ARHIMEDOVA TAČKA

KAKO ZARADITI NAJVIŠE

Pexels/Gabby K

Poznavanje osnovnih osobina teorije verovatnoće može doneti izvesnu prednost (bar u odnosu na takmičara ili igrača koji ne poznaje pravila i osobine verovatnoće) u igrama gde je potrebno primeniti neku vrstu strategije. To je, uostalom, još pre petsto godina koristio najveći naučnik tog doba Đirolamo Kardano u igrama na sreću.


Prof. dr Miodrag Petković

Teorija verovatnoće je puna krajnje neočekivanih rezultata, koji bi se mogli tretirati i kao matemartički paradoksi. U stvari, paradoksa nema, potrebno je samo veoma precizno shvatiti pod kojim kompleksom uslova se traži verovatnoća realizacije nekog događaja.

Prvi primer: U januarskom izdanju elektronske Galaksije (https://galaksijanova.rs/paradoks-rodendana/) opisan je jedan takav slučaj pod imenom Paradoks rođendana, gde se tvrdi da u grupi od 23 slučajno odabranih ljudi, šansa da postoji bar jedan par osoba koji ima rođendan istog dana iznosi oko 50 procenata. Rezultat je neočekivan ali posle kratke analize može se zaključiti da nema nikakvog paradoksa.

Drugi primer: Ako 9 puta bacate novčić (bez ikakvih trikova i promene uslova eksperimenta) i 9 puta ste dobili pismo, kolika je verovatnoća da ćete i u desetom bacanju dobiti pismo? Rezultat Rezultat (približno 0,001) nije tačan! S obzirom da su eksperimenti nezavisni, verovatnoća je ista u svakom bacanju i iznosi 1/2. Jednostavno, svako novo bacanje je jedan novi eksperiment u okviru događaja pojave pisma u 10 uzastopnih bacanja, a ovaj događaj „nema memoriju. Ako vas ovo zbunjuje, ne brinite; jedan od najvećih naučnika 18. Veka, čuveni D’Alamber, takođe je bio zbunjen. U Prvom svetskom ratu, čija je jedna od glavnih karakteristika bilo bombardovanje topovima velikog kalibra, vojnici su utrčavail u već stvorene kratere od bombi verujući da bomba neće opet u isti krater. Neosnovana strategija!

Treći primer: Ovo je jedan od naintrigantnijih paradoksa u teoriji verovatnoće koji je aktuelan i posle jednog veka. Trojica bandita, Sem, Bil i Don, posvađali su zbog deobe plena i složili su se da spor reše pištoljima u dvoboju pod sledećim neobičnim uslovima. Duelisti se nalaze u temenima jednakostraničnog trougla. Redosled pucanja određuje se žrebom. Svako, kada na njega dođe red, ispaljuje jedan hitac pri čemu može birati u koga će da puca. Borba se prekida kada dvojica budu pogođena. Poredak pri gađanju, koji je određen žrebom pre početka, ne menja se u toku borbe. Sva trojica znaju da Sem nikad ne promašuje, Bil pogađa u 80%, a Don u 50% slučajeva.

Koji od duelista ima najviše šansi da ostane nepogođen, podrazumevajući da se svaki pridržava sopstvene strategije?

Verovali ili ne, najveću verovatnoću da ostane nepogođen u ovom „troboju ima Don, koji važi za najgoreg strelca! Za njim sledi Sem koji uvek pogađa. Kako Sem i Bil, kad na njih dođe red, gađaju jedan u drugog (da bi eliminisali boljeg strelca), optimalna strategija Dona sastoji se u tome da namerno promašuje (puca u vazduh) kada na njega dođe red sve dotle dok jedan od njegovih protivnika ne bude pogođen. Posle toga on gađa u preživelog protivnika imajući, svakako, veće preimućstvo u odnosu na njega (prednost prvog poteza). Verovatnoće povoljnog ishoda za svakog duelistu su: Bil (oko 52%), Sem (30%), Don (oko 18%).

Rešenje ovog ne baš lakog problema može se naći i knjizi Zašto je matematika lepa? (2015), autora ovog članka. S obzirom da je knjiga delom rasprodata, delom poklonjena mladim talentima i ljubiteljima matematike, zainteresovani čitaoci mogu da nabave kompletan članak u pdf formatu ako se obrate autoru na e mail adresu: miodragpetkovic@gmail.com, subject: troboj-verovatnoća.

D’Alamber (Wikipedia)

U nastavku ovog priloga bavimo se jednom interesantom temom iz teorije verovatnoće koja ima praktičan značaj, ali kao i kod sličnih problema, garancija za dobitak (srećan ishod) ne postoji. Poznavanje osnovnih osobina teorije verovatnoće može doneti izvesnu prednost (bar u odnosu na takmičara ili igrača koji ne poznaje pravila i osobine verovatnoće) u igrama gde je potrebno primeniti neku vrstu strategije. To je, uostalom, još pre petsto godina koristio najveći naučnik tog doba Đirolamo Kardano u igrama na sreću. Poznavanje pomenutih pravila ne obezbeđuje siguran dobitak, ali ipak povećava šanse za dobitak. Na primer, ako treba prognozirati zbir tačkica pri bacanju dve kocke, izabraćete zbir 7 jer je verovatnoća pojave ovog zbira (=1/6) najveća. Proverite!

Posmatrajmo sada sledeću igru, koja se može pretvoriti u ozbiljan finansijski projekat, ako se umeša i novac. U šeširu se nalazi 100 istovetnih listića papira i na svakom je napisan jedan od 100 različitih pozitivnih brojeva, pri čemu se ne zna koliki je najveći broj. S obzirom da su brojevi međusobno različiti, sledi da postoji samo jedan listić sa najvećim brojem. Listići su pomešani i takmičar je pozvan da izvlači jedan po jedan bez gledanja u šešir. Igra će postati interesantnija ako pretpostavimo da broj na listiću označava svotu novca, izraženu u nekoj čvrstoj valuti, recimo u dolarima, što ćemo u nastavku tako usvojiti.

Takmičar ne zna unapred ove brojeve, niti mu je poznato koji je najveći iznos dobitka, ali je upoznat da ukupno ima 100 listića. Posle svakog izvlačenja on pogleda u listić da vidi koji iznos je izvukao. Ako nije zadovoljavan, on listić ne vraća natrag u šešir već nastavlja sa izvlačenjem i ne može se vratiti natrag na već izvučene listiće. U protivnom, ako misli da je iznos dovoljno veliki, on zaustavlja igru. Drugi način da se završi igra jeste da takmičar ide do kraja i izvlači poslednji, stoti listić i to je njegov izbor ma kakav on bio.

Koja je najbolja strategija za takmičara? Pri ovom je termin „najbolja strategija samo uslovan pojam jer je jasno da nikakav postupak izvlačenja to ne može garantovati. Šta bi onda to moglo da bude?

Pretpostavimo unapred da „strategija ima sledeću formu: takmičar izvlači izvestan broj listića – recimo k listića – i pritom pažljivo zapisuje brojeve koji su na njima. Nakon što je izvukao k listića koje odbacuje, takmičar nastavlja sa izvlačenjem sve dok ne izvuče listić koji zadovoljava „osobinu P, pri čemu je treba definisati. Kasnije ćemo diskutovati zašto je racionalno izabrati ovakvu strategiju.

Prvi listić koji je izvučen zvaćemo „listić 1, sledeći je „listić 2 i tako dalje. Bilo koja strategija koja bi rezultirala izborom (j+1)-og listića, gde je j veće ili jednako k, može se poboljšati tako što će se zapamtiti najveći zabeležen broj M sa listića 1,2…j, a zatim izvući jedan od narednih listića na kome je broj veći od M. Ukoliko se takav listić uopšte ne pojavi, takmičar završava s poslednjim listićem.

Primenom ovakvog zapažanja stalno iznova nalazimo da se najbolja strategija sastoji u tome da, s obzirom na skup parametara zadatih na početku, upamtimo koji je najveći broj M iz skupa listića 1,2…k, a zatim da izaberemo prvi od narednih listića koji ima broj veći od M.

Kad smo ustanovili ovakvu šemu, naš zadatak je da sada izaberemo najbolje moguće k u smislu najverovatnijeg k, dakle prelazimo u domen verovatnoće. Pretpostavimo da je Q najveći od svih brojeva (sa svih 100 listića) i da se on pojavljuje na listiću sa rednim brojem p+1. Takmičar neće biti uspešan u izboru tog listića, ukoliko nisu zadovoljena sledeća dva uslova:

  1. r ≥ k (jer će prvih k listića biti odbačeno, pa ako je r < k tada će listić r+1, koji nosi najveći broj, biti odbačen).
  1. najveći broj koji se pojavljuje na listićima od 1 do r je takođe najveći broj koji se pojavljuje na listićima od 1 do k. Naime, ako je najveći broj P na listićima od 1 do r veći nego što je najveći broj M na listićima od 1 do k, tada je P < Q i P će biti izabran pre nego što se listić r+1 uopšte pojavi.

Verovatnoća da se najveći od svih brojeva Q nalazi na listiću r+1 (ili na bilo kom drugom listiću) jeste 1/100. Verovatnoća da nađemo listić s brojem Q, pod pretpostavkom da je to listić r+1, iznosi k/r (geometrijska verovatnoća, posmatrajte dve duži dužina k i r, k < r). (Razmislite, na primer, šta ne bi valjalo u slučaju da je r=k+1). Verovatnoća da se pobedi u igri sa listićem koji ima najveći iznos Q, s obzirom da je to listić r+1 i da smo odbacili prvi r a izabrali listić r+1, je proizvod pomenutih verovatnoća:

Dopustive vrednosti za r su r = k, k+1…99. Prema tome, verovatnoća da se dobije igra koristeći opisanu strategiju jeste

Treba odrediti k tako da verovatnoća P(k) dobije najveću vrednost. Ovo se može lako odrediti jednostavnim programom koristeći sumiranje u okviru dve petlje po k i r; ovako se dobija k = 37.

U svojoj knjizi Techniques of Problem Solving (American Mathematical Society, 1997) Stiven Kranc je koristio prirodne logaritme i njihove aproksimacije i našao da se optimalno k može odrediti prelazeći s diskretne promenljive k na neprekidnu promenljivu x funkcije verovatnoće P(x) u obliku

Maksimum funkcije P(x) se može naći pomoću osnovnih teorema matematičke analize ili korišćenjem grafičkog kalkulatora. Bilo koji način da koristimo, nalazimo da funkcija P(x) postiže maksimum za x=100/e, gde je e = 2,718281… Ojlerov broj (osnova prirodnog logaritma).

Iz ove analize zaključujemo da takmičar treba da ispita prvih 100/e listića, što zaokruženo na najbliži ceo broj daje k = 37. Pritom pamti najveći broj M zabeležen na listićima od 1 do 37, a zatim nastavlja sa izvlačenjem sve dok ne izvuče broj veći od M. Ovo je optimalna strategija.

Opisani problem ima i svoju romantičniju verziju kao priča o mladićevoj dilemi u izboru najlepše devojke za ženidbu. Sto devojaka nalazi se u zatvorenoj prostoriji tako da mladić ne može da ih vidi. Tada počinje izbor, i devojke jedna po jedna izlaze pred mladića koji s pažnjom pogleda svaku. Ako devojka nije izabrana, ona odlazi u vrstu koju mladić može da vidi. Ova grupa devojaka mogla bi se nazvati „grupom propuštenih prilika, jer u daljem toku izbora mladić nema pravo na izbor iz ove grupe, dakle nema pravo na „predomišljanje.

Leonard Ojler (Wikipedia)

Mladić može u bilo kom momentu da vidi samo jednu devojku (koja upravo izlazi iz prostorije) i sve neizabrane devojke (do tog momenta), tako da ima mogućnost upoređivanja ali bez prava na izbor devojke iz grupe neizabranih. On treba u jednom momentu da odluči hoće li izbarati devojku koju upravo gleda ili će čekati bolju priliku. Međutim, on ne može da vidi koje će se devojke pojaviti kasnije, tako da je uvek u dilemi „ Možda je sledeća lepša?! Na taj način ulazi u rizik da njegov izbor ne ude idealan. Na osnovu prethodnog problema njegova strategija bila bi da posle „procene prvih 37 devojaka (koje, ponavljamo, može da vidi ali ne može da bira) nastavi sa izborom sve dok ne naiđe devojka koja mu se više sviđa od prethodnih.

Priča možda zvuči pomalo diskriminatorski (jednakost i pravo polova), ali je svakako interesantna. Postoje i druge slične situacije koje se javljaju u praksi u kojima opet srećemo Ojlerov broj e. Podsećamo da je opisana strategija sa 100 listića i 100 devojaka optimalna u smislu najverovatnijeg događaja i da nikako ne garantuje aposlutno najbolji ishod.

O autoru

Stanko

Ostavite komentar