BROJ π U DOBA RAČUNARA

Sredinom dvadesetog veka nastupila je era elektronskih računara tako da je romantična trka za rekordom u izračunavanju broja π bila praktično završena. Već 1949, koristeći razvoj arkus tangensa, tim koji su predvodili Džordž Rajtvizner i Džon fon Nojman, dostigao je 2.037 decimala broja π na računaru ENIAC. Jedna od Ojlerovih formula za arkus tangens je omogućila Žanu Gulou i Martinu Bujeu da 1973. izračunaju milion decimala broja π, braća Čudnovski su 1989. sopstvenom formulom prvi prebacili milijardu itd.

Prof. dr Miodrag Petković

U štampanoj verziji Nove Galaksije (broj 1/2024) profesor Milan D. Tasić dao je izuzetno edukativan i sistematičan kratak pregled istorije matematičkih konstanti, koncentrišući se najviše na konstante

a i na neke prirodne brojeve sa interesantnim svojstvima. Zašto vlada toliko interesovanje za broj π? Pošto je π blisko povezan s krugom, nalazi se u mnogim formulama iz geometrije i trigonometrije, posebno u onima koje se tiču kruga, sfere ili elipse. Druge grane nauke, kao što su verovatnoća, statistika, fizika, Furijeova analiza, teorija potencijala, teorija brojeva, Hajzenbergov princip neodređenosti i tako dalje, takođe uključuju π u neke od svojih važnih formula.

Razmatraćemo neke osobine i formule za izračunavanje najpoznatije matematičke konstante π do kojih se došlo isključivo pomoću elektronskih računara negde od sredine 20. veka pa nadalje. Engleski matematičar-amater Vilijam Šenks je 1853. godine izračunao 530 decimala (527 tačnih) broja π (Contribution to Mathematics, London 1853, str. 86-87). On je dvadeset godina kasnije, pomoću mehaničkog kalkulatora, izračunao 707 decimala. Na njegovu žalost, greška u 528. decimali iz 1853. prouzrokovala je da svih 180 poslednjih cifara bude pogrešno. To je 92 godine kasnije utvrdio Danijel Ferguson (Nature, March 1946, s. 342) pomoću mehaničkog stonog kalkulatora.

Sto godina posle Šenksa nastupila je era elektronskih računara tako da je romantična trka za rekordom u broju tačnih cifara broja π bila praktično završena. Ironično i pomalo tragično deluje višegodišnja opsednutost nekih istraživača (Ludolfa van Cojlena i Šenksa pre svih) decimalama broja π. Danas se pomoću efikasnih algoritama i moćnih računara gotovo svakodnevno izračunaju bilioni decimala i već je teško pratiti rekorde. Prisetite se da se u ukrštenim rečima broj π pojavljuje pod nazivom Ludolfov broj – Ludolf je značajan deo svog života proveo izračunavajući vrednost broja π. Do kraja života, 1610. godine, izračunao je broj π na 35 tačnih decimal koje su urezane na njegovom spomeniku u Lajdenu.

Pri kraju dvadesetog veka braća Dejvid i Gregori Čudnovski objavili su sledeću formulu za računanje broja π

Koristeći ovu formulu oni su 1989. godine postavili svetski rekord u izračunavanju broja π sa 480.000.000 decimalnih mesta. U sledećih pet godina još četiri puta su postavljali svetski rekord. Braća Čudnovski su dobila inspiraciju za svoju formulu analizirajući red

čuvenog indijskog matematičara Srinivase Ramanudžana. Mada veoma efikasna, formula braće Čudnovski je pomalo bleda u poređenju sa senzacionalnim rezultatom  istraživača Dejvida Bejlija, Pitera Borvina i Sajmona Plufa. Oni su 1996. otkrili novu formulu za izračunavanje cifara broja π (poznatu kao BBP-algoritam):

Po čemu je formula (1) tako fascinantna? Ona omogućava da izračuna specifična cifra broja π bez izračunavanja prethodnih cifara. Jedina mala prepreka je da one nisu decimalne cifre već heksadecimalne (osnova 16), od kojih se mogu dobiti cifre u bazama 8, 4 ili 2, a zatim ih konvertovati u decimalnu bazu. Već sledeće godine poznati francuski matematičar i programer Fabris Belar je koristeći ovu formulu pokazao da je stomilijardita heksadecimalna cifra broja π jednaka 9. Trenutni rekord je postignut upravo na π-dan 2024 (tj. 3/14/2024, na osnovu forme zapisa datuma u nekim državama ili regionima), a ostvarili su ga Džordan Ranus, Kevin O’Brajen i Brajan Biler. Rekord iznosi 105 biliona decimalnih cifara, broj koji se piše sa 15 decimalnih cifara (izvor: Vikipedija).

NAPOMENA 1. Da bi se izbegla moguća konfuzija, broj sa 9 nula posle 1 u SAD i Britaniji se naziva bilion, trilion je broj sa 12 nula posle 1 itd. Međutim, u nekim zemljama bilion je ekvivalentan sa milijardom (npr. u Srbiji, na španskom je milardo, na francuskom, poljskom i ruskom miliard, na nemačkom miliarde). Zatim, sledi naš bilion (anglosaksonski trilion), pa naš trilion, dakle, neka vrsta translacije za 10³ (10^3).

NAPOMENA 2. Za izračunavanje broja π na ogroman broj decimala i verifikaciju rezultata potreban je superkompjuter velike memorije (reda terabajta) i izuzetne brzine izvršavanja operacija (reda 10¹⁵ (10^15) u sekundi ili više), mada ima i izuzetaka u slučaju algoritma BBP-tipa koji je usavršio Fabris Belar – on je koristio gejmerski personalni računar od 3.000 dolara. U poslednjoj deceniji matematičari i programeri su neke rekorde postigli koristeći Google Cloud platformu; to je zapravo ogromna mreža računara (lokacija i broj računara je stroga tajna).

Svrha izračunavanja broja π i nove trke za rekordima je, uglavnom, testiranje novih kompjuterskih sistema, pre svega kompjuterske aritmetike. Izračunavanje broja π je neka vrsta testa na stres za kompjutere, vrsta „digitalnog kardiograma”, navode neki eksperti za kompjuterske nauke. Osim toga, ova izračunavanja su važna u kreiranju   brzih algoritama za izvršavanje osnovnih aritmetičkih operacija, specijalno u aritmetikama s višestrukom preciznošću, a i za generisanje (pseudo)slučajnih brojeva. Naravno, neki programeri i matematičari rade ovakva izračunavanja da bi došli do zrnca slave u slučaju da postave rekord i obezbede mali prostor u novinama.

U nastavku nekoliko interesantnih i neobičnih činjenica i osobina koje se odnose na broj π.

• Matematičari i kompjuterski stručnjaci se godinama pitaju da li je niz cifara broja π statistički slučajan niz, tj. da li se cifre od 0 do 9 javljaju bez perioda i u proseku od 10% svaka. Provera na prvih nekoliko milijardi (biliona, što bi rekli Amerikanci i Britanci) decimalnih mesta pokazala je da je pomenuti niz najverovatnije statistički slučajan niz. Upravo je ovaj pristup pomogao pomenutom Danijelu Fergusonu da nasluti grešku u Šenksovom izračunavanju broja π na 707 decimala (1873) jer se cifra 7 pojavljila primetno manje u rezultatu nego ostale cifre.
• Često se postavlja pitanje pojave određenog niza cifara u razvoju broja π, na primer, niza 314159 prvih šest cifara broja π. Ovaj niz se javlja šest puta među prvih 10 miliona cifara u decimalnom razvoju broja π. S druge strane, nizovi 00000000 i 123456789 se ne javljaju u razvoju od nekoliko milijardi cifara, ali to ne znači da ih sigurno nema; u stvari, ovo je pitanje koje pripada grupi matematičkih problema na koje se ne može odgovoriti, ne samo u ovom trenutku već možda nikad. Ali, da je sve moguće kazuje sledeći primer: sve decimale broja π počev od 762. do 767. (ukupno šest) su devetke, a da počev sa 710.150. decimalom sledi sedam uzastopnih trojki: …3537333333386… Ovo je zaista čudesna osobina koju je primetio Donald Knut, profesor računarskih nauka sa Stenfordskog univerziteta i dobitnik prestižne Tjuringove nagrade, zahtevajući od svojih studenata da izračunaju broj π sa 15 miliona decimala koristeći tada aktuelnu formulu E. Salamina. Inače, pomenuta 762. cifra (od koje startuju devetke) popularno se naziva Fajnmanovo mesto po prezimenu čuvenog američkog fizičara i nobelovca Ričarda Fajnmana, koji se jednom kladio da će naučiti napamet decimalni razvoj broja π do decimale od koje počinje niz 999999. Ne zna se da li je to i uradio, bar autoru ovog priloga nije poznato.
• Postoje različite tehnike za pamćenje cifara broja π na različitim jezicima a sastoje se uglavnom od duhovitih rečenica. Jedna od najpoznatijih na engleskom jeziku (autor je čuveni pisac naučne fantastike Isak Asimov) jeste sledeća: How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.(Kako želim piće, alkoholno naravno, posle teških predavanja koja uključuju kvantnu mehaniku).

Broj slova svake engleske reči u ovoj rečenici predstavlja vrednost cifre u aproksimaciji 3,14159265358979 – 14 tačnih cifara.

Evo još jedne pamtilice: May I have a large container of coffee? (Mogu li dobiti veliku šolju kafe?)

I jedne na srpskom jeziku:

Sl. 1 π-pamtilica

• Poznata britanska pevačica Kejt Buš (Wuthering Heights, Babooshka, Running Up That Hill, Cloudbusting…) je na svom albumu Aerial (2005) opevala broj π: Sweet and gentle and sensitive man, With an obsessive nature  and deep fascination for numbers, And a complete infatuation with the calculation of number pi. U prevodu: Drag i nežan i osetljiv čovek, Pun strasti, duboko fasciniran brojevima, I potpuno posvećen računanju broja pi. Njemu (tom dragom i nežnom čoveku) u čast Kejt Buš u nastavku pesme nabraja prvih 120 decimalnih mesta broja π. Nažalost, uz greške i propuste, ali zar je to važno kada se radi o pesmi.
• Broj decimala broja π upamćen pomoću raznih rečenica i stihova deluje gotovo smešno u poređenju s brojem cifara koje je zapamtio Akira Haraguči, penzionisani japanski inženjer. On je izrecitovao 100.000 decimalnih cifara broja π za 16 sati, od 3. oktobra do 4. oktobra 2006. S obzirom da Guinness World Records još nije priznao ovaj rekord (prema mom saznanju), na snazi je rekord od 67.890 cifara koje je izrecitovao Kinez Lu Čao za 24 sata 20. novembra 2005.
• U SAD i Velikoj Britaniji se 14. mart (koji se zapisuje kao 3/14) slavi kao π –dan. Albert Ajnštajn se rodio na π-dan 1879. u Ulmu, Nemačka. Upravo na π-dan 2024. postavljen je novi svetski rekord u broju decimala broja π, što je navedeno u uvodnom delu.Broj

• Broj

je veoma blizak broju 20.

• Još neverovatniji je rezultat

u kojem posle osamnestocifrenog broja iza decimalne zapete sledi 12 devetki. Čuveni indijski matematičar Srinivasa Ramanudžan je znao da ovaj broj nije ceo, ali je pretpostavku da bi ovo mogao da bude ceo broj objavio u aprilskom broju časopisa Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (Vol. 45, 1913-14) kao prvoaprilsku šalu u dogovoru sa urednikom časopisa.

• 1998. godine snimljen je film Pi (režiser Daren Aronovski) o matematičaru koji počinje da ludi tragajući za uzorkom u razvoju broja π kojim bi postigao uspeh na berzi i dobio odgovore na neka pitanja o univerzumu. Broj π se takođe javlja u Hičkokovom filmu Torn Curtain (1966) i filmu The Net (režiser Irvajn Vinkler, 1995) u kojem glavnu ulogu igra Sandra Bulok.
• U epizodi Wolf in the Fold čuvene TV serije Zvezdane staze, kapetan Spok zaustavlja poludeli računar naredbom: „Izračunaj poslednju cifru broja π”, čime ga naravno zbunjuje i sprečava da dalje čini loša dela. Setite se filma War Game (1983) u kojem je vojni superkompjuter WORP skoro započeo nuklearni rat, ali ga je mladi haker (Metju Broderik) nadmudrio zadavši mu zadatak da igra poznatu igru tik-tak-toe (ili X-O) protiv sebe samog. Ova igra nema pobednika ako se igra pravilno i superkompjuter prekida lansiranje raketa jer iz prethodne igre zaključuje da ni eventualni nuklearni rat nema pobednika.

• Jedno trik-pitanje: Kolika je zapremina pice (pizza) debljine a i poluprečnika z? Odgovor:

• Čuvena modna kuća Givenchy lansirala je parfem za muškarce pod nazivom π, reklamirajući da je namenjen inteligentnim i vizionarski nastrojenim muškarcima.
• Godine 2012. u Njujorku, u 26. ulici na Menhetn skveru, otvoren je jedinstveni Muzej matematike MoMat (videti sliku 2 – ulaz u Muzej). Pored mnogih zanimljivih eksponata, u prodavnici suvenira mogu se kupiti i pozlaćene minđuše u obliku slova π (slika u uglu). Ako vam se ovaj suvenirčić ne sviđa, odmah preko puta muzeja imate peglu – čuvenu zgradu Fletajron (Flatiron, pegla) u obliku pegle (deli ih Peta avenija), prvi njujorški oblakoder i jedna od najpopularnijih zgrada u SAD prema anketi iz 2023. Još je aktuelna (mada nepouzdana) priča da je u ovoj zgradi radio kao liftboj čuveni filmski glumac Keri Grant pre nego što je postao poznat.

Na kraju evo jedne priče o velikom dostignuću iz 18. veka o kojem moja, a i današnje generacije. ne bi ni htele da razmišljaju bez računara. A pitanje je da li bi mnogima računar uopšte nešto i pomogao. Pjetro Mengoli (1626-1686), italijanski sveštenik i matematičar, profesor matematike na univerzitetu u Bolonji, najviše je poznat po izučavanju beskonačnih redova. Godine 1644.  postavio je pitanje da li je suma svih recipročnih vrednosti kvadrata prirodnih brojeva

konačan ili beskonačan broj. Ovim pitanjem najviše su se bavili članovi matematičke porodice Bernuli i Leonard Ojler, svi iz Bazela (Švajcarska), tako da je zadatak postao poznat kao Bazelski problem. Posle desetogodišnjeg rada Ojler je 1735. dao odgovor koji glasi:

dakle, suma je konačan broj i data je izrazom na desnoj strani. Mnogi matematičari smatraju ovu formulu jednom od najlepših u matematici. Danas se gornja suma može naći na više načina (na primer, pomoću integracije pogodnog beskonačnog reda ili pomoću trigonometrijskih redova).

Postavlja se pitanje kako je Ojler izračunao sumu recipročnih vrednosti kvadrata prirodnih brojeva? Do rezultata je došao mukotrpnim desetogodišnjim radom prostim računanjem ili metodom olovka-i-papir. Najpre je izračunavanjem jednog integrala dobio rezultat 1.644934 sa šest decimala, a u drugom koraku povećao je tačnost sume na 17 decimala! Mora se priznati da je to bio neverovatan podvig bez kalkulatora ili računara, ali treba pomenuti i činjenicu da je slavni matematičar imao izuzetnu memoriju. Evo jednog poređenja: 16-bitni računari proizvedeni sredinom šezdesetih godina dvadesetog veka (na primer IBM 1130 – pola dvanaest, prvi računar na kojem sam kao student radio), mogli su da daju rezultate tačnosti do 10 značajnih dekadnih cifara.

U drugom koraku Ojler je prepoznao da rezultat iznosi

Posle ovog nagađanja, bilo je potrebno da zaista dokaže pretpostavljeni rezultat, što mu je oduzelo više godina rada. Kao što je bilo uobičajeno u to vreme, Ojler je više godina držao u tajnosti da zna rezultat (to su činili ponekad Njutn i Gaus), čime je obezbedio prednost nad konkurentima. Čuvanje izuzetnih rezultata nije bilo retko u 16, 17 i u 18. veku jer su čuvari tajni tako mogli da dobiju poziciju na univerzitetu pre drugih ili osvoje neku prestižnu nagradu.

NAPOMENA 3. U literaturi se može naći i opis Ojlerovog dokaza u kojem je korišćen razvoj funkcije sin x/x i njenog transformisanja u beskonačan proizvod, kasnije poznat kao Vajerštrasova faktorizaciona teorema.

(Ilustracija V. Petković, P. Kapus)