cifra 2, zatim jedna cifra 1” ili 1211.
1211 se čita kao „jedna cifra 1, jedna cifra 2, zatim dve cifre 1” ili 111221.
111221 se čita kao „tri cifre 1, dve cifre 2, zatim jedna 1” ili 312211. Niz je monotono rastući. Interesantno je da se kao cifre članova ovog niza javljaju samo brojevi 1, 2 i 3, a on je našao primenu u teoriji kodiranja.
Dodajmo da se ovaj niz javlja u literaturi i kao zagonetka pod nazivom „Kukavičje jaje” koja glasi: Koji je sledeći član u nizu 1, 11, 21, 1211, 111221? Kao što se moglo očekivati u slučaju Konvejevih zagonetki, mali broj osoba bio je u stanju da nastavi ovaj niz.
