Neki praktični problemi, kod kojih na prvi pogled nedostaju svi podaci, mogu se rešiti koristeći elementarno poznavanje matematike naravno ukoliko se pronađe prava ideja. U ovom prilogu traži se lokacija zakopanog blaga koja zavisi od položaja eukaliptusa, palme i vešala na pustom ostrvu koje su nekad koristili gusari. Međutim, posle dva ili tri veka vešala su istrulela, dakle, nema dovoljno podataka! Koristeći samo srednjoškolsko poznavanje elementarne geometrije, pokazuje se da je mesto gde je zakopano blago ipak moguće pronaći. Impresivno, edukativno, jednostavno. Vešala su istrulela, ali je ovaj zadatak preživeo bar dva veka, iz generacije u generaciju.
Prof. dr Miodrag Petković
Rusko-američki teorijski fizičar i kosmolog Džordž Gamov (1904-1968) poznat je po tome što je prvi detaljno razradio teoriju o Velikom prasku zasnovanu na ideji belgijskog sveštenika, matematičara i astronoma Žorža Lemetra. Poslednjih godina života bavio se popularizacijom nauke. U svojoj knjizi One, Two, Three… to Infinity, prvi put publikovanoj 1947. godine (kod nas je knjigu izdala Tehnička knjiga, Beograd 1955, pod naslovom Jedan, dva, tri… do beskonačnosti), Gamov je izložio više od 120 vrlo interesantnih priloga, počev od matematike, fizike, biologije, pa sve do mikrokosmosa, makrokosmosa i kristalografije.
Ne mali broj matematičara, fizičara i kosmologa (npr. Nil Degras Tajson) odabrali su svoja zanimanja inspirisani upravo ovom knjigom. Za svoj rad na popularizaciji nauke Džordž Gamov je 1956. dobio prestižnu nagradu Uneskoa. Još kao srednjoškolcu, knjiga (srpsko izdanje) se i meni jako dopala i uz malo napora uspeo sam kasnije da dođem do izdanja na engleskom jeziku. Gamov je delo posvetio svom sinu rečima To my son Igor who wanted to be a cowboy. Pored ostalog, Gamov je u ovoj knjizi dao lepu demonstraciju korišćenja kompleksnih brojeva u ravni i operacija sa njima u fiktivnoj priči o ostrvu s blagom koja sledi.
Priča se da je neki mornar našao stari pergament koji opisuje tačnu lokaciju pustog osrtva sa zakopanim gusarskom blagom. Navedene su sledeće instrukcije za nalaženje: Na ostrvu su vešala i dva drveta, palma i eukaliptus. Pođi od vešala i broj korake u pravoj liniji do eukaliptusa. Kod drveta skreni za 90 stepeni nalevo i hodaj napred u pravoj liniji isti broj koraka. U tački gde staneš zabodi štap u zemlju. Sada se vrati do vešala i hodaj u pravoj liniji, brojeći korake od vešala do palme. Kada stigneš do palme, okreni za 90 stepeni nadesno i idi isti broj koraka, stavljajući drugi štap u tačku gde se zaustaviš. Kopaj u tački tačno na polovini rastojanja između štapova i naći ćeš blago (sl. 1).
Mornar je odlučio da potraži blago, prodao je kuću da nabavi Harisonov hronometar za navigaciju, iznajmio brodić od prijatelja i krenuo na neizvesno putovanje. Prijatelj ga je ispratio tužnim nema-šanse-da-se-vrati pogledom, bacio kačket u more za sreću i zabrinut otišao u najbližu krčmu da utopi tugu, ali to nije bitno za ovu priču. Mornar je plovio sedam dana i sedam noći, šibali su ga vetrovi i kvasile olujne kiše, pržilo sunce, gonile bele ajkule i morski krokodili, zaobišao je u velikom luku ogromnog kita nalik Melvinovom Mobi Diku. Na kraju je, zahvaljujući Harisonovom hronometru, stigao na pusto ostrvo.
Posle kraćeg lutanja našao je palmu i eukaliptus. Nažalost, zub vremena je učinio svoje, i vešala su istrulela i nestala, a vreme je izbrisalo sve tragove moguće lokacije. Ne znajući položaj vešala, mornar nije video način na koji bi našao blaga. Posle nekoliko uzaludnih kopanja, uz krik razočaranja koji je, brajsonovski rečeno, podsećao na krik Tarzana kad promaši lijanu, odustao je od kopanja i vratio se na brodić kojim je otplovio kući praznih ruku (Bil Brajson, čuveni putopisac). Jedina uteha bilo mu je lišće eukaliptusa za koje je čuo da se od njega može napraviti egzotično ulje, te ga upakovao u nekoliko džakova i poneo sa sobom.
Gamov je u pomenutoj knjizi dao elegantno rešenje koristeći kompleksne brojeve gde je (nepoznati) položaj vešala označio proizvoljnim kompleksnim brojem. Za one čitaoce koji se nikad nisu sreli sa kompleksnim brojevima ili su jednostavno zaboravili šta to beše, u ovom prilogu dajemo jednostavno rešenje koristeći osnovne elemente srednjoškolske geometrije, kao što je prikazano u knjizi Ingenious Mathematical Problems and Methods (Dover Publ., 1959), čuvenog matematičara Ronalda Grahama (1935-2020). Kad je već reč o Grahamu, neizostavno je pomenuti da je on bio jedan od vodećih svetskih eksperata u diskretnoj geometriji i Remzijevoj teoriji, radeći najpre kao istraživač u Belovim laboratorijama, a kasnije kao professor na Kalifornijskom univerzitetu u San Dijegu. On je poznat i po najvećem broju ikada korišćenom u nekom matematičkom dokazu (Grahamov broj), upravo u Remzijevoj teoriji. Taj broj je toliko veliki da se u dekadnom sistemu ne može predstaviti u poznatoj vasioni, čak i ako se svaka cifra predstavlja Plankovom merom koja iznosi oko 10-38 milimetra.
Ronald Graham (Wikipedia)
Ronald Graham je bio član Američke akademije nauka i dobitnik velikog broja značajnih nagrada. Poznat je i kao izvanredan žongler. Možete zamisliti zadovoljstvo studenata kada je neka od svojih predavanja počinjao žongliranjem sa 7 ili 8 loptica. U jednom delu kabineta imao je i trambulinu koju je koristio za relaksaciju u pauzama između časova ili naučnog rada. Možda je ovo poslednji trenutak da ga ostavimo i vratimo se na njegovo rešenje zadatka o lokaciji blaga na ostrvu.
Označimo sa P i E palmu i eukaliptus, a veršala, prirodno, sa G. Daljem neka su S1′, S2′, T’ i G’ normalne projekcije (u odnosu na pravu kroz P i E) tačaka koje predstavljaju pozicije štapova S1 i S2, blaga T i vešala G (videti sliku 1).
Sl. 1 Ostrvo s blagom – geometrijsko rešenje
U nastavku ćemo dužinu duži AB, recimo, označavati sa |AB |. Na osnovu uslova zadatka, imamo
S obzirom na ove dve jednakosti i uzimajući u obzir da su parovi uglova
(α, β) i (γ, δ)
komplementarni, to jest,
nalazimo
Pomoću ovih relacija i činjenice da je T sredina duži S1S2, dobijamo
i
Iz poslednje relacije nalazimo
Prema tome, tačka T’ nalazi se na polovini duži povučene od palme do eukaliptusa. Na osnovu ovog i (1) dolazimo do lokacije blaga (tačka T, engl. treasure): Odredimo, najpre, sredinu duži PE (tačka T’). Pođimo od P prema E pravolinijski do sredine duži PE, skrenimo ulevo i pređimo rastojanje jednako polovini dužine | PE| idući normalno na pravu kroz P i E. Na taj način dolazimo do tačke T gde je zakopano blago.
Postoji urbana legenda po kojoj mornar baš i nije ostao praznih ruku. Po povratku je započeo trgovinu eukaliptusovim uljem (ako se sećate, poneo je sa ostrva dosta eukaliptusovog lišća) i tako se polako bogatio. Njegovi naslednici su proširili obim delatnosti, osnovali sve veće i bogatije kompanije i, na kraju, jedan od njih je sagradio velelepan hotel s kockarnicom u Las Vegasu. U znak sećanja na svog pretka – lovca na blago, nazvao ga je Treasure Island (Ostrvo s blagom).
Hotel Treasure Islandu Las Vegasu (M. Petković)
(IlustracijaEukaliptus i palma/Youtube)
