ZLATNI PRESEK

ČUDESNA HEMIJA STIHOVA

Skrivene veze (Vikipedija)

Skrivene veze (Vikipedija)

Matematika i muzika se susreću i prepliću u organskoj hemiji i poeziji. Samoglasnicima a, e, i, o, u odgovaraju atomi ugljenika, a suglasnicima elementi i molekuli koji se uz njih vezuju. Slog je jedinstvo atoma ugljenika i onoga što ide uz njega.

Prof. dr Miloš Čanak

Prof. dr Miloš Čanak

Hemija kao nauka koja proučava strukturu, osobine i promene molekula ma koje materije mogla bi se podeliti na neorgansku, organsku, fizičku hemiju i biohemiju. Šta je predmet proučavanja organske hemije i u čemu se ona razlikuje od ostalih pomenutih hemijskih disciplina?

Delimičan odgovor bio bi da se organska hemija može definisati kao hemija ugljenika i njegovih jedinjenja. Na ovoj osnovnoj činjenici tražimo i nalazimo prisustvo muzičkih struktura i matematičke dimenzionalnosti u organskoj hemiji. Ovaj harmonijski pristup nije zapažen u udžbeničkoj literaturi iz hemije.

U daljem izlaganju mi ćemo se ograničiti na ugljovodonike. To su jedinjenja koja u svom molekulu sadrže samo ugljenikove i vodonikove atome. Ali radi boljeg razumevanja osnovne ideje, uvešćemo novo ograničenje na tzv. alkane. To su jedinjenja sa isključivo prostim vezama i bez funkcionalne grupe, pa su zato hemijski slabo reaktivna.

Ton dovodimo u vezu sa hemijskim elementom,
a tonska sazvučja
i akorde sa hemijskim jedinjenjima.

Opšta molekulska formula alkana je CnH2n+2 u kojoj n predstavlja prirodan broj. Prvi član tog niza je metan, zatim etan itd (vidi prikaz).

Svaki član ovog niza od svakog susednog razlikuje se za jedan ugljenikov i dva vodonikova atoma, tj. za CH2 grupu koja se zove metilenska grupa. To znači da alkani čine jedan homogeni niz u kome je svaki pojedinačni član jedan homolog.
Posle pentana dolaze heksan, heptan, oktan, nonan, dekan, undekan, dodekan itd.

Muzika ugljovodonika

Dok se kao sazvučje označava dva ili više tonova u bilo kakvom međusobnom odnosu, kao akord se smatra i naziva sazvučje najmanje tri raznoimena tona i to organizovano prema određenom načelu izgradnje, a na temelju jednog osnovnog gradivnog intervala (primer: izgradnja kuće od cigala).

Tradicionalnu harmoniju čine akordi isključivo tercne građe i ako se ograničimo na velike i male terce, onda njihovim naslojavanjem dobijamo tzv. dijatonske akorde. Akord sazdan iz tri tona naziva se trozvuk, iz četiri – četvorozuk, iz pet – petozvuk. U novijem razvoju harmonije, od impresionizma potkraj 19. veka, uključuju se šestozvuci i sedmozvuci, dok bi osmi akordski ton zapravo bio ponovljen prvi (za dve oktave viši).

Osnovni oblik trozvuka je kvintakord, četvorozvuka –  septakord, petozvuka  – nonakord, šestozvuka – undecimakord, sedmozvuka – tercdecimakord.

U svome radu  Musik theorie und Mathematik, Salzbrug 1984, Rudolf Vile (Rudolf Wille) je izgradio jedan hijerarhijski model tercne gradnje akorada. Akorde sedmostepene dijatonske skale, on je izrazio kao podskupove skupa brojeva {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} a zatim sastavio složenu radnu tablicu i odgovarajući hijerarhijski orijentisani graf. Temena grafa su pojedini akordi a usmerene ivice grafa se zasnivaju na relaciji: jedan akord sadriži se u drugom akordu. Npr. „kvintakord se  sadrži u septakordu”. Na datom prikazu vidi se glavni  orijentisani put iz tog grafa.

  1. ton
  2. interval(terca)
  3. kvintakord
  4. septakord
  5. nonakord
  6. undecimakord
  7. tercdecimakord

Na ovoj hijerarhiji se delimično zasniva i muzička interpretacija ugljovodonika a specijalno alkana. U upotrebi je termin „homologni niz alkana”.

Oktavni tonovi su reprezentovani
plemenitim gasovima, između kojih
su smešteni ostali elementi
odnosno tonovi.

U monografiji Ditera Kolka (Dieter Kolk) Zahl und Qualitat detaljno su izložene neke veze između hemije i muzike. S druge strane, u mojoj knjizi „Matematika i muzika” 2009. posebno se govori o univerzalnom oktavnom zakonu. Iz obe proizilazi prisustvo oktavnog zakona u hemiji, ali on je tek pojavom Periodnog sistema Mendeljejeva došao do punog izražaja. Oktavni tonovi su reprezentovani plemenitim gasovima, između kojih su smešteni ostali elementi odnosno tonovi. Priroda je temperovanje izvršila tako da druga i treća oktava sadrže po osam elemenata, četvrta i peta po osamnaest itd.

U tom smislu pođimo od ugljovodonika u homolognom nizu alkana, s time što će atomi ugljenika imati značenje akordskih tonova koji stvaraju osnovnu harmoniju i sazvučje dok ćemo atome vodonika interpretirati kao susedne vanakordske tonove u melodijskom kretanju naviše.

Prvi član homolognog niza alkana je metan CH4. Ugljeniku C pridružujemo ton g iz dvanestotonskog temperovanog sistema. Atomima vodonika H pridružujemo redom tonove as, a, b, h u polustepenom uzlaznom kretanju. Na taj način metanu CH4 odgovara sledeće tonsko sazvučje:

Drugi član homogenog niza je etan C2H6. Drugom atomu ugljenika koji je došao na mesto ranijeg vodonika H sa tonom h pridružujemo taj isti ton a ostalim atomima vodonika sledeće tonove c, des, d u daljem uzlaznom kretanju. Tako etanu C2H6 odgovara sledeći tonsko sazvučje:

Ovim sazvučjem dominira velika terca g – h.

Treći član homolognog niza je propan C3H8. Trećem atomu ugljenika koji je došao na mesto vodonika H sa tonom d pridružujemo taj isti ton, a ostalim atomima vodonika sledeće tonove es, e i f u daljem uzlaznom kretanju. Tako propanu C3H8 odgovara sledeće tonsko sazvučje na prikazu:

Ovom sazvučju dominira durski trozvuk g – h – d. Primećujemo da se sazvučje etana sadrži u sazvučju propana, a velika terca g – h sadrži u durskom trozvuku g – h – d.  I više od toga, krećući se po homolognom nizu alkana doživljavamo širenje i ekspanziju. Osećamo kao da je ovaj niz živ, da zvuči, stvara muziku, raste i razvija se. Primećujemo i da je durski trozvuk jedan od najvažnijih trozvuka klasične muzičke harmonije i tonaliteta.

Četvrti član homolognog niza je butan C4H10. Četvrtom atomu ugljenika koji je došao na mesto vodonika H sa tonom f pridružujemo taj isti ton, a ostalim atomima vodonika cledeće tonove: fis, as i a (g je izostavljen, jer je on već član durskog trozvuka) u daljem uzlaznom kretanju. Tako butanu C4H10 odgovara sledeće tonsko sazvučje (na slici).

Ovom sazvučju dominira dominantni septakord g – h – d – f. Opet primećujemo da se sazvučje propana sadrži u sazvučju butana a durski trozvuk g – h – d u dominantnom septakordu g – h – d – f koji je jedan od najvažnijih četvorozvuka klasične muzičke harmonije i tonaliteta.

Na isti način možemo nastaviti naše razmatranje preko sledećih članova homolognog niza kao što su pentan, heksan, heptan i oktan. Pri tome ćemo radi jednostavnosti posmatrati samo šta se dešava u muzičkom smislu sa ugljenikom, jer je to za nas najvažnije.

Petom atomu ugljenika odgovara ton a, tako da se pentanu pridružuje nonakord g – h – d – f – a. Heksan se proširuje na undecimakord  g – h – d – f – a – c, a heptan na tercdecimakord g – h – d – f – a – c – e. Ovde bi se razmatranje moglo završiti sa muzičke tačke gledišta u smislu hijerarhijskog modela Rudolfa Vilea. Uvođenje novog akordskog tona g kod oktana zatvorilo bi tercni krug (za 2 oktave više) i obuhvatilo sve tonove sedmostepene diatonske skale uređene akordski.

Produženje kretanja po elementima homolognog niza kao što su nonan, dekan, undekan, dodekan… značilo bi periodičko ponavljanje tonova homolognog muzičkog niza g, h, d, f, a, c, e, g… sa dvooktavnom periodom.

Sada je moguće posmatrati stvar pojednostavljeno i uvesti sledeće preslikavanje. Metanu CH4 pridružujemo ton g i jednodimenzioni vektor (g). Etanu  C2H6 pridružujemo veliku tercu  g – h i dvodimenzioni vektor (g, h). Propanu C3H8 pridružujemo durski trozvuk  g – h – d i trodimenzioni vektor (g – h – d). Butanu C4H10 odgovara dominantni septakord g – h – d – f i četvorodimenzioni vektor (g – h – d – f). U opštem slučaju n-tom članu homolognog niza odgovara n- dimenzioni vektor.

Ova dimenzionalnost muzički označava činjenicu da n instrumenata u orkestru proizvodi istovremeno n (često) različitih tonova. Kod ugljovodonika se ugljenikovi atomi osnovnog niza obeležavaju 1, 2, 3, 4… Matematički, ova dimenzionalnost se može izraziti i na sledeći način:

Komponente xk označavaju pojedine atome ugljenika a koeficijenti u›z njih predstavljaju broj atoma vodonika koji se vezuju uz odgovarajući atom ugljenika. Alkanu CnH2n+2 odgovarala bi n– dimenziona hiper ravan.

z=3×1+2×2+2×3+ … + 2xn-1+3xn

a muzički, tercno građen n-to zvuk.

Ovo je početak  priče o vezi muzike i hemije. Ton dovodimo u vezu sa hemijskim elementom, a tonska sazvučja i akorde sa hemijskim jedinjenjima. Pri tome se pokazalo pogodnim da se kod jedinjenja počne od alkana i njihovog homolognog niza. Ovo je opravdano i sa stanovišta teorije grafova. Za prva 3 elementa homolognog niza odgovarajući grafovi su sledeći:

Svi čvorovi su stepena 4 ili 1, što odgovara četvorovalentnosti ugljenika i jednovalentnosti vodonika. U ovom pravcu bi se dalje mogao graditi jedan složeni paralelizam između hemijskih jedinjenja i muzičkih  sazvučja i akorda. Ali muzika oživljava muzičkim kretanjima i smenjivanjem harmonija kroz melodijski tok. A ovome odgovaraju hemijske reakcije.

U toku hemijske reakcije dolazi do raskidanja starih hemijskih veza, da bi se izgradila nova jedinjenja, pri čemu se grade nove hemijske veze. Reakcije se mogu podeliti u tri vrste:

1. supstitucione       2. eliminacione i     3. adicione.

Za nas će najpre biti od interesa ove prve.

Reakcije supstitucije obuhvataju direktnu zamenu – supstituciju atoma ili grupe drugim atomom ili grupom.

Broj atoma ili grupa koje zamenjuju zavisi od prirode reagujućih jedinjenja (reaktanata) i uslova pod kojim se reakcija odvija. Kada se zameni (supstituiše) samo jedna grupa ili atom u polaznom jedinjenju, proizvod je monosupstituisan derivat polaznog jedinjenja. Ako se zamene dve ili tri grupe, proizvodi su disupstituisani, odnosno trisupstituisani derivati.

Ovakvom reakcijom supstitucije ne menja se dimenzionalnost ugljovodonika, niti osnovna pripadajuća muzička harmonija.

Matematički model ugljovodonika

Matematički model opšteg člana homolognog niza alkana je linearna funkcija sa n promenljivih z=3x 1 +2x 2 +2x 3 +…+2x n-1 + 3x n. Ali šta je sa drugim ugljevodonicima?

Posmatrajmo kao primer 3 bliska jedinjenja: etan, eten i etin.

Koeficijenti 2 u linearnoj funkciji etena ukazuju da je veza između ugljenika dvostruka (dvoguba) a koeficijenti 1 u linearnoj funkciji etina da je ta veza trostruka.

Posmatrajmo još primer aldehida sa karakteristikom

Dok propanu CH3CH2CH3 odgovara funkcija  z = 3×1 + 2×2 + 3×3, dotle jedinjenju propanol odgovara ta ista funkcija, što ni malo ne treba da čudi. Jednoj funkciji može da odgovara veliki broj različitih jedinjenja. Ova funkcija opisuje konfiguraciju ugljenikovih atoma, a na svaki od njih može da se nadoveže više različitih atoma ili molekula od različitih elemenata.

Analogiju u muzici nalazimo kod muzičkog oblika teme sa varijacijama. Jednoj istoj muzičkoj temi pridodaje se više različitih, često složenih varijacija. Ali kod svake od njih, osnovni skelet (tema) je isti. Primetimo da je pojam skeleta važan i u teoriji grafova.

Mnogo veći problem je kako interpretirati u matematičko muzičkom smislu sledeće primere ugljovodonika:

O tome će biti reči u jednom kasnijem predavanju. No treba naglasiti sledeće.

Iz uvoda u teoriju algoritama sećamo se da se algoritamske strukture uslovno mogu podeliti na linijske i ciklične,l a linijske dalje na proste i razgranate. U dosadašnjim razmatranjima raspored ugljenikovih atoma imao je oblike proste linijske strukture. Kod izobutana imamo razgranatu, a kod cikloheksana cikličnu strukturu.

Komplementarni grafovi mogu
koristiti i u drugim tonskim
sistemima za razlaganje na
elementarna muzička kretanja.

Izobutan nas vodi do problema određivanja broja izomera nekog jedinjenja. Izomeri su jedinjenja čiji su molekuli sastavljeni od istih atoma, a razlikuju se po strukturi međusobnih veza atoma. Tako npr. za jedinjenje C4H10 moguće je zamisliti sledeće dve strukturne formule:

Pošto je ugljenik C četvorovalentan, a vodonik H jednovalentan, problem glasi dakle ovako: Koliko postoji neizomorfnih povezanih grafova koji imaju 4 čvora stepena 4 i 10 čvorova stepena 1. Neposredno se uviđa i proverava da su sva rešenja data na gornjoj slici (ima ih dva).

Idući dalje u tom pravcu pokazuje se da, ukoliko se broj atoma ugljenika u molekulu povećava, povećava se i broj strukturnih formula odnosno grafova za jednu molekulsku formulu. Tako npr. za C5H12 postoje 3 strukturne formule odnosno grafa tj. 3 izomera:

a za molekulsku formulu C40H82 izračunavanja pokazuju da je teorijski moguće napisati preko 62 biliona različitih strukturnih formula.

Zaključak je jasan. Matematičkom modelu z=3×1+3×2+3xn i odgovarajućoj molekulskoj formuli CnH2n+2 odgovara više strukturnih formula, grafova i više jedinjenja.

Navedimo još jedan mali primer iz veze muzike i teorije grafova.

Poznato je da komplement A nekog grafa A ima isti skup temena kao i A, ali dva temena su povezana u A ako i samo ako oni nisu povezani u A.

Muzički graf K5 tonske lestvice kineske pentatonike na slici 2 može se razložiti na 2 podgrafa K5 i njegov komplement K5. Prvi od njih K5 ako se orjentiše, predstavlja uobičajeno, postepeno tonsko kretanje po ovoj lestvici. Komplementarni graf K5 u obliku petokrake zvezde predstavlja drugi način da se obiđu svi tonovi lestvice, a istovremeno  je i analogija kvintnom krugu kod dvanaestotonske temperovane lestvice. Ova lestvica je u upotrebi kod instrumenata sa klavijaturom i kod njih se mogu uočiti dva osnovna muzička kretanja kojima se obuhvataju svi tonovi: lestvično kretanje i kretanje po kvintnom krugu.

Ovaj primer pokazuje da se komplementarni grafovi mogu koristiti i u drugim tonskim sistemima za razlaganje na elementarna muzička kretanja.

Jezik, književnost, poezija

U srpskom jeziku, a i u nekim drugim, glasovi se dele na samoglasnike ili vokale i suglasnike ili konsonante.

Samoglasnici ili vokali su oni glasovi koji se mogu pevati i oni zvuče kao tonovi. U reči, oni su uvek nosioci sloga. Pravih samoglasnika ima pet i oni su A, E, I, O, U. Neki put i glas R može da preuzme ulogu samoglasnika.

Suglasnici ili konsonanti za razliku od vokala ne mogu da se pevaju, jer pri njihovom izgovaranju vazdušna struja nailazi na prepreke. Ima ih 25.

Slog je govorna jedinica koja se ostvaruje jednim izgovornim zahvatom. U srpskom jeziku važi opšte pravilo da granica sloga dolazi posle samoglasnika (npr. po-lja-na; ko-ba-si-ca).

Slogovi se često smatraju fonološkim „blokovima” reči. Oni mogu uticati na ritam jezika, stihovni metar, obrazac naglaska itd.

Posmatrajmo prvu strofu iz Disove (Vladislav Petković) „Tamnice” i potražimo odgovarajuće analogije.

To je ovaj život gde sam pao i ja,
s nevinih daljina, sa očima zvezda,
i sa suzom ovom što u oku sija
i žali ko ptica slomljenoga gnezda.

Samoglasnicima  a, e, i, o, u odgovaraju atomi ugljenika a suglasnicima elementi i molekuli koji se uz njih vezuju. Slog je jedinstvo atoma ugljenika i onoga što ide uz njega.

Svaki red pesme ima dvanaest slogova, dvanaest dimenzija. Može se interpreti-rati kao dvanestodimenzioni ugljovodonik, linearna funkcija ili razloženi muzički dvanaestozvuk sa dvanaest promenljivih. Toku pesme može da odgovara niz hemijskih reakcija.

U tom smislu, organska hemija nam se slikovito (imaginativno) objavljuje kao muzika i poezija, diskretno podržavana i nošena od matematike.

O autoru

Stanko Stojiljković

Ostavite komentar