Lojcen Brauer je 1917. sproveo filozofsku analizu sveg rasuđivanja u matematici, u prilog onog zaključivanja koje bi dopuštalo „intuitivnu konstrukciju” matematičkih objekata, a što je označeno kao „intuicionizam”. On B odbacuje zakon isklučenja trećeg, zakon negacije negacije kao afirmacije, odnosno indirektno zaključivanje u matematici i drugo, u korist rasuđivanja koje ima stalno u vidu samu konstrukciju objekta o kome je reč.
Milan D. Tasić.
Rečima „intuicija”, „kontemplacija”, „sozercanje”, mi ne nalazimo analogone u našem jeziku, sve i da ih filozofi, matematičari, umetnici… dovoljno tačno određuju u područjima znanja u kojima ih koriste. U prvoj od njih se prepoznaje latinski glagol tueor, tueri, tuitus sum, u značenju „gledati”, „motriti”, odnosno, isti taj glagol s prefiksom in u reči intueor, a koju prevodimo onda sa „zagledati se”, „uprti pogled u” i slično. A što se ponavlja i u slovenskoj reči „sozercanje”, o kojoj možemo reći, ako na neki način i pripada srpskom jeziku, da se ipak smatra zastarelom, pa utoliko i ne koristi.
Naime, reč „zrenje” znači „vid”, „viđenje” i njen se koren prepoznaje u rečima „pozor”, „prozreti” i slično, kao što i u ruskom jeziku reč „zrenie” označava to isto, gde prefiks „s” upućuje samo na viši stepen opažanja predmeta u koji je uprt naš pogled. Tako je i u grčkom jeziku. Tamo je to reč theoria (= teorija), čiji se prefiks the sadrži u rečima thea (= pogled), theoreo (= gledati), theatron (= teatar), pa čak i u reči Theos (= Bog).
Možemo se zapitati zašto se koriste baš reči s korenom „vid” u našem odnosu prema svetu, onda kada želimo da ga saznamo, a pogotovo kada je reč o verodostojnosti znanja koje stičemo? Da je moguće i vrhovno božanstvo starih Slovena ponelo je stoga imena „Vid”, „Svetovid” i slično. Nema sumnje da je ono što nam dostavlja ovo čulo, čulo vida, jasnije od svega što čine druga čula, da kad vidimo, recimo, beo cvet, možemo pouzdano reći „Ovaj cvet je beo”, nemajući potrebu da to dokazujemo. Kao što ne dokazujemo ni bilo koju istinu tipa „A = A”, „Ja postojim”, „Postoji svet” i slično, a za koje stoga kažemo da su intuitivno jasne.
No, teolozi, filozofi, umetnici i drugi, slično čulu vida, domislili su u čoveku i „duhovno čulo”, „razumsko čulo”, „pesničko čulo” i sličnp, ponovo kao vid neposrednog dosezanja istine o nekom predmetu. U toj ulozi bio je i Sokratov „demon” kada mu je, kao znak savesti, kazivao šta treba da čini ili, pak, Bergsonova „intelektualna simpatija”, putem koje čovek, lišen logičkih argumenata, ima moć da zađe u samu suštinu stvari, odnosno „pesnička intuicija” nemačkih romantičara Šlegela i Novalisa, a koja ovima pomaže da izraze neizrecivo. U isto vreme, uzdignuće duše ka Bogu i njeno mistično jedinstvo s njim, poznaju gotovo sve religije: budizam, judaizam (Kabala), pravoslavlje (isihazam), katolicizam (kvijetizam), islam (sufizam) i tako dalje.
U filozofiji, pak, imamo to da je, još od Aristotela istinitost nekog stava nužna posledica važenja tri logička zakona: zakona identiteta, zakona neprotivrečnosti i zakona isključenja trećeg, a to su i tri „klasična zakona”, kojima će (tek) Lajbnic dodati i četvrti, zakon dovoljnog razloga. Recimo, zakon isključenja trećeg nalaže da svaka stvar ili postoji ili ne postoji, i samo jedno od toga ili, pak, da je svaki stav bilo istinit, bilo lažan, a ne i jedno i drugo i slično.
I drugi (važan) pojam u matematici, pojam „aktuelne beskonačnosti”, intuicionisti takođe odbacuju, u korist pojma „potencijalne beskonačnosti” ili „beskonačnosti u nastajanju”, a do koje se prispeva uzastopnim generisanjem, jedan za drugim, objekata nekog skupa, počev od datih i datih operacija na početku.
No, kako je tokom istorije naučno mišljenje bivalo sve apstraktnije, to su i sami logički zakoni morali biti utoliko ispravljani. Na primer, Nikolaj Lobačevski (1792-1856) je pokazao bio da je moguće konstruisati geometrije u kojima peti Euklidov postulat ne važi, kako onu gde se kroz tačku van date prave ne može povući nijedna prava paralelna sa njom (eliptička geometrija), tako i onu gde je takvih pravih beskonačno mnogo (hiperbolička geometrija). Postoji, dakle, geometrija u kojoj jedan postulat (tvrđenje) važi (ravna, Euklidova), kao i geometrije, njene negacije, s kojima to nije slučaj. Čime biva upravo narušeno važenje zakona isključenja trećeg.
Lobačevski (Vikipedija)
Slično se može reći i s obzirom na Gedelove rezultate o potpunosti formalnih sistema koji sadrže u sebi aritmetiku, jer je ovaj američko-austrijski logičar pokazao 1931. godine da u svakom takvom sistemu postoji formula A koja je zajedno sa svojom negacijom ~ A nedokaziva u njemu. Nije, dakle, slučaj taj da je, u skladu sa ovim zakonom, bilo formula, bilo njena negacija, nužno dokaziva u njemu. Osim toga, pokazuje se, iako su A i ~ A nedokazive formule u računu iskaza, da je disjunkcija tih formula ipak dokaziva, suprotno odredbi ove logičke operacije. A što se sve prenosi i na račun predikata, kad je reč o egzistencijalnom kvantifikatoru.
Različite primedbe mogu biti upućene isto tako i onda kada je reč o zaključivanju počev od suprotnog (reductio ad absurdum), naime, da „ako iz A sledi B, tada iz ~ B sledi ~ A” i tako dalje, a pogotovo kada je reč o stvarnom (realnom) postojanju matematičkih objekata, na čije se postojanje samo ukazuje. Jer kakva bi realnost mogla da pripadne, recimo, prostoru s beskonačno mnogo dimenzija ili skupu svih beskonačnih skupova i slično.
To je navelo Lojcena Brauera (1891-1966) da 1917. godine sprovede filozofsku analizu sveg rasuđivanja u matematici, u prilog onog zaključivanja u njoj koje bi dopuštalo „intuitivnu konstrukciju” matematičkih objekata, a što je označeno kao „intuicionizam”. Brauer odbacuje zakon isklučenja trećeg, zakon negacije negacije kao afirmacije, odnosno indirektno zaključivanje u matematici i drugo, u korist rasuđivanja koje ima stalno u vidu samu konstrukciju objekta o kome je reč.
Imamo, recimo, da će formula koja izražava stav „Za svaka dva realna broja a i b, ili je a = b, ili a ≠ b”, biti istinita u klasičnoj logici, ali ne i u intuicionističkoj, upravo zbog konstruktivnog karaktera pojma dokazivosti. Naime, ako su a i b neperiodični decimalni razlomci, svaki postupak upoređivanja njihovih decimala pozivao bi na beskonačno mnogo koraka i ne bi mogao da se završi.
Brauer (Vikipedija)
I jedan drugi (važan) pojam u matematici, pojam „aktuelne beskonačnosti”, intuicionisti takođe odbacuju, u korist pojma „potencijalne beskonačnosti” ili „beskonačnosti u nastajanju”, a do koje se prispeva uzastopnim generisanjem, jedan za drugim, objekata nekog skupa, počev od datih i datih operacija na početku. Takav je, na primer, skup prirodnih brojeva, koji se dobija sukcesivnom primenom operacije + 1 na broj 0, u osnovi.
Imamo tako, kad je reč o klasičnoj i intuicionističkoj logici, da sve formule koje važe u drugoj, važe i u prvoj, ali ne i obratno. Na primer, u klasičnoj logici se iz formule A može da pređe u njenu dvostruku negaciju ~ ~ A i obratno, to jest formula A → ~ ~ A je istinita, kao što je istinita i formula ~ ~A → A, ali u intuicionističkoj logici nije to slučaj sa drugom od njih. Potom, oba Demorganova zakona ~ (A ∨ B) ↔ ~ A ∧ ~ B i ~ (A ∧ B) ↔ ~ A ∨ ~ B važe „klasično”, a „intuicionistički”, pak, samo prvi od njih i tako dalje, da bi se te okolnosti zatim prenele i na Demorganove stavove u predikatskom računu. Ili, pak, sada implikacija A → B nije ekvivalentna sa ~ A ∨ B, kao u klasičnom računu i tako redom.
Tako je težnja za „konstruktivnim” karakterom pojma dokazivosti u intuicionističkoj logici pobudila interes za odredbom pojma izračunljivih funkcija u matematici – kao i pojmova „programa”, „algoritma”, „mašina” i slično – da bi se tridesetih godina prošlog veka pojavile i njegove prve, inače ekvivalentne definicije. Bile su to: λ–račun Alonza Čerča (1932), Tjuringove mašine (1935), rekurzivne funkcije Stivena Klinija (1940), a potom i Markovljevi algoritmi (1954) i druge. Klini je, recimo, problem dokazivosti neke formule u logičkom računu sveo na skup rekurzivnih funkcija koji joj odgovara i taj postupak nazvao „ostvarljivost” (realizability), pokazavši, uz to, da je svakoj formuli dokazivoj u intuicionističkoj logici moguće pridružiti takav program, putem kojeg bi bila ona „ostvarljiva”, to jest njene vrednosti mogle biti nađene za svaku vrednost argumenta. Jedna dalja posledica ovog stava je da je u ovoj logici moguće definisati jedino izračunljive funkcije i tako dalje.
Tjuring (SPL)
Potom, kada je reč o funkcijama čije vrednosti mi nalazimo intuitivno, Tjuring se latio (1936/7) da detaljno analizira rad ljudskog mozga u toj prilici, pokazavši da je za svaku takvu funkciju moguće konstruisati neku Tjuringovu mašinu, onako kako ju je on bio odredio. To izražava „Tjuringova teza”, a koja je, pak – na jeziku rekurzivnih funkcija – ekvivalentna „Čerčovoj tezi”, prema kojoj je svaka izračunljiva funkcija opšterekurzivna.
Reč je o tome da naše računanje vrednosti funkcije za izvesnu vrednost argumenta, u sadržinskoj (intuitivnoj) oblasti, biva ovoga puta „dramatično” uprošćeno, utoliko što će takva „mašina” (ipak, samo apstrakcija) „umeti” tek da zapiše ili izbriše neki simbol u nekom polju, pomeri se ulevo, udesno ili ostane na istom mestu i zatim pređe u drugo stanje, da bi se ovakav „rad” mašine produžio do izvesnog konačnog stanja. Svoju analizu Tjuring počinje rečima: „Ponašanje čoveka koji računa je u svakom trenutku određeno simbolima koje opaža, kao i njegovim ,stanjem uma᾽ u tom trenutku, pri čemu je broj simbola koje može on da prepozna konačan. Ako bismo i dozvolili beskonačno mnogo simbola, bilo bi onih koji se razlikuju beskrajno malo…” i tako dalje.
Tako se od (intuitivne) jasnoće zaključivanja u matematičkoj logici i filozofske rasprave koja ju je pratila, došlo do „programa”, „mašina”, „rekurzivnih funkcija” i drugog – na samom početku informatičke ere, koja će, od druge polovine prošlog veka, doživeti neslućen razvoj u svim područjima ljudske delatnosti i do te mere izmeniti naš život.
Intuitivno rasuđivanje se u sadržinskoj oblasti može da izrazi pomoću računskih programa. Pomenimo i interaktivno sredstvo „Kok”, razvijeno u Nacionalnom institutu za istraživanja u informatici i automatici (INRIA) u Parizu, putem kojeg je nađeno konačno rešenje, inače, složenog „problema četiri boje” u matematici
Kasnije su, šezdesetih godina prošloga veka, dvojica matematičara Keri i Hauard ukazali na neobično plodan karakter ovog odnosa izomorfizma između dokaza u intuicionističkoj logici i računskih programa. Oni su odredili pojam „tipa”, kao skup podataka, funkcija i drugo, kojima je moguće manipulisati na uniforman način, pokazavši kako se svakom koraku rasuđivanja u intuicionističkoj logici, može da pridruži neki akt izgradnje programa u okviru odgovarajućeg tipa podataka.
Intuitivno rasuđivanje se, dakle, u sadržinskoj oblasti može da izrazi pomoću računskih programa. U tom smislu je i francuski matematičar Žan Iv-Žirar konstruisao programski jezik, nazvan „F”, na bazi λ–računa (1970), da bi potom i Šveđanin Per Martin-Lof sazdao takav jezik za konstruktivne teorije, označen kao „teorija tipova”. Pomenimo i interaktivno sredstvo „Kok”, razvijeno u Nacionalnom institutu za istraživanja u informatici i automatici (INRIA) u Parizu, putem kojeg je nađeno konačno rešenje, inače, složenog „problema četiri boje” u matematici, a koji se formuliše rečima: „Na geografskoj karti, jednom od četiri boje, obojiti svaku zemlju različito”.
I ne samo to. Pomenuti odnos izomorfizma između dokaza teorema u intuicionističkoj logici i računskih programa u informatici našao se u osnovi više novih teorija, poput teorije dokaza, teorije kategorija, linearne logike i drugih, doprinevši u znatnoj meri upravo razumevanju moći matematike da zađe u sadržinske oblasti stvarnosti i valjano ih izrazi.
