ARHIMEDOVA TAČKA

DVE KOZE I AUTOMOBIL

Gde je druga? (Vikipedija)

Na prvi pogled, sasvim jednostavan matematički problem, dobio je veliki publicitet pre pola veka. Bio je inspirisan televizijskim šou programom Let’s make a deal (1963-1977), koji je više godina vodio Monti Hol. U potrazi za tačnim rešenjem uključeno je mnogo matematičara i naučnika drugih struka, ali i amatera. Svoje mesto našao je u brojnim matematičkim časopisima i knjigama, pa i dnevnim novinama.

Petkovic Miodrag

Prof. dr Miodrag Petković

Istaknuto mesto u ovoj matematičkoj misteriji dobila je američka novinarka Merilin vos Savant, žena koja je postala čuvena po izuzetno visokom koeficijentu intiligencije (IQ). Ona je čisto logičkim rezonovanjem došla do pravog rešenja.

Merilin vos Savant (Vikipedija)

Uprošćeni opis ove predstave u kojoj je Monti Hol bio voditelj jeste sledeći: Takmičar u programu (recimo osoba iz publike) ispred sebe na bini ima troja vrata, obeležimo ih sa vrata 1, vrata 2 i vrata 3. On/ona zna da je iza jednih vrata vrlo privlačna nagrada: superluksuzni  sportski automobil. Iza svakih od  preostalih dvoja vrata nalazi se sasvim nezanimljiva utešna nagrada, u pomenutom kvizu to je bila koza (na slici je prikazan jedan od mogućih rasporeda).

Takmičar je zamoljen da pokaže na jedna od troje vrata. Tek što je odabrao jedna, recimo vrata 3, pre otvaranja voditelj predstave otvara jedna od dvoje neodabranih (na primer, vrata 1) i ispostavlja se da je iza njih koza. Zatim pita takmičara da li u novim uslovima želi da promeni mišljenje i, umesto već izabranih vrata 3, otvori vrata 2. Očigledno da nazivi vrata ne igraju nikakvu ulogu i ne utiču na opštost postupaka u predstavi. Monti Hol problem se formuliše preko vrlo jednostavnog pitanja:

Da li je bolje (u smislu veće šanse za dobitak) za takmičara da ostane pri svom izboru ili da promeni izbor vrata?

Ovaj problem pripada teoriji verovatnoće za koju se može reći da je bogata paradoksima. Paradoksi se javljaju jer ima mnogo tvrđenja i rezultata koji su na prvi pogled u koliziji sa „normalnim ljudskim rezonovanjem”. Oni su najčešće posledica kompleksnih uslova  u kojima se događaji dešavaju, a koje nije lako odmah razumeti bez duboke i opsežne analize.

Jasno je da takmičar neće izabrati vrata koja je voditelj otvorio jer se pokazalo da je iza njih koza. Dakle, ako on promeni mišljenje u obzir dolaze vrata koja nije izabrao, a koja  nije otvorio voditelj, nazvaćemo ih „tajnim vratima”. Na prvi pogled izgleda da su šanse za dobitak jednake jer se kola nalaze ili iza vrata na koja je takmičar pokazao na početku ili iza „tajnih vrata”. U čemu je onda poenta da takmičar menja svoj izbor?

Pažljiva analiza svih mogućih slučajeva dovodi do iznenađujućeg odgovora, koji u suštini sadrži istu začkoljicu što je zbunila i čuvenog matematičar Pala Erdeša, ali o tome malo kasnije.

Do rešenja se može doći na više načina, kao što se može videti u brojnim člancima u časopisima i prilozima u knjigama. Ovde će biti prikazano rešenje koje se zasniva na analizi svih mogućih slučajeva. Označimo koze sa K1 i K2, a automobil sa A. Radi jednostavnosti podrazumevaćemo da takmičar uvek bira vrata 3, a da K1, K2 i A zauzimaju sve moguće položaje iza vrata. Broj takvih položaja jednak je 6=3! – broju mogućih permutacija tri objekta, kao što se vidi iz tabele. Razmotrimo svih 6 slučajeva.

1. U prvom slučaju voditelj će otkriti kozu ili iza vrata 1 ili vrata 2. Nije dobro za takmičara da menja mišljenje, tako da upisujemo 0 u 4. kolonu tabele.

2. Drugi slučaj je sličan prvom, i ponovo nije dobro za takmičara da menja mišljenje, tako da beležimo 0.

3. U trećem slučaju voditelj će otkriti kozu iza vrata 1, i dobro je za takmičara da promeni izbor vrata. U 4. kolonu tabele upisujemo 1.

4. Četvrti slučaj je sličan sa trećem, za takmičara je dobro da promeni mišljenje tako da beležimo 1.

5. U petom slučaju voditelj će otkriti kozu iza Vrata 2. Za takmičara je dobro  da promeni izbor vrata. Beležimo 1.

6. Šesti slučaj je sličan 5. slučaju, za takmičara je dobro da promeni mišljenje tako da upisujemo 1 u 4. kolonu.

Prema evidenciji iz gornje slučaj-po-slučaj analize sledi da imamo 4 jedinice i 2 nule, dakle odnos dobro-nije dobro je 2:1. Prema tome, šanse takmičara se udvostručavaju ako on promeni izbor vrata posle voditeljevog otvaranja vrata sa kozom iza. Pal Erdeš, jedan od najvećih matematičara dvadesetog veka, pripadao je onoj grupi ljudi koja nije bila baš ubeđena da prihvatanje predloga voditelja o promeni vrata udvostručuje verovatnoću uspeha. Dve biografije napisane posle njegove smrti pominju da je prihvatio pomenuti odnos 2:1 posle duge i strpljive analize koju mu je predočio prijatelj, čuveni matematičar Ronald Graham.

Možda izgleda da je razmatrani zadatak iz logike, ali on, kao što je pomenuto, pripada verovatnoći i rešava se analizom svih povoljnih i nepovoljnih ishoda. Drugi pristup je korišćenje tzv. Bajesove formule koja se bavi uslovnom verovatnoćom. Verovatnoća da takmičar izvuče glavnu nagradu direktnim izborom (bez promene mišljenja) je 1/3, dok je verovatnoća u slučaju promene mišljenja 2/3.

Ako pokušate da praktično izvedete eksperiment dvadeset ili trideset puta, brzo postaje jasno da vaša promena mišljenja zaista popravlja šanse na uspeh. Ukoliko želimo da broj eksperimenata znatno povećamo, potrebno je mnogo vremena. Srećom, ovo se može simulirati pomoću računara. Računar programiran da simulira milion pokušaja (koristeći slučajne brojeve) dao je sledeći rezultat: Ne menjajte mišljenje-strategija donela je uspeh u oko 333.300 slučajeva. Promenite mišljenje-strategija je donela uspeh u preostalih 666.700 slučajeva.

Ko je bio pomenuti Pal Erdeš (1913-1996)? Matematičar mađarskog porekla, jedan od najvećih i, istovremeno, najneobičnijih u 20. veku. Najviše se bavio teorijom brojeva, kombinatorikom, teorijom grafova, klasičnom analizom, teorijom aproksimacija, teorijom skupova i berovatnoćom.  Pored Leonarda Ojlera, publikovao je najviše radova ikada: 1.525 sa 511 koautora, što je svetski rekord u matematici. Broj njegovih radova veći je, ali je po obimu znatno manji od Ojlerovih (koji se procenjuje na 80 000 stranica).

Pal Erdeš se nije ženio, niti je imao stalan posao ili mesto boravka. Najveći deo života proveo je gostujući po univerzitetima i istraživačkim centrima širom sveta u večnoj potrazi za dobrim matematičkim problemima i svežim matematičkim talentima. Često odlazio na konferencije gde je vreme provodio u hotelskoj sobi okružen grupom mladih matematičara radeći istovremeno na većem broju problema. Jedna od takvih situacija prikazana je na slici sa konferencije 1985. u Adelejdu (Australija). Vidi se vremešni Pal Erdeš (72), ali ko je ovaj dečak?

Sa Erdešom diskutuje, u to vreme, desetogodišnji Terens Tao, koga danas smatraju najuspešnijim matematičarem sveta. Rođen je u Adelejdu 1975. godine, a već sa 9 godina počeo je da pohađa univerzitetske kurseve matematike. Studurao je na Prinstonskom univerzitetu i doktorirao u 21. godini. U 24. godini postao je najmlađi redovni profesor u istoriji SAD (University of California Los Angeles, UCLA). Dobitnik je Fildsove medalje 2006. i mnogih drugih svetskih nagrada. Član je Nacionalne akademije nauka SAD i više inostranih akademija nauka.

O autoru

Stanko Stojiljković

2 komentara

  • Pri prvom biranju verovatnoća pogotka je bila 1:3. Pri drugom biranju verovatnoća pogotka je 1:2. Ako ostanem pri prvom izboru njegova verovatnoća se nije izmenila time što postoji i drugi izbor, to jest ostaje 1:3. Znači veća je verovatnoća – 1:2 – ako promenim izbor.

  • Povlačim prethodni komentar i iznosim matematički dokaz za opšti slučaj.
    Neka bude N garaža sa (N – 1) koza i jedna sa automobilom. Verovatnoća da se pogodi u kojoj je:
    1/N. Kada se otvori (n – 2) garaža, verovatnoća da je auto u jednoj od preostale dve je =1. Znači, verovatnoća da se auto nalazi u onoj drugoj (koja nije izabrana) je: 1 – 1/N = (N -1)/1, to jest (N -1) puta je veća. Za N=3, to je 2, to jest, verovatnoća da je prvi izbor dobar je 1/3 , a da je dobar drugi je 2/3.

Ostavite komentar