ATINSKI TRG

MATEMATIČARI U RATU

437 pregleda
London 1944. (Wikimedia)

Primenom statističkog prilaza i odgovarajućih teorema mogu se dobiti rezultati koje ne možemo smatrati apsolutno tačnim, ali se mogu prihvatiti kao najverovatniji. U ne malom broju situacija i takav rezultat može biti od velike koristi. U ovom kratkom prilogu opisujemo jednu ratnu situaciju iz Drugog svetskog rata, bombardovanje Londona 1944. godine letećim bombama fau-1 (V-1), gde je primena statistike dovela do zaključka koji život znači.


Prof. dr Miodrag Petković

Iako je Drugi svetski rat završen 1945, lokalni ratovi vode se, nažalost, gotovo neprestano širom sveta, svedoci smo još jednog na teritoriji Ukrajine. Lokalni ratovi se vode zbog ostvarivanja raznoraznih ciljeva koji nisu u korelaciji s velikim napretkom tehnologije (ako se izuzmu napredna oružja za uništavanje) a ni, generalno posmatrano, sa napretkom civilizacije. Kao primer posmatraćemo bombardovanje Londona koje je nemačka armija sprovodila tokom Drugog svetskog rata krstarećim projektilima-bombama V-1 (na nemačkom Vergeltungswaffen osvetničko oružje, kodno ime Kirschkern (koštica trešnje).

Ovaj projektil je u svetu poznatiji pod imenom fau-1 (V-1), ime koje je u listu Das Reichpredlozio (a Hitler usvojio) novinar Hans Švarc Van Berkl u junu 1944, upravo na početku lansiranja ove rakete na London. Projektil V-1 je kao pogon koristio pulsirajući mlazni motor, nosio je oko 850 kilograma eksploziva i leteo brzinom oko 550 kilometara na sat na visini od 1.000-1.200 metara pre vertikalnog obrušavanja na cilj.

Leteći projektil V-1 (Defencyclopedia)

Nemačka armija započela je bombardovanje Londona letećim bombama V-1 iz baze Peneminde, malog ostrva u Baltičkom moru 13. juna 1944, samo nedelju dana posle iskrcavanja savezničke vojske na tlo Normandije. Britanska vrhovna komanda pokrenula je sve da sazna nešto više o ovim bombama, naročito o njihovoj preciznosti pogađanja. Za četiri meseca, koliko je trajala ova V-1 akcija, u Londonu je poginulo oko 6.000 civila uz velika razaranja, mada su vojni objekti uglavnom ostali neoštećeni. Obaveštajna služba je bila nemoćna i u pomoć su, pored ostalih eksperata, pozvani matematičari. Stručnjaci za statistiku prionuli su na posao. Područje grada Londona (144 kvadratna kilometra) podeljeno je na 576 sektora. Od ukupno 537 bombi, 7 bombi palo je u jedan sektor, po 4 bombe u 7 sektora, po 3 u 35, po 2 u 93, jedna bomba u 211 sektora i, konačno, nijedna bomba u preostalih 229 sektora. Ovi podaci uneti su na grafikon (sl. 1).

Sl. 1 Broj bombi po sektorima u Londonu

Uprošćena skica bombardovanja Londona – * vojni ciljevi

broj bomvi u sektorima

Kriva na grafikonu (sl. 1) poznata je kao kriva Poasonove raspodeleverovatnoća (po francuskom matematičaru i fizičaru Simeonu Poasonu (1781-1840), koja karakteriše pojavu tzv. retkih događaja. Na primer, takva vrsta raspodele javlja se u fudbalu, ali ne i u košarci. Da su Nemci mogli precizno da gađaju ovim bombama željene ciljeve, one bi bile rasejane po zakonu tzv. normalne raspodele verovatnoća (sl. 2), koja se uvek dobija kod preciznog gađanja u cilj, pri čemu je na slici 2 sa m označen željeni cilj – sa slike se vidi da su pogoci koncentrisani oko cilja m.

Sl. 2 Funkcija raspodele verovatnoća –

normalna raspodela

Zaključak je bio da Nemci nisu mogli da gađaju bombama V-1 unapred određene ciljeve, već im je namera bila samo razaranje i unošenje panike. I sami svesni ovog neuspeha, uz gubitak od oko 80 % lansiranih projektila zbog dejstva britanske avijacije i artiljerije, nemačko vazduhoplovstvo je obustavilo bombardovanje Londona 5. septembra 1944. i za svoj naredni cilj odabralo grad Antverpen u Belgiji, veoma važnu luku za snabdevanje naftom i oružjem. Proizvodnja V-1 bombi ubrzo je obustavljena da bi bila zamenjena usavršenim raketama V-2 (fau-2), prvim balističkim projektilima s navođenjem. Ipak, kraj rata bio je blizu tako da nemačke fabrike nisu uspele da proizvedu dovoljan broj ovih moćnih raketa. Posle Drugog svetskog rata rakete V-2 predstavljale su osnovu za razvoj svemirskih programa, kako u SSSR tako i u SAD.

Pomenimo i to da je pri kraju rata američka vojska uhapsila jednog od konstruktora V-2 rakete Vernera fon Brauna i oko 100 inženjera iz ovog programa, prebacila ih u SAD i bez podizanja bilo kakve optužbe uključila ih u dalji razvoj raketa. Štaviše, Verner fon Braun bio je postavljen za šefa ovog programa u okviru novoosnovane federalne agencije NASA (National Aeronautics and Space Administration).

Završićemo prilog trik zadatkom iz verovatnoće koji se može povezati sa bombardovanjem/granatiranjem. Posmatrajmo eksperiment bacanja novčića na čijim stranama su tradicionalno „glava i „pismo. Pretpostavimo da se pri bacanju novčića glava ponovi nekoliko puta u nizu. Mnogi ljudi veruju da je verovatnoća pojavljivanja pisma veća u sledećem bacanju. Ovo mišljenje je delio, čak, čuveni francuski matematičar i fizičar Žan le Ron Dalamber (1717-1783), ali je njegov savremenik Leonard Ojler to okarakterisao kao apsurd. Zaista, kako je uopšte moguće da prethodni (međusobno nezavisni) ishodi mogu imati uticaj na bacanja koja još nisu izvršena? U stvari, nezavisno od prethodno izvedenih opita, pojava pisma ili glave jednako verovatna u svakom narednom bacanju. Jednostavno, ako je novčić ispravan, tada će verovatnoća u svakom sledećem bacanju uvek biti 1/2, nezavisno od prethodnih događaja. Novčić nema memoriju da zapamti šta se desilo ranije!

Prvi svetski rat – vojnici u

krateru (agefotostock)

Jedan od najvećih popularizatora matematike svih vremena Martin Gardner, koji je razmatrao ekvivalentni eksperiment sa kockom u jednoj od svojih mnogobrojnih knjiga, napisao je: ,,Sve vrste glupih sistema za igranje ruleta i drugih igara na sreću zasnovane su na (pogrešnom) uverenju da što se neki događaj više puta desio, to je manje verovatno da se ponovo dogodi. Vojnici u Prvom svetskom ratu su mislili da će biti bezbedniji ako se sakriju u tek nastalu rupu od granate, nego ako se sakriju u neku od starijih rupa jer su mislili da je manje verovatno da će granata ekplodirati dva puta u kratko vreme na istom mestu!… Ovo verovanje je neosnovano.”

Navedimo (prema Ginisu) i jedan tragikomičan doživljaj pastira koji se prilikom nevremena uvek sklanjao ispod istog drveta. Najčešće su ga gromovi szaobilazili, ali i SEDAM puta pogodili; na sreću ne s fatalnim ishodom, ali sa brojnim lakšim povredama. ,,E neće opet u isto mesto” nije baš uspešna strategija u nekim situacijama.

O autoru

administrator

5 komentara

  • Veoma cenim priloge prof. Miodraga Petrovića.Međutim, ovde su tri greške. 1. zamenjene su koordinatne ose u grafikonu 1, 2. na ordinatu su nanesene nesamerljive veličine, jer jedni sektori se ne mogu sabirati sa drugim, 3. ako je 7 bombi palo u jedan sektor, i po 4 u drugih 7 sektora onda su oni bili meta. Nevažno je gde su pale ostale bombe, jer i one su mogle imati metu. Zaključak statističara je pogrešan.

    • Primedba čitaoca N. Pilipovića o zameni mesta natpisima na koordinatnim osama je dobrodošla i grafik je ispravljen. Ostale primedbe u komentarima ne stoje, jer proizvoljno rasejavanje bombi ne predstavlja pogotke u metu – mete su jedino vojni ciljevi, i to stoji u tekstu. Radi razjašnjenja dodata je i slika ispod grafika Poasonove raspodele. Kriva pogodaka po sektorima je nacrtana uz vrlo malo podataka (sa prekidima za tačke 5 i 6 na apcisi) ali je, iako aproksimativna, njen oblik bio dovoljan statističarima da prepoznaju Poasonovu raspodelu koja definiše retke pojave – u ovom slučaju pogotke u vojne ciljeve.

  • N.Pilipović, 28/4
    Još Zenon se poigravao sa matematikom, uvek stavljajući kornjaču ispred Ahila lako je „dokazao“da nikad neće biti suprotno, što nadahnjuje i današnje filozofe. Fišer je otišao dalje, kroz mnogo apsurdnih hipoteza sveo je živo biće na mehanizam i isključio okruženje te lakom matematikom „dokazao“ ono što je već bilo poznato. Ali sa matematičkom podrškom filozofi su to proglasili za apsolutnu istinu. Ako su 7 V-1 pali u sektor 500×500 m. a po 4 u drugih 7 i po 3 u trećih 35 onda su to bili pogotci u ciljeve. Završena priča. A genijalni statističari uvode hipotezu da iz rasejanja ostalih projektila po celoj teritoriji Londona, mogu dokazati da je navedena koncentracija pogodaka slučajna. To je upravo primer navedenog Ojlerovog apsurda: ovo ovde se objašnjava onim tamo, iako između njih ne postoji nikakv odnos. To je suština, ostalo je oblanda.Ovo je prozirna propaganda veličanja engleskih matematičara u ratu, što neizbežno insinuira i inače.

    • Poštovani Nikola, teško da se može zanemariti veliki uspeh engleskih matematičara u Drugom svetskom ratu. Dovoljno je pomenuti Alena Tjuringa (vođe tima koji je dešifrovao ENIGMU) i Wilijama Tuta (Tutte) koji je sa svojim timom načinio još veći podvig dešifrujući LORENZ mašinu za kodiranje poruka između nemačke komande i generala na terenu iako tim nije imao nijedan primerak ove mašine (za razliku od Enigme). Tutov tim je u tu svrhu konstruisao prvi programabilni elektronski računar na svetu Colossus.

  • Uvaženi profesore, uzeo sam slobodu da se upustim u ovu diskusiju zato što ni problem pogodaka V-1, ni navedeni primeri ne pripadaju matematici. Problem kratera je fizički, jer kao što je to još Heraklit znao dve stvari nisu iste: ni dve granate, ni dva eksplozivna punjenja, ni dva položaja topa, ni kretanja vazduha, čak ni gravitacione sile nisu iste, te ni putanje nisu iste. Vojnici su to iskusili. Drugi primer je pogrešan, jer gromobrani se i prave zato što predstavljaju manji otpor električnom pražnjenju, što znači da i drvo u koje je grom više puta udario je meta iz istog razloga. Pastirovo neznanje je tužna posledica nedovoljnog obrazovanja. Za sporni problem upućujem na veoma argumentovan i veoma opširan članak : V-1 leteća bomba u Vikipediji, ili na sajt: sr.m.wikipedia.org/sr- ec/v-1, u kojem je detaljno opisana odbrana Londona od projektila V-1. U tome su presudnu ulogu imale avijacija i artiljerija ali su značajno doprineli i nemački obaveštajci, jer su svi bili dvostruki agenti i pod potpunom kontroloom engleskih obaveštajnih službi. Svi projektili pa i oni koji su probili odbranu pogrešno su usmeravani lažnim instrukcijama prema uputstvima engleskih obaveštajnih službi. Znači eng.obaveštajne službe su rasturale pogodke V-1 a od statističara su tražili da odgovore na pitanje: da li su Nemci imali ciljeve ili su gađali nasumce a jedini izvor informacija koji su imali statističari bili su pogoci koje je rasturila sama obaveštajna služba. Iz ove besmislice zaključiti da je : „… primena statistike dovela do zaključka koji život znači.“, može samo propaganda superiornosti engleskog duha.

Ostavite komentar