PODVIZANJE UMA

OLUJA TAMOM ZASTRTA

Evarist Galoa (Vikipedija)

Evarist Galoa (Vikipedija)

Moć jednog pojma u matematici: Evarist Galoa, matematičar koji je u dvadesetoj i po godini poginuo u dvoboju „zbog besramne kokete”, u svom kratkom i burnom  životu formulisao je epohalno rešenje: „Neka jednačina je rešiva u radikalima, ako i samo ako je grupa Galoa te jednačine rešiva”

 

tasic milan

Prof. dr Milan D. Tasić

„Pa, varvarin sam jer me niko ne razume”
(Ovidije)

 

Šta je to: „Rešiti jednačinu”?

Ono što je najprostije u računu, poput: Koji broj pomnožen sam s sobom daje jedinicu?, sâmo je rodno mesto jednog pojma u matematici, koji će da ujedini njene oblasti, ali i zahvati samu suštinu svekolike stvarnosti uopšte. Jer rešiti jednačinu koja se čita kao: „iks na kvadrat jednako jedan”, ne znači samo „prebirati” među brojevima i naći da minus jedan i jedan imaju to svojstvo, već i više toga drugog: naime, saberu li se daju oni nulu, ili kad se pomnože sa jedan ne menjaju se i slično. Tu „sliku” jednako ponavljaju i rešenja jednačine: „iks na četvrti minus jedan jednako nuli”, jer su i ovde četiri broja: minus jedan, jedan, minus i, i na kružnici oko nule, kao temena kvadrata, višestruko simetrično raspoređeni u ravni.

Kao što i nauke koje donose najtačnije
iskaze o stvarnosti: od kvantne fizike
do astronomije nalaze, u naše doba, da
upravo jezik teorije grupa pristaje onoj
oblasti na koju se odnose, čineći
mogućim da sve one budu jedinstvena
nauka o jednom te istom biću.

Zapalo je to otkriće Evaristu Galoa (1811-1832), koji je „zbog besramne kokete… bio dao časnu reč dvojici patriota” i izašao na dvoboj da, ranjen, bude ostavljen da se batrga kraj jezera, sve dok ga neki seljak nije preneo u bolnicu, gde sutradan umire. I samo dan pošto se izbavio tamnice i drugu Ogistu Ševalijeu zaveštao stranice svog rukopisa, jadikujući što mu „sudbina nije podarila da proživi i domovina sazna njegovo ime”. Imao je tada dvadeset i po godina i bilo je to u deceniji u kojoj se, po predrasudi vremena, ugasio, takođe u dvoboju, i život Aleksandra Sergejeviča Puškina.

Odsečak iz rukopisa (Vikipedija)

Strast za matematikom

To je pojam „grupe” u matematici koji je, po Poenkareu – kao broj, kao skup… – gotovo uređen u našem duhu, da je i sama ta nauka, po njemu, ne drugo do „istorija grupa”. I ne samo da je, još dok je promišljan, omogućio on uslove rešivosti jednačine proizvoljnog stepena, već je – sad tačo određen – ostao da bude neobično plodan u samoj algebri do danas, ispoljivši, uz to, i sintetičku moć da razne oblasti matematike budu suštinski protumačene u njegovim terminima.

Kao što i nauke koje donose najtačnije iskaze o stvarnosti: od kvantne fizike do astronomije nalaze, u naše doba, da upravo jezik teorije grupa pristaje onoj oblasti na koju se odnose, čineći mogućim da sve one budu jedinstvena nauka o jednom te istom biću.

Naime, naći nepoznatu veličinu na osnovu drugih, poznatih, ili „rešiti jednačinu” u matematici, jedno je opšte mesto u njoj, a imamo da su, u 16. veku, Nikolo Fontana (Tartalja) i Lodoviko Ferari učinili to s (opštom) jednačinom trećeg, odnosno jednačinom četvrtog stepena. Ali, čitava tri veka iza toga nikom nije polazilo za rukom da reši jednačinu petog stepena (niti stepena većeg od pet), da bi, s otkrićem kompleksnih brojeva, bio problem unekoliko preciziran (Gaus), kada je u formulaciji zadobio dodatak: „rešenje u radikalima”. Da, naime, formula–obrazac koji omogućava sva rešenja može uz četiri osnovne operacije da sadrži i korene.

Potom, Nils Abel (1824, s 22 godine) nalazi da ima jednačina stepena većeg od četiri odista nerešivih u radikalima i biva (posthumno) nagrađen (1830, Pariska Akademija nauka), pa je ostalo da budu nađeni uslovi pri kojima su, u opštem slučaju, neke od jednačina rešive, a druge nisu.

Evarist Galoa je imao 16 godina kada je, zbog retorike, iz trećeg razreda Pripremne škole bio vraćen u drugi i kad mu dolazi u ruke knjiga „Osnovi geometrije”, od Ležandra i on će je, kao roman, da pročita, za dva dana. Bila je to knjiga koja je, među drugim, prenela ostvarenje one od najređih ideja u nauci matematike i ljudskog duha, uopšte: da ono vizuelno, oblik može biti zamenjeno izrazom, brojem, a sva geometrija bude protumačena na način algebre (Dekart).

U toj je ideji moguće, našao on i smelost za vlastita istraživanja, pa je s nekim radovima Lagranža i Gausa o „rešivosti jednačina” stupio na tragu ideje o izvesnom dubljem smislu koji skriva u sebi zamena mesta (permutacija) korena jednačine, a koji je bio slutio već i Lagranž. Povoljno je bilo i to da su Akademije nauka u to doba imale sluha za „učenike”, njihove radove predstavljale i pisale izveštaje o njima – da je Lagranž, recimo, s dvadeset godina izneo pred Berlinsku akademiju čak 80 svojih radova. Galoa je bio učenik liceja Luj l` Gran u Parizu (1823-1829), a potom Pripremne škole, dok su slavna imena najviše institucije nauke u zemlje bili: Koši, Liuvil, Poason…

Najzad se može reći, pri svemu tome,
da Galoa dovršava svoje dokaze januara
1831. godine i da ih, po savetu Poasona,
šalje – po treći put – Akademiji, da ih
i sam on potom odbija, uz primedbu za
autorovu preteranu škrtost u izrazu…

O Evaristu će se njegov učitelj u školi da izrazi: „Njime je ovladala strast za matematikom, pa je bolje da se roditelji slože da se bavi on samo njome. Jer na času retorike samo gubi vreme i biva kažnjavan”, kao što će i njegov nastavnik matematike Luj-Pol Rišar naći, recimo: „Galoa se zanima samo za više oblasti matematike”. Ovaj poslednji će mu pomoći takođe da u martu 1829. objavi svoj prvi rad: „Dokaz teoreme o periodički neprekidnim razlomcima”, da bi 25 maja iste godine predao on Akademiji i rukopis koji je ostao da bude u osnovi teorije grupa: „Memoar o uslovima rešivosti jednačina u radikalima”.

Ogist Koši (Vikipedija)

Ali – iz razloga koji su ostali nejasni – Ogist Koši, akademik, ne „udostojava” rad recenzijom, čak ni januara meseca sledeće godine, kad je bio obećao da to učini, pa je Evaristu ostalo da ga pošalje na konkurs za nagradu te iste akademije, februara 1930. Ovoga puta, pak, se rukopisu gubi trag, a u međuvremenu umire Furije, sekretar ove ustanove, kome je bio on predat. Najzad se može reći, pri svemu tome, da Galoa dovršava svoje dokaze januara 1831 godine i da ih, po savetu Poasona, šalje – po treći put – Akademiji, da ih i sam on potom odbija, uz primedbu za autorovu preteranu škrtost u izrazu…

U čemu je suština tog dokaza, u matematičkim terminima? Rečju „grupa” označava Galoa, radije, primer tog opšteg pojma, ili ono što je danas „grupa permutacija” u algebri, dok bi se nekolika svojstva njena razabrala iz sledećeg. Broj 1 se može da „rasporedi” na jedan način (1), brojevi 1 i 2 na 2 (12, 21), a tri broja 1, 2 i 3 na šest načina (123, 132… 321) itd.

Biva time postulirana i operacija između njih u smislu da dva načina određuju neki treći, kad je i ta operacija asocijativna, a u svakom od slučajeva se može naći i, za sve elemente, jedan „neutralan”, kao i za svaki od njih po jedan „inverzan” elemenat. Takvi skupovi, kaže se, imaju strukturu grupe. Pritom su podgrupe delovi grupe koji imaju ta ista svojstva, da bi od njih, jedno posebno svojstvo izdvajalo tzv. „normalne podgrupe”. Imaju one svoje indekse itd. i valja još za datu grupu uočiti najveću normalnu podgrupu, pa za ovu ponovo to isto itd. Budu li svi indeksi tih podgrupa prosti brojevi, grupa je, kaže se „rešiva”.

Evarist Galoa svakoj jednačini pridružuje „polinominalnu funkciju korena” – mogu da izraze one njihova simetrična svojstva – dok bi ono što se danas zove „grupa Galoa” bila u stvari: najveća grupa permutacija sa svojstvom da svaka smena elemenata u funkciji dovodi do iste vrednosti. U tim se terminima, upravo, i formuliše rešenje ovog epohalnog problema i ono glasi: „Neka jednačina je rešiva u radikalima, ako i samo ako je grupa Galoa te jednačine rešiva”. Tako se nalazi da su 2 i 3 (dakle, prosti brojevi!) indeksi dve normalne podgrupe kod kubnih jednačina, pa su one rešive, u opštem slučaju, a da su takvi indeksi podgrupa kod jednačina petog stepena brojevi 2 i 60 – no, 60 nije prost broj!

Junak romana „Algoritam”

Do apstraktnog pojma grupe se, dakle, Galoa nije uzdigao, kao što su i „produženja” toga pojma: prsten, polje, telo… došla kasnije i tako će već 1872. godine, recimo, Feliks Klajn naći da ono što svaku od geometrija: euklidsku, afinu, projektivnu… suštinski određuje jeste, upravo, grupa transformacija koja ostavlja invarijantnim pojedino svojstvo objekata prostora (Erlangenski program).

Posle Dekartove analitičke geometrije, od najvišeg je značaja bilo to po algebrizaciju ove nauke, a kada je teorija skupova (Kantor) uveliko ostvarila svoj trijumfalan pohod s namerom da obuhvati sve grane matematike, pokazalo se da je i ona sama (tek) primer tzv. „teorije kategorija”, koja je – može se naći – jedna, radije, lingvistička preformulacija teorije grupa. Bulove algebre, vektorski prostori, topološki prostori… primeri su teorije kategorija, a zanimljivo je reći da je i u njoj samoj načinjen korak dalje do tzv. „teorije toposa” (Grotendik i dr.) koja se, inače, pokazuje podatnom i za sam filozofski „dijalog” s stvarnošću.

Takvom se pokazala potencija ovoga pojma
koju je oslobodio on u nauci matematike
do danas. „Matematičari će se uvek
interesovati za Evarista Galoa”, kaže
Žil Taneri. „On je od onih o kojima se
želi da sve zna”, reči su Karoline Erhart.

Naime, sledeći smisao reči topos (mesto), takva se teorija može da sazda po mestu na kome se primenjuje, jer je još iz topologije izvesno da su svojstva elemenata „posledica” okoline ili same strukture objekata, da je i važeća logika podređena tome. Imamo u vidu, upravo, teoremu (Diakonesku) prema kojoj: bude li iz svakog dela domena moguće izdvojiti po jedan elemenat (aksioma izvora), važila bi u toj oblasti klasična logika.

Topološko je, dakle, nadstavljeno nad logičkim, baš kao što su i, u živoj i neživoj prirodi, stvari i bića određena sredinom, ili kao što čovek svoju generičku suštinu ostvaruje u zajednici ljudi. Teorija kategorija potom (a onda i teorija toposa) valjano izražava i onu suštinsku dualnost sveta (materija–antimaterija, čestica–talas, broj–lik… ), jer se dobija ponovo kategorija i onda kad se smer strelica između objekata promeni itd.

Tragični dvoboj (Vikipedija)

Takvom se pokazala potencija ovoga pojma koju je oslobodio on u nauci matematike do danas. „Matematičari će se uvek interesovati za Evarista Galoa”, kaže Žil Taneri (1908). „On je od onih o kojima se želi da sve zna”, reči su Karoline Erhart (2011). Mi imamo da bi nekolike druge konstante životopisa ove „matematičke ikone” bile: sklonost ka grčkom i latinskom jeziku, ka stihovima u školi, koja mu je došla od majke, a ona ga je i sama obrazovala do njegove trinaeste godine i upisala u licej, ili to da ga je direktor Pripremne škole isključio iz nje, posle, inače, anonimnog pisma u novinama o njegovom držanju tokom ona „tri slavna dana” revolucije 1830. godine, na ulicama Pariza. Da bi se porazno odrazila na njega, svakako, i dva uzaludna pokušaja da se upiše on u Politehničku školu, kada je, drugi put, bio bacio u lice krpu ispitivaču, jer mu je postavio neko, do uvredljivosti, isprazno pitanje…

Gorljiv republikanac, u doba monarhija, najpre Karla X, a posle Luja-Filipa, Evarist Galoa je i dva puta bio na sudu, da bi osam meseci proveo u zatvoru Sveta Pelagija u Parizu.

Napisan je i roman „Algoritam” o njemu i snimljen film, a javlja se i junakom crtanog filma „Kosinus” za popularizaciju nauke kod dece. Ili: „Bleštava svetlost, strašna oluja, večitom tamom zastrta”, kako je opisao sam svoju prekratku misiju na ovom svetu, u pismu u noći pre duela.

O autoru

Stanko Stojiljković

Ostavite komentar