АЛАС, ФИБОНАЧИ И ШАХ

Мање је познато да се наш славни математичар Михајло Петровић бавио и популаризацијом науке, пре свега математике, што је уосталом био манир свих великих научника – трагање за лепотом у науци. У овом прилогу биће изложена два изазовна математичка проблема која су привукла пажњу великог Мике Аласа.

Проф. др Миодраг Петковић

Ове године навршило се 150 година од рођења академика Михаила Петровића-Аласа (1868-1943), једног од највећих српских научника и оснивача српске математичке школе. Осим математике, бавио се и другим научним дисциплинама, пре свих физиком, хемијом и биологијом, настојећи да их повеже универзалним методама. Михаило Петровић је био једна од најпопуларнијих личности старог Београда, познат као Мика Алас, надимак који је добио као изврсни познавалац риболова, али и путописац, филозоф и музичар: свирао је виолину, а крајем 19. века основао је свирачко друштво под називом „Суз”. Kао пасионирани путник, пропутовао је кроз све европске земље, а обишао је и северни и јужни пол.

Изнети подаци су углавном добро познати широком кругу поштовалаца лика и дела Михаила Петровића. Мање је познато да се он бавио и популаризацијом науке, пре свега математике, што је уосталом био манир свих великих научника – трагање за лепотом у науци. У овом прилогу биће изложена два изазовна математичка проблема која су привукла пажњу великог Мике Аласа. По мишљењу аутора ових редова, оба проблема су довољно интересанта за широк круг љубитеља елементарних али лепих и не тако лаких математичких задатака.

Трећина запремине

Питање је једноставно: Kако измерити трећину запремине посуде облика коцке без икаквих оруђа за мерење?

Претпоставимо да је запремина суда облика коцке један литар, што очигледно не утиче на решење. Пред нама је задатак како да одмеримо 1/3 литра воде.  Поставимо суд на теме А (сл. а) и наливајмо у њега воду све док се површина воде не изједначи са равни троугла EBD. У том моменту вода заузима 1/6 запремине суда, што се може лако доказати користећи слику c. Не проливајући воду, поставимо посуду на ивицу AD (сл. b). Нагнимо суд (ослоњен на ивицу AD) тако да површина воде „ пролази” кроз ивицу BC. Означимо на ивици AE тачку X која представља  „пресек” ове ивице и површине воде. Очигледно је |АX|=|АЕ|/3, при чему |FG| означава дужину дужи FG. Поставимо сада суд на основу ABCD и долијмо воду до тачке X; на тај начин измерена је 1/3 литра воде.

Шаховски парадокси

Следећим интересантним геометријским парадоксом бавили су се разни математичари, укључујући и Михаила Петровића-Аласа. Посматраћемо два случаја, у зависности од парности броја н, који означава димензију шаховске табле n x n.

n је парно: Шаховска табла димензија 8 x 8 исечена је на четири дела (два троугла и два трапеза), као што је показано на слици  лево. Од ових делова састављен је правоугаоник димензије 13 x 5 (слика десно). Дакле, од квадрата површине 8 x 8=64 добијен је правоугаоник површине 13 x 5 = 65, што доводи до парадокса

64 =65!?

n је непарно:На сличан начин као у горњем примеру, од „шаховске табле” димензије 13 x 13 и површине 169 (слика лево), исецањем на  четири дела (два троугла и два трапеза) и поновним састављањем добијен је правоугаоник димензије 21 x 8 површине 168 (слика десно). У овом случају добијамо геометријски парадокс

169=168 !?

Приметимо да се у овим примерима јављају бројеви 5, 8,13, 21. Ако се још мало потрудимо налазимо да је 5+8=13, 8+13=21. Читаоцима који су проучавали (или проучавају) низове одмах ће препознати (или бар посумњати) да је у питању низ код кога се сваки члан (осим прва два) добија као збир претходна два, дакле

F_n+1 = F_n + F_n-1, F₁ = 1, F₂ = 1,   n≥2.

Ова релација дефинише познати Фибоначијев низ {Fn} чији су први чланови

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

Примећујемо  да је у првом примеру 13 x 5 – 8²=1, а у другом 21 x 8-13²  = -1. Није тешко  доказати да у општем случају важи идентитет

F_n+1F_n-1 – F_n² = (-1) ⁿ     (n > 0)               (*)

који је још пре триста година извео Ђовани Kасини  (1625-1712) , познати италијански математичар, астроном и инжењер.

У првом примеру добијен је квадрат више, а у другом квадрат мање. У општем случају, узимајући Фибоначијеве бројеве F_n-1, F_nиF_n+1, конструише се квадрат димензије F_n  x  F_n, дели се на 4 дела (два троугла и два трапеза) од којих се саставља правоугаоник димензије F_n-1xF_n+1.Према Kасинијевом идентитету (*) један квадрат ће бити добијен или изгубљен, зависно од тога да ли је n паран или непаран број. Покушајте са квадратом 21 x 21 и правоугаоником 13 x 34.

Kасинијев идентитет објашњава конструкцију квадрата и правоугаоника, али не објашњава добитак или губитак једног малог квадрата, дакле остаје питање како објаснити наведене парадоксе.

Посматрајмо први пример у коме је подељена стандардна шаховска табла. Kако је добијен квадрат више? Парадокс настаје услед чињенице да се ивице четири дела, које леже дуж дијагонале формираног правоугаоника, не поклапају сасвим. Ова дијагонала није дуж већ уски ромбоид (слика горе) чији је оштар угао приближно једнак 1 степен и 15 минута.

Само при врло тачном цртању могуће је запазити овај угао. Kористећи тригонометрију или аналитичку геометрију лако се показује да је површина „скривеног” ромбоида управо 1. „ Присуство” овог ромбоида у правоугаонику објашњава вишак од једног поља. На горњој слици нацртан је поменути ромбоид, али само приближно, са нешто увећаним оштрим углом да би се избегло поклапање ивица.

Име Kасини које смо поменули у вези идентитета (*) није познато ни већини математичара, али ипак звучи тако познато, нарочито онима који прате космичка истраживања. Заједничким снагама НАСА, Европске свемирске агенције и Италијанске свемирске агенције кренуло се јула 2004.са пројектом Cassini (комплетан назив је Cassini-Huygens пројекат) с циљем да сателит лансиран у правцу Сатурна уђе у орбиту ове планете и проучи ову најнеобичнију планету Сунчевог система. Сателит је непрекидно слао изванредне слике 13 година, да би се коначно у септембу 2017. завршила његова успешна мисија падом на тле Сатурна. На слици је приказана једна од најатрактивнијих слика послата са „Kасинија”.

Слика Сатурна послата са сателита „Kасини” (Википедија)