Drevni Egipćani su poznavali broj koji mi nazivamo nulom, krajnji uzrok svega iza kojeg nema drugog uzroka, ideju koja još nije pokrenuta. Međutim, vrlo retko su je imenovali jer su smatrali da čovek nije dovoljno dostojan da govori o skrivenom uzroku svega. Zanimljivo je da su stvaranje univerzuma koje je zabeleženo u njihovim eneadamaprikazivali pomoću prirodnih brojeva.
Ja sam Jedan koji postaje Dva.
Ja sam Dva koji postaje Četiri.
Ja sam Četiri koji postaje Osam.
Potom sam opet Jedan.
(Pentamonov sarkofag, Muzej u Kairu)
U ovim zagonetnim stihovima skriven je odnos drevnih Egipćana prema brojevima, a koji je bio temeljno drukčiji od onoga današnje civilizacije. Šta današnjem čoveku predstavljaju prirodni brojevi jedan, dva, tri… do beskonačno? Oni su apstraktne oznake kojima se izražava količina nečega. Zbog toga što im ne pridajemo određeni kvalitet, podložni su svim aritmetičkim operacijama (sabiranje, oduzimanje, množenje…). Njihov niz je diskretan i ništa se ne zna o onome što razdvaja dve uzastopne vrednosti.
Osim ove statične matematike drevni Egipćani su poznavali i drugu, tzv. dinamičku, matematiku prirode. Oni su, u poznatoj nam istoriji, imali najrazvijeniji odnos prema metafizičkom i arhetipskom (idejnom), jer su smatrali da je sve što postoji i živi, uključujući i Egipat, nastalo i uvek će nastajati gore. Od najmanjih mikroorganizama do galaksija, sve izlazi iz sveta ideja i ulazi u svet materije, stvarajući tako neki od bezbrojnih oživljenih oblika, da bi se zatim, napuštajući svoj oblik, ponovo vratilo svojrm izvoru i čekalo novi ciklus manifestacije. Međutim, svet ideja bio je i njima podjednako nevidljiv kao i nama. Da bi izrazili nevidljivo u vidljivom, stvorili su simbole. Svaki simbol bio je živa veza između ta dva sveta. Prirodni brojevi bili su upravo takvi simboli i opisivali su zakonitosti procesa prema kojem sve nastaje, zatim nestaje.
Drevni Egipćani su poznavali broj koji mi nazivamo nulom. Nula je predstavljala krajnji uzrok svega iza kojeg nema drugog uzroka, ideju koja još nije pokrenuta. Međutim, vrlo retko su je imenovali jer su smatrali da čovek nije dovoljno dostojan da govori o skrivenom uzroku svega. Zanimljivo je da su stvaranje univerzuma koje je zabeleženo u njihovim eneadama (npr. Heliopoliskoj), prikazivali pomoću prirodnih brojeva. Brojevi jedan, dva, tri, četiri simbolički su predstavljali tajnu nastanka fizičkog sveta iz sveta ideja i način širenja i spuštanja u materiju, a pet, šest, sedam, osam i devet put povratka izvoru da bi nakon toga započeo novi ciklus s brojem deset.
Himna posvećena Amonu Ra, sačuvana u poznatom Lajdenskom papirusu, zorno prikazuje navedenu vezu između brojeva i geneze. Himna se temelji na igri reči i brojeva, i sastoji se od 27 strofa koje su podeljene u tri grupe po devet strofa. Strofe koje počinju sa istim brojem u osnovi govore o istom principu, samo na drugoj ravni manifestacije. Tako je tajanstveni početak stvaranja opisan u strofama koje počinju s jedan (1, 10 i 100): „On koji je započeo početak, Amon koji je došao na početku, čija tajanstvena pojava nikome nije znana… Bog nad bogovima, proizišao iz samoga sebe. Sva božanska bića nastala su posle njegovog postanka.” Strofe koje počinju s dva (2, 20 i 200) govore o prvoj dvojnosti, o prvom razdvajanju jedinstva na suprotnosti koje se nadopunjuju. Strofe koje počinju s četiri (4, 40 i 400) vezane su uz genezu na fizičkom planu: „Nevidljiva esencija stvara samu sebe”. Strofe 50 i 500, čija prva reč dua znači pet, ali i poštovati, sadrže himne koje veličaju čuda stvaranja. Strofe 70 i 700 govore o načinu oslobođenja od svih ograničenja pojavnog sveta.
Ovakvo poimanje brojeva kod Egipćana imalo je presudan uticaj i na velikog grčkog filozofa Pitagoru koji je učio u egipatskim hramovima. Vrativši se u Grčku, osnovao je filozofsku školu čije se učenje temeljilo na broju kao arhetipu. Smatrao je da su „sve stvari uređene na temelju brojeva” i da stoga filozof koji neprestano traga za istinom mora razotkrivati i misteriju brojeva. Međutim, samo su egipatski (otkrivači svetih stvari) posedovali znanje o živim brojevima i onome što se nalazi među njima. Prema njihovom uverenju, ovi brojevi nisu zbrojivi jer bi se tako zbrajale kruške i jabuke tj. kvalitativno sasvim drugačije stvari. Ne može se zanemariti ni ono što čini prelaz iz jednog broja u drugi, tj. jedne u drugu fazu manifestacije jer je ona neprekinuta. Ali šta je to jedan i kako postaje dva, zatim sve ostalo, da bi na kraju opet postalo jedan? Odgovor na ovo pitanje skriven je u prošlosti jer su sačuvani uglavnom arheološki ostaci koji govore o korišćenju brojeva u trgovini, graditeljstvu i svakodnevnom životu.
Iako je široko primenjena, njena sakralna namena nema svoje zasluženo mesto u povesti matematike, što je u najmanju ruku nepravedno. Egipćani su koristili dekadni sistem brojeva, što je razumljivo jer on najbolje izražava spomenuto ciklično ponavljanje geneze. Za njihovo zapisivanje upotrebljavali su različite oznake u hijeroglifskom, hijeratskom i demotskom pismu. Hijeroglifsko pismo služilo im je uglavnom za sakralnu matematiku, a ostala dva za svetovnu tj. računsku matematiku. U sva tri posebno su označavali samo istaknute brojeve dekadnog sistema, a da bi zapisali neki proizvoljni broj ponavljali su ga najviše devet puta. Smer pisanja i čitanja tekao je s desna na levo tj. obrnuto od današnjeg načina.
U hijeroglifskom pismu jedan su označavali vertikalnom crtom, deset obrnutim slovom „U”, sto spiralom, hiljadu simbolom lokvanja, deset hiljada prstom, sto hiljada guštericom, a milion čovekom koji uzdiže ruke prema nebu. Potonji je ujedno korišćen i kao simbol za beskonačno. Zanimljivo je da jedan zidni zapis o vojnom pohodu 3300. godine pre Hrista pominje brojku od milion četiri stotine dvadeset dve hiljade (1.422.000), što još više pobuđuje pažnju ako se prisetimo da su stari Grci imali oznake za brojeve do deset hiljada, a da se pojam milion u našoj civilizaciji pojavio tek u drugoj polovici 14. stoleća.
Otkriće i dešifriranje dva znamenita papirusa s matematičkim sadržajem rasvetlilo je, ali i zapečatilo službenu povest matematičkih dostignuća Egipćana. Razlog tome je njihova sličnost s današnjim matematičkim priručnicima u kojima su, bez objašnjavanja i dokazivanja kako se do toga došlo, dati gotovi recepti za rešavanje različitih matematičkih problema. Prvi se naziva Ahmesov papirus, prema pisaru koji ga je sastavio oko 1650. godine pre naše ere. Dugačak je šest metara, širok trideset centimetara i opisuje oko osamdeset i pet različitih matematičkih problema. Drugi je tzv. Moskovski papirus, jer se čuva u Puškinovom muzeju, i datira iz 1850. godine pre Hrista. Dugačak je šest metara, širok osam centimetara i sadrži dvadeset i pet matematičkih problema. Oba su pisana hijeratskim pismom koje su egipatski pisari najčešće koristili za zapisivanje stvari iz svakodnevnog života.
Ahmesov rukopis nosi zanimljiv naslov Uputstva za poznavanje svih tajni koje su sadržane u stvarima, što govori u prilog tome kako je egipatskim sveštenicima i pisarima matematika, iako korišćena u praktične svrhe, prvenstveno služila za upoznavanje skrivene biti stvari.
Egipatska matematika uglavnom se temeljila na deljenju, zbog već opisanog razumevanja brojeva kao nečeg jedinstvenog. Oni su, dakle, govorili o celini i njenim delovima, a to su beležili tako da su na mesto brojioca pisali hijeroglif Horusovo oko, koji simbolizira sposobnost viđenja cjeline, a u imenilac broj koji govori o kojem delu celine se radi. Imali su posebne tablice za rastavljanje različitih razlomaka na zbrirove korenskih razlomaka, tj. razlomaka u čijim se brojiocima nalazi jedan. Na primer, razlomak osam petnaestina, 8/15, predočili bi kao zbir od jedne trećine i jedne petine, jer je 1/3+1/5 = 8/15. S tako predočenim razlomcima su vrlo vješto računali. Jedino su za 2/3 imali poseban hijeroglifski znak.
A množili su na iznenađujući način, što je u Ahmesovom papirusu prikazano na primeru 45 x 13. Jedan od množilaca, u ovom slučaju 13, množili su sa umnošcima broja dva, tj. s 1, 2, 4, 8, 16 i 32, i zbrajali one umnoške od kojih zbir umnožaka od dva daje 45, što možemo pisati kao 13 x (20 + 22 + 23 + 25) = 13 x (1 + 4 + 8 + 32) = 585. Mogli bismo reći da su množili u binarnom sistemu, poput današnjih računara.
Kao primer načina računanja potencija i zbrajanja, Ahmes iznosi sledeći zadatak. Neko imanje ima sedam zgrada. U svakoj je sedam mačaka. Svaka je pojela sedam miševa, od kojih je svaki pojeo sedam zrna pšenice. A svako bi zrno moglo dati sedam merica žita. Koliko bi na imanju bilo ukupno zgrada, mačaka, miševa, zrna pšenice i merica žita? Rešenje je: 7 zgrada, 49 mačaka, 343 miševa, 2.401 zrna, 16.807 merica, što ukupno iznosi 19.607. Isti je problem rešavao i slavni Fibonači tri hiljadee godine kasnije. Jedan od zadataka čije je rešenje začudilo prevodioce glasi ovako: Ako zbir nepoznatog broja nekih stvari i njihove sedmine iznosi 19, koliki je broj stvari? To bi danas zapisali kao linearnu jednačinu s jednom nepoznatom:
Egipćani su to rešavali na sljedeći način. Pretpostavili su za rešenje npr. 7, sedmina toga je 1, a rešenje koje se tako dobije je 8, znači pogrešno. Ahmes, međutim, ispravno podučava svoje učenike kako treba povećati neispravno pretpostavljeni broj, u ovom slučaju 7, onoliko puta koliko iznosi donos traženog i dobijenog broja (u ovom slučaju 19/8). Ovaj način počeo se često koristiti na kraju 20. Veka s pojavom računara. Koristi se u vrlo složenim elektrotehničkim proračunima linearnih jednačina, jer se na ovakav način do rešenja dolazi znatno jednostavnije negoli egzaktnim matematičkim metodama.
Za izgradnju veličanstvenih hramova i piramida bilo je potrebno i veliko znanje iz geometrije, o čemu svedoče opisi. Poznavali su poseban slučaj geometrijske zakonitosti, danas znane kao Pitagorina polazna misao, prema kojoj je trougao s katetama tri i četiri, i hipotenuzom pet, pravougaoni trougao. To im je služilo za određivanje pravog ugla, bez kojeg je nezamislivo bilo kakvo graditeljstvo. Na jednom zidu hrama u Edfuu ostao je sačuvan način izračunavanja površine trapezoida i to množenjem poluzbirova suprotnih stranica. Formula nije potpuno točna, ali greška je manja od dva posto.
U Moskovskom papirusu prikazano je najveće dostignuće egipatske geometrije, proračun volumena krnje pravilne četverostrane piramide, iako ne egzaktnom formulom kako smo navikli:
nego opisno, ali potpuno ispravno.
Za ilustraciju znanja i matematičke pouzdanostiegipatskih graditelja spomenimo neke činjenice: savršenu orijentaciju hramova prema stranama sveta, dva miliona kamenih blokova teških do pedeset četiri tone koji su ugrađeni u Veliku piramidu u Gizi s takvom preciznošću da se ni vlas kose ne može ugurati između njih. Uz to, pravi uglovi piramide su tačni do ispod jedan posto, a stranice koje su dugačke dvesta trideset metara u dužini se razlikuju samo dvadeset centimetara.
Egipćani su poznavali i iracionalni broj π, vezu između obima i prečnika kružnice. Sam način računanja je takođe zanimljiv jer su koristili stolećima spornu „kvadraturu kruga”. Kvadrat stranice a = 16 ima istu površinu kao i krug poluprečnika r = 9, što bi prema današnjoj formuli izgledalo ovako:
r2 π = a2
odakle sledi egipatski π
π = = (a/r)2 = (16/9)2
koji približno iznosi 3,1605. U odnosu na 3,14159 pogreška je manja od jedan posto!
Ako su na samo dva papirusa ostala zapisana i sačuvana tolika znanja, ne možemo ni pretpostaviti šta je sve bilo na desetinama hiljada papirusa koji su spaljeni u Aleksandrijskoj knjižnici. To nas podseća na dubinu kulturnog sloma antike nakon kojeg se toliko toga moralo, i još mora, ponovno otkrivati. Istoričari nauke dosad nisu otkrili kako su Stari Egipćani došli do tako visokog stupnja spoznaje. No, ne bi li možda bilo važnije imati na umu za šta i kako su ta znanja koristili? Poznato je da su znatno veću pažnju poklanjali podizanju hramova i svetilišta negoli izgradnji kuća i predmeta za svakodnevnu upotrebu. Pritom su se ravnali prema matematičkim kanonima, pokušavajući uspostaviti sklad između univerzuma, hrama i čoveka.
(Ilustracija Princeza Nefertiabet, IV dinastija, stela iz Muzeja Luvr:Prikazana pored stola sa žrtvenim prinosima odevena kao sveštenica u leopardovu kožu i podseća na drevnu egipatsku boginju Sešat, boginju znanja, mudrosti i pisanja i zaštitnicu astronomije, astrologije, gradnje, matematike i uopšte nauke).
(Nova Akropola)
