ALASOVO PLEME

JEDINSTVENOSTI NEMA

Jurko, Buterin, Đurić

Jurko, Buterin, Đurić

Krajem oktobra 2020. i početkom juna 2021. Sergej Buterin i ja objavili smo dva naučna rada u kojima smo riješili višedecenijski problem, ali i osporili rezultat vodećeg svjetskog matematičara u inverznoj spektralnoj teoriji Vjačeslava Jurka. Ovi rezultati su izazvali veliku pažnju u široj matematičkoj zajednici. Šta je posebno u ovim rezultatima?


Dr Nebojša Đurić

Inverzna spektralna teorija ima značajnu primjenu u biologiji, biofizici, ekonomiji, astrofizici, aerodinamici, teoriji upravljanja i drugim tehničkim naukama. U mnogim procesima u prirodi na osnovu eksperimentalnih mjerenja možemo doći do informacija pomoću kojih možemo opisati sam proces dobijanja tih informacija. Matematičari najčešće u ovim problemima imaju zadatak da daju odgovor da li postoji jedinstveno rješenje inverznog problema. Da biste bolje razumjeli problematiku, posmatrajmo sljedeći problem: Odrediti dva prirodna broja, veća od jedan, čiji je proizvod 21?

Rješenje ovog problema je jedinstveno, proizvod brojeva 3 i 7 daje 21 i ne postoji drugi par prirodnih brojeva koji zadovoljavaju uslov problema. Međutim, da smo posmatrali broj 24 umjesto 21, jasno je da rješesnje ne mora biti jedinstveno, već postoji više rješenja. Za vrlo jednostavan direktan problem (množenje dva broja) nemamo uvijek jedinstveno rješenje inverznog problema.

Inverzni problem za Šturm-Liuvilov operator sa kašnjenjem je mnogo složeniji, ipak da biste približno razumijeli o čemu je riječ osvrnućemo se na istoriju ovog problema.

Davne 1946. godine švedski matematičar Borg je riješio inverzni problem za Šturm-Liuvilov problem bez kašnjenja, odnosno dokazao je da su dva spektra dovoljna da se jedinstvneo odredi operator. Nešto kasnije, 1965. ruski matematičar Norkin je riješio direktan problem za Šturm-Liuvilov operator sa kašnjenjem. Sedam godina kasnije Norkinova monografija je prevedena na engleski jezik, te u periodu prije 1980. se pojavio interes za rješavanje inverznog problema sa kašnjenjem, ali nije bilo većeg napretka zbog složenosti problema.

Za razvoj ovog problema ključnu ulogu su odigrali ruski matematičar Viktor Sadovniči i njegov učenik, srpski matematičar, Milenko Pikula. Naime u periodu od 1983. do 1987. profesor Pikula je došao do rješenja inverznog problema za svako kašnjenje u specijalnom slučaju. Nedugo zatim ovaj rezultat izazvao je pažnju najpoznatijih ruskih matematičara u ovoj oblasti, kao što su Boris Levitan i Anatolij Kostjučenko.

Trideset godina kasnije, ovaj problem je postao jedan od najpopularnijih u inverznoj spektralnoj teoriji, međutim i dalje se tragalo za njegovim rješenjem u opštem slučaju. Dokaz teoreme jedinstvenosti u specijalnim slučajevima, kada je kašnjenje veće od dvije petine intervala, samo je ohrabrio naučnike širom svijeta da bi isti rezultat trebalo da vrijedi za svako kašnjenje. Štaviše, Borgov rezultat za operator bez kašnjenja nam daje nadu da bi za mala kašnjenja trebalo da vrijedi teorema jedinstvenosti.

Većina matematičara nije htjela ni da povjeruje da rješenje inverznog problema ne mora da bude jedinstveno, tako da su istraživanja bila usmjerena ka dokazivanju jedinstvenosti. Ideje koje se smatraju pogrešnim, najčešće se i ne posmatrajuda bi se uštedilo vrijeme. Ovaj pristup se ispostavio pogrešnim. Bilo je očekivano da će se neko pojaviti i preispitati opravdanost hipoteze jedinstvenosti.

Da bi se riješio početni problem potrebno je dokazati da za svako kašnjenje postoji jedinstveno rješenje ili naći bar jedno kašnjenje za koje ne postoji jedinstveno rješenje u opštem slučaju.

Krajem oktobra 2020. objavljen je rad On an open question in recovering Sturm–Liouville-type operators with delay, u kome je dokazano da za kašnjenja veća od trećine i manja od dvije petine intervala ne postoji jedinstveno rješenje u opštem slučaju. Napomenimo da se ovaj rad odnosi na Dirihle/Nojmanove granične uslove, te se nameće pitanje da li isti rezultat vrijedi i za Robinove granične uslove.

Sedam mjeseci kasnije je objavljen drugi rad On non-uniqueness of recovering Sturm–Liouville operators with delay, u kome je dokazano da isti rezultat vrijedi i za druge granične uslove, čime je osporen rezultat poznatog ruskog matematičara Vjačeslava Jurka.

Ovi rezultati su izazvali pažnju matematičke javnosti, zato što su poprilično neočekivani. Duži niz godina ništa nije ukazivalo da jedinstvenost ne postoji u opštem slučaju. Napomenimo da su ovi problemi nelinearne prirode, a često u takvim problemima čovjek pravi pogrešne procjene.

Kako god, preostalo je još pitanje: Da li isti rezultati vrijede za svako kašnjenje manje od trećine intervala? Odgovor na ovo pitanje bi trebalo dati treći naučni rad koji se nalazi na recenziji.

Reference:

1. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0893965920304377?via%3Dihub
2. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S1007570421002124

O autoru

Stanko

Ostavite komentar