ARHIMEDOVA TAČKA

ČUDESNI RELOOV TROUGAO

Ilustracija

Osim kruga, najjednostavnija zatvorena kriva konstantnog dijametra i ima oblik „krivolinijskog trougla. Zbog svojih neobičnih osobina našao je primenu u različitim disciplinama, počev od arhitekture, bušenja kvadratnih rupa, konstrukcije motora za razne namene (pokretanje automobila, aviona, vodenih skutera), automatskih robota-usisivača, pa sve do trzalica za gitare.


Prof. dr Miodrag Petković

Povremeno će se u ovoj rubrici u pojavljivati zanimljivi prilozi iz sveta matematike koji uključuju interesantne matematičke formule, događaje iz sveta matematike i života velikih matematičara i elementarne ali intrigantne i izazovne zadatke za čije rešavanje je dovoljno srednjoškolsko znanje matematike. Većina ovih priloga, kao i još matematičkih priča i zanimljivosti može se naći na sajtu www.miodragpetkovic.com autora ovih priloga (opcije teme u meniju).

Prilog počinjemo malim podsetnikom iz geometrije: za figuru u ravni kaže se da je konveksna ako duž koja spaja bilo koje dve tačke A i B ove figure takođe pripada ovoj figuri. Krug, elipsa, kvadrat i trougao su primeri ograničenih konveksnih figura u ravni. Sada je lakše shvatititi kako se u geometriji definišu konveksne figure konstantnog dijametra, koje su glavna tema ovog priloga. Pojednostavljeno, to su figure kod kojih je rastojanje između proizvoljnog para paralelnih „nosećih pravih (dve prave istog nagiba koje obe dodiruju konturu figure bez preseka) konstantno, bez obzira na orijentaciju ovih pravih. U literaturi se često umesto termina dijametar kolokvijalno koristi termin „širina.

Ako posmatramo figuru S na slici 1 vidimo da normalna rastojanja Da i Db, koja odgovaraju pravcima definisanim vektorima a i b, nisu jednaka i figura S nije figura konstantne širine. Na slici 2 je prikazana figura konstantne širine i to upravo Reloov trougao, o kome će nadalje biti reči. Čuveni matematičar Leonard Ojler bio je prvi koji je otkrio postojanje pomenutih figura o kojima je pisao u svom radu iz 1781.

Da li je krug jedina zatvorena kriva u ravni sa konstantnim dijametrom? Na ovo pitanje većina ljudi će odgovoriti potvrdno, što je netačno. Postoji beskonačno mnogo zatvorenih krivih konstantnog dijametra.

Neprepoznavanje takvih krivih imalo je štetne posledice u praksi, naročito u industriji obrade materijala.

Izuzimajući krug, najjednostavnija zatvorena kriva konstantnog dijametra jeste Reloov trougao, po imenu nemačkog inženjera i matematičara Franca Reloa (F. Reuleauh, 1829-1905) koji je dosta radio na praktičnim primenama Reloovog trougla. Ovaj „krivolinijski trougao dobija se kada se iz temena jednakostraničnog trougla ABC opišu kružni lukovi poluprečnika jednakog stranici trougla (sl. 3a). Očigledno je da ovako konstruisan (Reloov) trougao mora imati konstantan dijametar jednak stranici trougla ABC.

S obzirom da Reloov trougao (skraćeno RT) ima konstantan dijametar, njegova kontura je ograničena parom paralelnih linija koje se seku pod pravim uglom. Na taj način ove četiri prave formiraju kvadrat, odakle proizilazi da se Reloov trougao može okretati unutar kvadrata stranice jednake dijametru trougla. Pri ovoj rotaciji RT u svakom trenutku ostvaruje kontakt sa sve četiri stranice kvadrata (sl. 3b). Svaki „ugao trougla opisuje putanju koja je skoro kvadratnog oblika, sa malim zaobljenjima u uglovima kvadrata. Ova osobina dala je ideju engleskom inženjeru Hariju Vatsu da 1914. godine konstruiše rotirajuću burgiju koja je mogla da buši rupe kvadratnog oblika! Vatsova bušilica prikazana je na sl. 4. Bušenje je obezbeđeno odgovarajućim vođenjem bušilice. Poprečni presek burgije je, u stvari, Reloov trougao na kome su, da bi se načinile ivice za sečenje i rendisanje, napravljena tri udubljenja.


Sl. 3 Reloov trougao

Sve ravanske figure istog dijametra d, uključujući i Reloov trougao, imaju jednake obime (sledi na osnovu Barbierove teoreme). S obzirom da ovom skupu pripada i krug, ovaj obim je jednak .

Pomenimo i interesantnu činjenicu da Reloov trougao ima najmanju površinu u klasi figura konstantnog dijametra d (sledi na osnovu Blaške-Lebegove teoreme). Ova površina je jednaka

a površina izbušena pomoću RT pokriva približno 98,77% površine stvarnog kvadrata. Ova mala razlika javlja se jer RT stvara vrlo mala zaobljenja u uglovima kvadrata zbog toga što je „ugao Reloovog trougla isuvuše „tup. On, naime, iznosi 120 stepeni što je, s druge strane, idealno ako želimo da izbušimo šestougaoni otvor. Dodajmo i ovu interesantnu činjenicu: od svih ravanskih figura konstantnog dijametra d najveću moguću površinu ima krug površine


Sl. 4 Relo-Vatsova bušilica za bušenje kvadratnih rupa
(Ilustracija: V. Petković)

Evo još nekoliko interesantnih podataka o Reloovom trouglu:

Čitaoci koji su manje-više upoznati sa tipovima motora kod automobila sigurno su čuli za Vankelov motor. Konstruisao ga je nemački inženjer Feliks Vankel, a prototip je završen 1957. To je vrsta motora sa unutrašnjim sagorevanjem koji u svom „centru ima ekscentrični rotor po obliku sličan Reloovom trouglu, ali s manjom zakrivljenošću (sl. 5). U poredenju sa klipnim motorom, Vankelov motor je kompaktniji i lakši za datu snagu, ima manje vibracija i uravnoteženo isporučuje snagu i to pri velikom broju obrtaja. Koristi se ne samo kod automobila već i za pokretanje aviona, vodenih skutera, motornih testera itd.


Sl. 5 Vankelov rotacioni motor (Starecated.com)

Točak čiji presek ima oblik Reloovog trougla se može kotrljati ali nije podesan za glatku vožnju jer njegova osa „odskače gore i dole tri puta za vreme jednog okreta. Ovaj koncept bio je iskorišćen u naučnofantastičnoj priči Three-Cornered Wheel Pola Andersona (1963).

Reloov trougao se koristi u nekim gradovima (npr, u San Francisku) kao oblik poprečnog preseka navrtke ventila vatrogasnog hidranta. Specifičan oblik navrtke otežava otvaranje hidranta pomoću standardnih ključeva i klješta i sprečava nenamenska korišćenja; vatrogasne hidrante mogu da otvaraju jedino vatrogasci koji poseduju specijalni ključ.

U matematici postoji hipoteza da se od svih figura konstantnog dijametra najgušće mogu upakovati u ravni upravo Reloovi trouglovi. Indeks pakovanja se definiše kao odnos G površina svih figura upakovanih u kvadrat i površine tog kvadrata čija stranica teži u beskonačnost. Matematičari su postavili hipotezu da je

ali još uvek nema dokaza.

Automatski usisivač-robot RULO kompanije Panasonic ima oblik zasnovan na Reloovom trouglu jer je to najefikasniji način za čišćenje prašine u uglovima prostorija.

U gotskoj arhitekturi 13. i 14. veka, Reloov trougao bio je jedan od nekoliko krivolinijskih oblika koji su se često koristili za prozore i druge arhitektonske objekte i ukrase. Karakteristični su primeri crkve Onze-Lieve-Vrouwekerku (Crkva naše Gospođe) u belgijskom gradu Brižu (sl. 6) i čuvenoj milanskoj katedrali Duomo. Poprečni presek zgrade u Kelnu (Nemačka), poznate kao Kelnski trougao, dosta podseća na Reloov trougao, slika 7.

Jedna od najranijih primena Reloovog trougla je mapa sveta Leonarda da Vinčija iz 1514. godine podeljena u 8 oktanata u obliku Reloovog trougla (sl. 8).


Sl. 8 Da Vinčijeva mapa sveta (Wikipedia)

Od svih četvorouglova najveći odnos obima i prečnika (najdužeg rastojanja između temena) ima deltoid („zmaj) jednakih dijagonala upisan u Reloov trougao (sl. 9).

Pik (ili u žargonu gitarista trzalica) za sviranje gitare je najčešći oblik koji podseća na Reloov trougao (sl. 10). Uzgred, autor ovog priloga je fotografisao originalnu trzalicu čuvenog gitariste Erika Kleptona u Hard Rock kafeu u Bostonu. Gitaristima dobro dođe njegov ergonomski i simetričan oblik koji prirodno teži da zauzme pravi smer, tako da ne moraju da vode računa kako ga drže u ruci. Osim toga, njegova tri jednaka šiljka se teže habaju i imaju duži vek trajanja u poređenju, na primer, s trouglastim pikom.

Povodom nekih svečanosti i prigodnih događaja na Bermudima se izdaju serije kovanica u obliku Reloovog trougla (videti sliku ispod naslova) koje se mogu koristiti u automat-mašinama.

O autoru

Stanko

Ostavite komentar