VREMENSKA MAŠINA

VINČANSKI PSEUDO

Institut „Vinča” (Vikipedija)

Institut „Vinča” (Vikipedija)

Mnoge stvari koje „ne razumemo” su, u stvari, deo svakodnevnog života! Tako, na primer, koristimo „interpolaciju” nesvesno kad znamo odmah koliko košta pola kilograma nečega čim vidimo cenu za jedan kilogram – imamo dva podatka: NULU i CENU – tako da ono što tražimo nalazimo unutar podataka! Ako nam treba više od kilograma – i to ćemo vrlo brzo znati koliko će koštati – naravno izvan datih podataka, tj. „ekstrapolacija”!

Prof. dr Ilfan Slavić

Priznajem da je ovaj esej ambiciozan – želja mi je da ovu temu shvate i oni koji imaju averziju prema formulama i matematici, i oni koji će shvatiti da je autor bio opsednut celog života ovom tematikom, i oni koje će interesovati stroga izvođenja i detalji rada – što mogu naći u citiranim radovima autora. Glavna odlika života jeste evolucija – prilagođavanje živog bića na promene uslova koji se stalno menjaju (Tempora mutantur et nos mutamur in illis). Prvi korak evolcije jeste POSMATRANJE – (kvalitativno). Opservacija promena neke pojave. Sledeći korak jeste MERENJE – (kvantitativno). Beleženje nekih parametara pojave. Treći korak jeste MODELIRANJE POSMATRANOG MERENJA – ovo možemo zvati: TEORIJA POSMATRANE POJAVE – na osnovu te teorije imamo neke ZAKONE koji nam objašnjavaju datu pojavu.

Modeliranje je ono što nas ovde zanima: to je traženi odnos dve ili više promenljivih karakteristika (merenih podataka) – taj odnos je u matematičkoj formi, koja ne mora da bude lako uočljiva. Aproksimacija je pretpostavljena matematička forma modela F(x1,x2,..) koja zadovoljava određene uslove u odnosu na raspoložive podatke, tj. da razlika između modela i merenih podataka bude s greškom koja je tolerantna.

Preklapanje vrhova

Neka nam je raspoloživo (i) podataka jednodimenzione varijable (x), [y(x)], a tražimo model (funkciju) [F(x)], i neka je greška: δ = y(x) – F(x) gde je y(x) varijabla zavisno promenljiva od x. Onda se traže optimalni parametri modela f(x;p1,p2,…), tako da suma kvadrata grešaka bude minimalna – to je poznata metoda najmanjih kvadrata” (engleski, Least Squares Method, LSM).

Autor je u svojoj disertaciji
našao takva rešenja za PPP
(priprema početnih parametara
za optimizaciju), koja su podigla
nivo analiziranih spektara sa
oko 30 na oko 90 odsto.

U prvoj fazi optimizacije parametara, poznatoj kao priprema početnih parametara za optimizaciju (PPP), traže se oni parametri modela koji će u drugoj fazi – iterativno podešavanje (engl. Fitting) – postići najbolje slaganje podataka sa nađenim parametrima. Da bi iteracije (ponavljanja) celog algoritma, tj. postupka popravki parametara, konvergirale – išle u smislu stalnog smanjivanja grešaka – publikovane su različite metode PPP. Ovde je reč o nalaženju rešenja modela koji analizira spektre gama zračenja – ovi spektri se dobijaju merenjem zračenja u studijama nuklearne fizike, u primeni radioizotopa u medicini itd.

Određeni gama zrak se predstavlja modelom (Gausijan, Lorencijan) koji ima tri parametra: amplituda, poluširina i pozicija – pozicija pretstavlja energiju, amplituda intenzitet, a poluširina linije gama zraka odražava fizičke uslove detekcije – ovo zavisi od vrste detektora, kolimacije zračenja, vremena merenja itd. Autor je u svojoj disertaciji našao takva rešenja PPP koja su podigla nivo analiziranih spektara sa oko 30% na oko 90%. Kako je taj rezultat dobio puno priznanje u naučnim publikacijama, to mu je priznato kao disertacija. Štaviše, ideje primenjene u disertaciji poznate su u naučnoj literaturi kao „Slavic’s peak searching method”.

Druga faza aproksimacija izabranim modelom predstavlja iterativni postupak nekom modifikacijom tzv. Gaus-Njutnovog algoritma. Ovaj postupak u svakoj iteraciji koristi inverziju jedne matrice – dimenzije te matrice su broj parametara puta broj parametara. Poznato je da sa povećanjem broja parametara invertovana matrica ima sve veće greške, tako da za određen slučaj postaje neupotrebljiva.Kada je zračenje veoma složeno – što je opšti slučaj – onda se linije (poznate i kao „vrhovi” ili „pikovi”) preklapaju, pa se ceo model mora posmatrati kao jedinstven, tako da, na primer, za desetak pikova imamo 30 parametara! U takvim slučajevima pri fitovanju najčešće dolazi do divergencije, tj. greške postaju sve veće, tako da ne možemo da dobijemo pozitivan rezultat.

Lanac nejednačina

Autor je posle disertacije, tražio rešenja za ovaj problem. Najbolja ideja koja je dala rezultat je tzv. „algoritam bez inverzije matrice” (engl. Algorithm Without Matrix Inversion – AWMI). Ideja je bila da se u svakoj tački posmatra lanac nejednačina: kvadrat izvoda, po nekom parametru modela < izvod x diferencija < kvadrat  diferencije, gde su diferencije po priraštaju parametra greške u odgovarajućoj iteraciji. Odatle se jednostavno izvodi i priraštaj tog parametra u toj iteraciji i procena trenutne greške tog parametra. Osnovna ideja AWMI publikovana je u radu  „Automatic Analysis of Raman Spectra, Slavic I., Sasic S. (Spectroscopy Letters, 28(5) 783-794 (1995)”, a metoda uspešno primenjena u još dva rada. Autor je tek posle gotovo 40 godina dobio pozitivne ocene AWMI algoritma koji, praktično, predstavlja jedinstvenu alternativu viševekovnom Gaus-Njutnovom, algoritmu!

U maločas pomenutom i u radu pod naslovom „Automatic Analysis of Soft X-Ray Emission Spectra Obtained by EPMA” (Slavic A.I., Slavic I.J., Grzetic A.I., Pavicevic K.M.) izvedena je teorema apsolutne konvergencije (AWMI) za linearan model  kada se cela slika jednostavnim transformacijama obzervabli preslikava u tzv. „standardnu reprezentaciju” (SR – po autoru)  [0,1], gde je SR deo „konvergentnog prostora” [-1,1].Zanekesledeće eksperimente mogu biti zanimljiva preslikavanja i u neki od ostala tri kvadranta konvergentnog prostora!

Glavni problemi koje rešava AWMI tiču se nelinearnih višeparametarskih modela. Ceo algoritam se odnosi  na bilo kakvu nelinearnu, pa i linearnu raspodelu. Kako se nelinearni slučajevi fitovanja rešavaju linearizacijom modela, to se cela metoda može smatrati dovoljno opštom. Interpolacije pretpostavljaju modele koji „nemaju” greške u datim tačkama, to ćemo posebno razmotriti – mimo fitovanja!

Glađenje podataka

Linearni slučajevi su najčešće u domenu interpolacija i ekstrapolacija. Važan zaključak AWMI jeste da se ta metoda uspešno izvodi i za linearne slučajeve – jedinstvena je autorova metoda  prekobrojnih parametara (engl. Overrank, PP) koja je, naizgled, u protivrečnosti sa opštim gledištima numeričke matematike da broj parametara modela ne može da bude veći od broja raspoloživih podataka! Opravdanje za overrank metodu je sledeće: kada se traži interpolacija bilo kojom od poznatih metoda (Lagrange, Newton, Aitken…), onda je broj parametara jednak broju podataka i greške u datim tačkama su nule. Ali između tačaka-podataka nađeni polinom može da znatno odstupa od očekivanog opšteg trenda!

Ostale su neobjavljene ideje
o glađenju (smoothing) podataka
koji su statistički veoma
raspršeni iz raznih razloga,
kao što su analize retkih događaja.

 

Glatkost bilo koje funkcije (krive) zavisi direktno od broja izvoda te funkcije! Kod PP linearne aproksimacije broj parametara veći je od broja tačaka i samim tim veći je i broj izvoda nego za slučaj klasiče interpolacije. Tada se lako može proveriti na odgovarajućim primerima da je glatkost (smoothness) PP krive veća. Tada se lako uoči da PP funkcija znatno bolje prati logičan trend datih tačaka. Autor je, u saradnji sa ćerkom matematičarem razradio ideju nalaženja eksplicitne forme interpolacionog polinoma jedinstvenom metodom ljušćenja (engl. Stripping) – takav polinom je veoma pogodan za dalji rad (diferenciranje ili integracija), a ujedno je jedinstven u pogledu korišćenja za ekstrapolaciju!

U saradnji sa istraživačima u Institutu „Vinča” i drugima, autor je uspešno primenio navedene originalne metode za rešavanje raznih istraživačkih problema: primena striping polinoma u rudarstvu, aktivaciona analiza voda Dunava, teorijska analiza pseudopotencijala – sa autorovim predlogom jedinstvenog modela koji je postao osnova tzv. „Vinčanske škole pseudopotencijala”, primena  u teorijskoj nuklearnoj fizici itd. Autorovi radovi se jednostavno nalaze i kao citati u publikacijama i knjigama.

Da bi se zaokružio autorov celokupan rad na aproksimacijama ostale su neobjavljene ideje o glađenju (smoothing) podataka koji su statistički veoma raspršeni iz raznih razloga, kao što su analize retkih događaja (primer: studija zračenja neutrina sa Sunca) itd. Traže se sponzori!

O autoru

Stanko Stojiljković

Ostavite komentar