ARHIMEDOVA TAČKA

MATEMATIČKA LEPOTA

Ilustracija (Vikipedija)

Nekad je neko duhovito primetio da je najlepši trenutak u životu matematičara onaj kratak period od momenta kada je dokazao teoremu do momenta kada pronađe grešku („Sinoć sam dokazao teoremu, jutros sam pronašao grešku u dokazu, noćas sam lepo spavao”).

Prof. dr Miodrag Petković

Matematički rezultati i teoreme mogli bi se rangirati do izvesnog stepena po svom značaju i uticaju, ali je veoma teško, vrlo verovatno i nemoguće, načiniti listu najlepših teorema. Lepota je estetska kategorija koja, budući da je dominantno iracionalna, samo u neznatnom delu podleže kvantitativnim ocenama. Više se radi o utisku koji proističe iz dubine, jednostavnosti, jasnoće, elegancije dokaza, neočekivane ideje, savršene simetrije, forme, primene u raznim disciplinama i drugih parametara koji karakterišu jednu teoremu ili formulu.

Mada lepota u matematici nesumnjivo postoji, niko ne bi mogao precizno da kaže u čemu se ona sastoji, a profesionalni matematičari se neće uvek složiti koje teoreme, dokazi, formule, ideje ili koncepti su najlepši. Jednostavno, postoje različite impresije i subjektivne ocene u vezi matematičkih rezultata.

Za profesionalne matematičare uživanje u poslu koji rade je dovoljan razlog da im je matematika lepa. Pa čak i onda kada ponekad pogreše. Nekad je neko duhovito primetio da je najlepši trenutak u životu matematičara onaj kratak period od momenta kada je dokazao teoremu do momenta kada pronađe grešku („Sinoć sam dokazao teoremu, jutros sam pronašao grešku u dokazu, noćas sam lepo spavao”). Jedan broj matematičara opisuje matematiku kao umetničku formu ili bar kao kreativnu aktivnost, upoređujući je često sa muzikom i poezijom. Drugi uživaju u eleganciji i lepoti dokaza teorema, nekima opet pojedine matematičke formule izgledaju izvanredno lepo. Rešenje teškog problema najvećem broju matematičara, ali i naučnika drugih struka, pruža veće zadovoljstvo nego dobijanje neke nagrade.

Matematika kao sublimirani i pročišćeni oblik
naučne misli, višestruko je povezana
sa estetikom.
Rešavanje matematičkih
problema praćeno je snažnim
estetskim doživljajem pa, prema tome, matematički
problem i njegovo rešenje mogu se
okarakterisati i
estetskim kategorijama.

Razvoj kompjuterske grafike, koji je jednim delom postala i novi vid umetnosti (tzv. digitalni print), doprineo je i vizuelnom doživljaju lepote kreiranih slika sa matematičkim sadržajem, koje kroz matematičke forme  interpretiraju raznovrsne procese i pojave. Da biste se uverili u to, dovoljno je pogledati knjige američkog naučnika i velikog popularizatora nauke Kliforda Pikovera The Math  Book (2009) i The Mathematics Devotional (2014), kao i mnogobrojne sajtove.

Matematika kao sublimirani i pročišćeni oblik naučne misli, višestruko je povezana sa estetikom. Naime, rešavanje matematičkih problema praćeno je snažnim estetskim doživljajem pa, prema tome, matematički problem i njegovo rešenje mogu se okarakterisati i estetskim kategorijama. Više detalja o povezanosti matematike i estetike može se naći u knjizi „Matematika i estetika” (2003) Ljubiše Kocića, profesora Elektronskog fakulteta u Nišu.

Iz estetsko-matematičkih iskustava izvedene su neke tradicionalne karakteristike „ dobro uređenih” estetskih predmeta, kao npr. proporcija, simetrija, harmonija, ritam itd. Ove karakteristike mogu se opisati modelima euklidske geometrije, a u nekim slučajevima i drugim vrstama klasičnih neeuklidskih geometrija. Estetski predmeti koji nisu „ dobro uređeni”, već su pre amorfni i haotični (oblaci, mahovina, talasi i slično), takođe nalaze svoj adekvatni matematički model u fraktalnim geometrijama.

Čuveni američki matematičar Džordž Birkof (1884-1944) bavio se eksperimentalnom estetikom povezujući sledeće tri veličine koje se mogu meriti:

M – intenzitet estetskog doživljaja ili estetska mera;

C – kompleksnost (složenost) estetskog predmeta, koji je proporcionalan naporu pažnje potrebnom za njegovu percepciju;

O – mera uređenosti, harmonija ili simetrija predmeta koji se posmatra.

Polazeći od funkcionalne zavisnosti M=f(O/C) i koristeći Košijevu funkcionalnu jednačinu f(x+y)=f(x)+f(y), Birkof je izveo sledeću jednostavnu  formulu

 

koja  u praksi daje zadovoljavajuće rezultate u jednostavnim situacijama. Valjanost svoje formule Birkof je proverio testirajući grupe studenata na Kolumbija univerzitetu (1929) i Univerzitetu Harvard (1930) na primeru dvadeset mnogouglova. Studenti su se složili da je „rejting” pojedinih poligona koji daje Birkofova formula sasvim u skladu sa estetskim izgledom poligona.

Na ovom mestu iznosimo mišljenja nekoliko čuvenih matematičara i filozofa o lepoti u matematici:

Aristotel: „ Osnovni elementi lepote u matematici su red, proporcija i preciznost”.

  1. F. Gaus: „Ne znanje, već proces učenja, i ne [matematički] rezultat već postupak dolaska do njega, pružaju najveće uživanje”.

G. H. Hardi: „Matematičar je, kao i slikar ili pesnik, kreator modela… Matematički modeli, kao i slikarski ili pesnički, moraju biti lepi… Lepota je prvi test: nema mesta u svetu za ružnu matematiku.”

A. Poenkare: „Osećanje matematičke lepote, harmonija brojeva i formi, geometrijska elegancija, predstavljaju istinski estetski osećaj, poznat svim matematičarima”.

M. G. Mitag-Lefler: „Rad velikog broja matematičara je umetnost, vrhunska umetnost, smela kao najskriveniji snovi mašte, jasna i čista”.

DŽ. Polja: „Elegancija matematičke teoreme je direktno proporcionalna broju nezavisnih ideja koje ona sadrži, a obrnuto je proporcionalna naporu da se one uoče”.

V. Fuler: „Kada završim i vidim da rešenje nije lepo, ja znam da je pogrešno”.

S. Banah: „Matematika je najlepša i najmoćnija kreacija ljudskog duha”.

A. Kejli: „Lepota [u matematici] može biti opažena ali se ne može objasniti”.

Umesto pokušaja da definiše lepotu u matematici, Dejvid Vels, britanski matematičar i pisac nekoliko matematičkih knjiga, izabrao je jedan  indirektan ali interesantan način da se približi, manje-više, tačnom odgovoru. On je zapravo načinio listu najlepših rezultata u matematici. U tu svrhu, napravio je upitnik sa 24 najlepše teoreme (po njegovom izboru) i objavio ga u časopisu The Mathematical Intelligencer (#4, 1988). Čitaoci su zamoljeni da lepotu svake od tih teorema ocene ocenom od 0 do 10. Rang-lista teorema načinjena prema prosečnoj oceni objavljena je u Velsovom radu  u broju 4 (1990) istog časopisa. Jasno je da ova rang-lista, isto kao u slučaju rang-lista najlepših slika ili muzičkih dela/pesama, ima neformalan značaj.

U nastavku predstavljamo prvih deset teorema iz časopisa The Mathematical Intelligencer, a čitaocima ostavljamo da komentarišu ovu listu prema svom ličnom osećaju za matematičku lepotu. Prosečna ocena navedena je u zagradi.

 

  1. (7.7) e+1=0 (veza između pet najznačajnijih matematičkih konstanti) (Ojlerova formula).

Matematika na šolji i bedžu, Muzej matematike (MoMat, Njujork) (foto M. Petković)

  1. (7.5) Ojlerova formula za poliedar:

V + F – E = 2

(V – broj temena, F – broj strana, E – broj ivica)

  1. (7.5) Broj prostih brojeva je beskonačan.
  2. (7.0) Postoji 5 pravilnih poliedara.


  1. (Ojlerova formula).
  2. (6.8) Svako neprekidno preslikavanje zatvorenog jediničnog kruga u sebe ima nepokretnu tačku.
  3. (6.7) Ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat jednako 2.
  4. (6.5) Π je transcendentan broj.
  5. (6.2) Svaka mapa u ravni može se obojiti pomoću 4 boje.

  1. (6.0) Svaki prost broj oblika 4n+1može se na jedinstven način predstaviti kao zbir dva kvadrata celih brojeva.

O autoru

Stanko Stojiljković

1 komentar

  • Eseji profeosra Midoraga Petkovića su izuzetni, naročito za nas društvenjake koji smo – pesnički kazano – svetlosnim godinama udaljeni od matematike. Verujem da ih pažljivo čitaju nastavnici u školama, pa i na pojedinim fakultetima, jer uzbudljivo i zanimljivo opisuju pojedine pojave i događaje.

Ostavite komentar