Kако год, преостало је још питање: Да ли исти резултати вриједе за свако кашњење мање од трећине интервала?
Др Небојша Ђурић
Kрајем октобра 2020. и почетком јуна 2021. Сергеј Бутерин и ја објавили смо два научна рада у којима су ријешили вишедеценијски проблем, али и оспорили резултат водећег свјетског матматичара у инверзној спектралној теорији Вјачеслава Јурка. Ови резултати су изазвали велику пажњу у широј математичкој заједници. Шта је посебно у овим научним резултатима?
Инверзна спектрална теорија има значајну примјену у биологији, биофизици, економији, астрофизици, аеродинамици, теорији управљања и другим техничким наукама. У многим процесима у природи на основу експерименталних мјерења можемо доћи до информација помоћу којих можемо описати сам процес добијања тих информација. Математичари најчешће у овим проблемима имају задатак да дају одговор да ли постоји јединствено рјешење инверзног проблема. Да би боље разумјели проблематику, посматрајмо сљедећи проблем: Одредити два природна броја, већа од један, чији је производ 21?
Рјешење овог проблема је јединствено, производ бројева 3 и 7 даје 21 и не постоји други пар природних бројева који задовољавају услов проблема. Међутим, да смо посматрали број 24 умјесто 21, јасно је да рјешесње не мора бити јединствено, већ постоји више рјешења. За врло једноставан директан проблем (множење два броја) немамо увијек јединствено рјешење инверзног проблема.
Инверзни проблем за Штурм-Лиувилов оператор са кашњењем је много сложенији, ипак да би приближно разумијели о чему је ријеч осврнућемо се на историју овог проблема. Давне 1946. године шведски математичар Борг је ријешио инверзни проблем за Штурм-Лиувилов проблем без кашњења, односно доказао је да су два спектра довољна да се јединствено одреди оператор. Нешто касније, 1965. руски матматичар Норкин је ријешио директан проблем за Штрм-Лиувилов оператор са кашњењем.
Седам година касније Норкинова монографија је преведена на енглески језик, те се у периоду прије 1980. појавио интерес за рјешавање инверзног проблема са кашњењем, али није било већег напретка због сложености проблема. За развој овог проблема кључну улогу су одиграли руски математичар Виктор Садовничи и његов ученик, српски математичар, Миленко Пикула. Наиме у периоду од 1983. до 1987. професор Пикула је дошао до рјешења инверзног проблема за свако кашњење у специјалном случају. Недуго затим овај резултат изазвао пажњу најпознатијих руских математичара у овој области као што су Борис Левитан и Анатолиј Kостјученко.
Тридесет година касније, овај проблем је постао један од најпопуларнијих у инверзној спектралној теорији, међутим и даље се трагало за његовим рјешењем у општем случају. Доказ теореме јединствености у специјалним случајевима, када је кашњење веће од двије петине интервала, само је охрабрио научнике широм свијета да би исти резултат требао да вриједи за свако кашњење. Штавише, Боргов резултат за оператор без кашњења нам даје наду да би за мала кашњења требала да вриједи теорема јединствености.
Већина математичара није хтјела ни да повјерује да рјешење инверзног проблема не мора да буде јединствено, тако да су истраживања била усмјерена ка доказивању јединствености. Идеје које се сматрају погрешним, најчешће се и не посматрају да би се уштедило вријеме. Овај приступ се испоставио погрешним. Било је очекивано да ће се неко појавити и преиспитати оправданост хипотезе јединствености.
Да би се ријешио почетни проблем потребно је доказати да за свако кашњење постоји јединствено рјешење или наћи бар једно кашњење за које не постоји јединствено рјешење у општем случају. Kрајем октобра 2020. објављен је рад On an open question in recovering Sturm-Liouville-type operators with delay у коме је доказано да за кашњења већа од трећине и мања од двије петине интервала не постоји јединствено рјешење у општем случају. Напоменимо да се овај рад односи на Дирихле/Нојманове граничне услове, те се намеће питање да ли исти резултат вриједи и за Робинове граничне услове.
Седам мјесеци касније је објављен други рад Sturm-Liouville operators with delay у коме је доказано да исти резултат вриједи и за друге граничне услове, чиме је оспорен резултат познатог руског математичара Вјачеслава Јурка. Ови резултати су изазвали пажњу математичке јавности, зато што су поприлично неочекивани. Дужи низ година ништа није указивало да јединственост не постоји у општем случају. Напоменимо да су ови проблеми нелинеарне природе, а често у таквим проблемима човјек прави погрешне процјене.
Kако год, преостало је још питање: Да ли исти резултати вриједе за свако кашњење мање од трећине интервала? Одговор на ово питање требало би дати трећи научни рад који се управо налази на рецензији.
