Rešenja za ovih šest zadataka su, po pravilu, kratka i nalaze se na kraju članka.
Prof. dr Miodrag Petković
Podela nasledstva. Trojica braće treba da podele krdo od 17 konja, koje im je ostavio otac u nasledstvo, tako da najstariji brat dobije 1/2 svih konja, srednji 1/3, a najmlađi 1/9. S obzirom da je 17 prost broj i nije deljiv ni sa jednim od brojeva 2, 3, 9, braća su se dosetila i pozajmila od suseda jednog konja i rešila problem na opisani način.Da li je baš sve u redu?
Planinski put. Jednog dana, tačno u 6 ujutru, ljubitelj prirode krenuo je automobilom uz planinu uskim putem koji je spiralno vodio do planinarskog doma blizu vrha. Vozač je išao neravnomernom brzinom, često se odmarajući na svom putu da bi razgledao prelepu okolinu ili pojeo sendvič. Na vrh planine stigao je pred zalazak sunca. Pošto je prespavao u planinarskom domu, sutradan ujutru u 6 sati krenuo aje utom niz planinu. Spuštao se istim krivudavim putem, mada brže nego nego pri penjanju, povremeno se odmarajući da bi jeo ili fotografisao pojedine predele. Dokazati da postoji tačka na putu u koju će on dospeti prilikom vožnje nizbrdo tačno u isto vreme kao i prethodnog dana dok se vozio uz planinu.
Izgubljeni dolar. Za zajednički ručak u kafani tri gosta g1, g2, i g3 platila su kelneru K po 5 dolara. Blagajnik B za kasom rekao je kelneru da ručak ukupno košta 10 dolara i dao je kelneru 5 dolara nazad da ih prosledi gostima (videti sliku 1). Kelner je svakom gostu vratio po jedan dolar i za sebe zadržao dva dolara. Dakle, svakog gosta ručak je koštao po 4 dolara, što ukupno iznosi 12 dolara, i ako se dodaju 2 dolara koje je kelner zadržao za sebe, to ukupno iznosi 14 dolara. Gde se izgubio jedan dolar?
Gužva u avionu. 300 putnika se ukrcava u avion koji ima 300 sedišta. Putnik koji je prvi ušao izgubio je svoju karticu s brojem sedišta i bira sedište nasumice. Svaki sledeći putnik seda na svoje mesto, ako nije zauzeto, u protivnom, i on nasumice bira gde će da sedne. Kolika je verovatnoća da poslednji, tristoti putnik, sedne na svoje mesto?
(Wikipedia)
Nosači aviona na polusferi. Tri nosača aviona A, B i Cpatroliraju morima i okeanima sveta. Kolika je verovatnoća da se ova tri broda nađu u istoj hemisferi (polulopti) u nekom pogodnom trenutku?
(Wikimedia Commons)
Planetarni tunel. Kopneni deo jedne planete u sunčevom sistemu Aldebaran sastoji se od velikog broja ostrva čija ukupna površina (kopneni deo) zauzima nešto više od polovine površine planete. Dokazati da stanovnici ove planete mogu iskopati pravolinijski tunel kroz centar planete, počinjući i završavajući svoj tunel na kopnu. Pretpostavlja se da je njihova tehnologija dovoljno razvijena za ovaj poduhvat.
(Pixabay)
Rešenja
Podela nasledstva: Podela nije izvršena pravilno, niti je to moguće učiniti. Naime, kako je 1/2+1/3+1/9=17/18, dakle, manje od 1, pri podeli bilo kojeg broja konja javio bi se ostatak. Zbog toga je podela prema testamentu nemoguća, uprkos snalažljivosti braće. Da je u testamentu pisalo da podela treba da se izvrši u odnosu 2:6:9, prvi sin bi dobio 9 konja, drugi 6, a treći 2 (kao na slici 1), što bi u zbiru zaista dalo broj 17.
Sl. 1 Podela nasledstva – manipulacije sa konjima
Planinski put: Do rešenja se dolazi korišćenjem vrlo jednostavne ali efektne ideje. Pretpostavimo da u vožnji planinskim putem učestvuju dva vozača: vozač A koji je u 6 časova ujutru počeo da se penje uz planinu da bi došao do planinarskog doma, i vozač B koji je u isto vreme istog dana istim putem počeo da se od planinarskog doma spušta niz planinu. U nekom momentu, recimo u 11 sati, oni se moraju sresti na putu; tačka susreta X je upravo tražena tačka jer je od vremena polaska obojice vozača proteklo isto vreme – pet sati.
Redizajn slike Morica Volfa (predeo u Norveškoj)
Izgubljeni dolar: Dolar nije izgubljen; 2 dolara koja je uzeo kelner K ne treba dodavati iznosu od 12 dolara već oduzeti od ovog iznosa da bi se došlo do 10 dolara, koliko iznosi račun. Situacija je veoma jasna: kod blagajnika B je ostalo 10 dolara (iznos računa), 2 dolara kod kelnera K i po 1 dolar kod gostiju G, što iznosi tačno 15 dolara.
Graf izgubljenog dolara
Gužva u avionu: Kada tristoti putnik uđe u avion, poslednje slobodno mesto mora biti ono što je dodeljeno prvom putniku (koji je izgubio broj sedišta) ili namenjeno poslednjem putniku. Oba događaja su jednako verovatna, tako da je šansa da poslednji putnik sedne na svoje mesto 50%.
Nosači aviona na polusferi: U svakom trenutku tri nosača aviona se nalaze na istoj polusferi. U ovo se možemo lako uveriti ako kroz dve proizvoljne tačke, recimo A i B, i centar sfere postavimo ravan. (Kao što je poznato, tri nepodudarne i nekolinearne tačke u prostoru uvek određuju ravan). Videti sliku 2 gde zeleno obojen krug predstavlja presek ravni i sfere. Na taj način sfera će biti presečena na dve polusfere – treća tačka C pripadaće jednoj od njih.
Sl. 2 Tri nosača aviona na istoj hemisferi
Planetarni tunel:U rešavanju ovog zadatka koristićemo sledeći jednostavan i intuitivno jasan ali vrlo koristan Dirihleov princip (Johan Gustav Dirichlet, 1805-1859):
Ako stavimo M+k objekata u M kutija, tada bar jedna od kutija mora da sadrži dva ili više objekata.
Na primer, ako u 10 kutija stavite 13 lopti, tada će se u bar jednoj kutiji naći bar dve lopte.
Evo sada rešenja postavljenog problema o planetarnom tunelu. Zamislimo da su svi delovi kopna obojeni crvenom bojom. Ako u odnosu na neki (crveno obojen) kopneni deo A postoji dijametralno suprotan kopneni deo B, pored crvene boje dodajmo ovom delu i zelenu boju. S obzirom da kopneni deo zauzima više od polovine površine planete, na osnovu Dirihleovog principa mora postojati bar jedna tačka B koja je obojena obema bojama. Kopanje tunela treba započeti u tački B, a završiće se na kopnenom delu u tački A.
(Ilustracija Trijumfalna Pi-kapija/foto i redizajn V. Petković)
