Математика и музика се сусрећу и преплићу у органској хемији и поезији. Самогласницима a, e, и, о, у одговарају атоми угљеника, а сугласницима елементи и молекули који се уз њих везују. Слог је јединство атома угљеника и онога што иде уз њега.
Проф. др Милош Чанак
Хемија као наука која проучава структуру, особине и промене молекула ма које материје могла би се поделити на неорганску, органску, физичку хемију и биохемију. Шта је предмет проучавања органске хемије и у чему се она разликује од осталих поменутих хемијских дисциплина?
Делимичан одговор био би да се органска хемија може дефинисати као хемија угљеника и његових једињења. На овој основној чињеници тражимо и налазимо присуство музичких структура и математичке димензионалности у органској хемији. Овај хармонијски приступ није запажен у уџбеничкој литератури из хемије.
У даљем излагању ми ћемо се ограничити на угљоводонике. То су једињења која у свом молекулу садрже само угљеникове и водоникове атоме. Али ради бољег разумевања основне идеје, увешћемо ново ограничење на тзв. алкане. То су једињења са искључиво простим везама и без функционалне групе, па су зато хемијски слабо реактивна.
Тон доводимо у везу са хемијским елементом,
а тонска сазвучја
и акорде са хемијским једињењима.
Општа молекулска формула алкана је CnH2n+2 у којој n представља природан број. Први члан тог низа је метан, затим етан итд (види приказ).
Сваки члан овог низа од сваког суседног разликује се за један угљеников и два водоникова атома, тј. за CH2 групу која се зове метиленска група. То значи да алкани чине један хомогени низ у коме је сваки појединачни члан један хомолог.
После пентана долазе хексан, хептан, октан, нонан, декан, ундекан, додекан итд.
Музика угљоводоника
Док се као сазвучје означава два или више тонова у било каквом међусобном односу, као акорд се сматра и назива сазвучје најмање три разноимена тона и то организовано према одређеном начелу изградње, а на темељу једног основног градивног интервала (пример: изградња куће од цигала).
Традиционалну хармонију чине акорди искључиво терцне грађе и ако се ограничимо на велике и мале терце, онда њиховим наслојавањем добијамо тзв. дијатонске акорде. Акорд саздан из три тона назива се трозвук, из четири – четворозук, из пет – петозвук. У новијем развоју хармоније, од импресионизма поткрај 19. века, укључују се шестозвуци и седмозвуци, док би осми акордски тон заправо био поновљен први (за две октаве виши).
Основни облик трозвука је квинтакорд, четворозвука – септакорд, петозвука – нонакорд, шестозвука – ундецимакорд, седмозвука – терцдецимакорд.
У своме раду Musik theorie und Mathematik, Salzbrug 1984, Рудолф Виле (Rudolf Wille) је изградио један хијерархијски модел терцне градње акорада. Акорде седмостепене дијатонске скале, он је изразио као подскупове скупа бројева {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} а затим саставио сложену радну таблицу и одговарајући хијерархијски оријентисани граф. Темена графа су поједини акорди а усмерене ивице графа се заснивају на релацији: један акорд садрижи се у другом акорду. Нпр. „квинтакорд се садржи у септакорду”. На датом приказу види се главни оријентисани пут из тог графа.
- тон
- интервал(терца)
- квинтакорд
- септакорд
- нонакорд
- ундецимакорд
- терцдецимакорд
На овој хијерархији се делимично заснива и музичка интерпретација угљоводоника а специјално алкана. У употреби је термин „хомологни низ алкана”.
Октавни тонови су репрезентовани
племенитим гасовима, између којих
су смештени остали елементи
односно тонови.
У монографији Дитера Колка (Dieter Kolk) Zahl und Qualitat детаљно су изложене неке везе између хемије и музике. С друге стране, у мојој књизи „Математика и музика” 2009. посебно се говори о универзалном октавном закону. Из обе произилази присуство октавног закона у хемији, али он је тек појавом Периодног система Мендељејева дошао до пуног изражаја. Октавни тонови су репрезентовани племенитим гасовима, између којих су смештени остали елементи односно тонови. Природа је темперовање извршила тако да друга и трећа октава садрже по осам елемената, четврта и пета по осамнаест итд.
У том смислу пођимо од угљоводоника у хомологном низу алкана, с тиме што ће атоми угљеника имати значење акордских тонова који стварају основну хармонију и сазвучје док ћемо атоме водоника интерпретирати као суседне ванакордске тонове у мелодијском кретању навише.
Први члан хомологног низа алкана је метан CH4. Угљенику C придружујемо тон g из дванестотонског темперованог система. Атомима водоника H придружујемо редом тонове as, a, b, h у полустепеном узлазном кретању. На тај начин метану CH4 oдговара следеће тонско сазвучје:
Други члан хомогеног низа је етан C2H6. Другом атому угљеника који је дошао на место ранијег водоника H са тоном h придружујемо тај исти тон а осталим атомима водоника следеће тонове c, des, d у даљем узлазном кретању. Тако етану C2H6 одговара следећи тонско сазвучје:
Овим сазвучјем доминира велика терца g – h.
Трећи члан хомологног низа је пропан C3H8. Трећем атому угљеника који је дошао на место водоника H са тоном d придружујемо тај исти тон, а осталим атомима водоника следеће тонове es, e и f у даљем узлазном кретању. Тако пропану C3H8 одговара следеће тонско сазвучје на приказу:
Овом сазвучју доминира дурски трозвук g – h – d. Примећујемо да се сазвучје етана садржи у сазвучју пропана, а велика терца g – h садржи у дурском трозвуку g – h – d. И више од тога, крећући се по хомологном низу алкана доживљавамо ширење и експанзију. Осећамо као да је овај низ жив, да звучи, ствара музику, расте и развија се. Примећујемо и да је дурски трозвук један од најважнијих трозвука класичне музичке хармоније и тоналитета.
Четврти члан хомологног низа је бутан C4H10. Четвртом атому угљеника који је дошао на место водоника H са тоном f придружујемо тај исти тон, а осталим атомима водоника cледеће тонове: fis, as и a (g је изостављен, јер је он већ члан дурског трозвука) у даљем узлазном кретању. Тако бутану C4H10 одговара следеће тонско сазвучје (на слици).
Овом сазвучју доминира доминантни септакорд g – h – d – f. Опет примећујемо да се сазвучје пропана садржи у сазвучју бутана а дурски трозвук g – h – d у доминантном септакорду g – h – d – f који је један од најважнијих четворозвука класичне музичке хармоније и тоналитета.
На исти начин можемо наставити наше разматрање преко следећих чланова хомологног низа као што су пентан, хексан, хептан и октан. При томе ћемо ради једноставности посматрати само шта се дешава у музичком смислу са угљеником, јер је то за нас најважније.
Петом атому угљеника одговара тон a, тако да се пентану придружује нонакорд g – h – d – f – a. Хексан се проширује на ундецимакорд g – h – d – f – a – c, а хептан на терцдецимакорд g – h – d – f – a – c – e. Овде би се разматрање могло завршити са музичке тачке гледишта у смислу хијерархијског модела Рудолфа Вилеа. Увођење новог акордског тона g код октана затворило би терцни круг (за 2 октаве више) и обухватило све тонове седмостепене диатонске скале уређене акордски.
Продужење кретања по елементима хомологног низа као што су нонан, декан, ундекан, додекан… значило би периодичко понављање тонова хомологног музичког низа g, h, d, f, а, c, e, g… са двооктавном периодом.
Сада је могуће посматрати ствар поједностављено и увести следеће пресликавање. Метану CH4 придружујемо тон g и једнодимензиони вектор (g). Етану C2H6 придружујемо велику терцу g – h и дводимензиони вектор (g, h). Пропану C3H8 придружујемо дурски трозвук g – h – d и тродимензиони вектор (g – h – d). Бутану C4H10 одговара доминантни септакорд g – h – d – f и четвородимензиони вектор (g – h – d – f). У општем случају n-том члану хомологног низа одговара n- димензиони вектор.
Ова димензионалност музички означава чињеницу да n инструмената у оркестру производи истовремено n (често) различитих тонова. Код угљоводоника се угљеникови атоми основног низа обележавају 1, 2, 3, 4… Математички, ова димензионалност се може изразити и на следећи начин:
Компоненте xк означавају поједине атоме угљеника а коефицијенти у›з њих представљају број атома водоника који се везују уз одговарајући атом угљеника. Алкану CnH2n+2 одговарала би n– димензиона хипер раван.
z=3×1+2×2+2×3+ … + 2xn-1+3xn
a музички, терцно грађен n-то звук.
Ово је почетак приче о вези музике и хемије. Тон доводимо у везу са хемијским елементом, а тонска сазвучја и акорде са хемијским једињењима. При томе се показало погодним да се код једињења почне од алкана и њиховог хомологног низа. Ово је оправдано и са становишта теорије графова. За прва 3 елемента хомологног низа одговарајући графови су следећи:
Сви чворови су степена 4 или 1, што одговара четворовалентности угљеника и једновалентности водоника. У овом правцу би се даље могао градити један сложени паралелизам између хемијских једињења и музичких сазвучја и акорда. Али музика оживљава музичким кретањима и смењивањем хармонија кроз мелодијски ток. А овоме одговарају хемијске реакције.
У току хемијске реакције долази до раскидања старих хемијских веза, да би се изградила нова једињења, при чему се граде нове хемијске везе. Реакције се могу поделити у три врсте:
1. супституционе 2. елиминационе и 3. адиционе.
За нас ће најпре бити од интереса ове прве.
Реакције супституције обухватају директну замену – супституцију атома или групе другим атомом или групом.
Број атома или групa које замењују зависи од природе реагујућих једињења (реактаната) и услова под којим се реакција одвија. Када се замени (супституише) само једна група или атом у полазном једињењу, производ је моносупституисан дериват полазног једињења. Ако се замене две или три групе, производи су дисупституисани, односно трисупституисани деривати.
Оваквом реакцијом супституције не мења се димензионалност угљоводоника, нити основна припадајућа музичка хармонија.
Математички модел угљоводоника
Математички модел општег члaна хомологног низа алкана је линеарна функција са n променљивих z=3x 1 +2x 2 +2x 3 +…+2x n-1 + 3x n. Али шта је са другим угљеводоницима?
Посматрајмо као пример 3 блиска једињења: етан, етен и етин.
Коефицијенти 2 у линеарној функцији етена указују да је веза између угљеника двострука (двогуба) а коефицијенти 1 у линеарној функцији етина да је та веза трострука.
Посматрајмо још пример алдехида са карактеристиком
Док пропану CH3CH2CH3 одговара функција z = 3×1 + 2×2 + 3×3, дотле једињењу пропанол одговара та иста функција, што ни мало не треба да чуди. Једној функцији може да одговара велики број различитих једињења. Ова функција описује конфигурацију угљеникових атома, а на сваки од њих може да се надовеже више различитих атома или молекула од различитих елемената.
Аналогију у музици налазимо код музичког облика теме са варијацијама. Једној истој музичкој теми придодаје се више различитих, често сложених варијација. Али код сваке од њих, основни скелет (тема) је исти. Приметимо да је појам скелета важан и у теорији графова.
Много већи проблем је како интерпретирати у математичко музичком смислу следеће примере угљоводоника:
О томе ће бити речи у једном каснијем предавању. Но треба нагласити следеће.
Из увода у теорију алгоритама сећамо се да се алгоритамске структуре условно могу поделити на линијске и цикличне,л а линијске даље на просте и разгранате. У досадашњим разматрањима распоред угљеникових атома имао је облике просте линијске структуре. Код изобутана имамо разгранату, а код циклохексана цикличну структуру.
Комплементарни графови могу
користити и у другим тонским
системима за разлагање на
елементарна музичка кретања.
Изобутан нас води до проблема одређивања броја изомера неког једињења. Изомери су једињења чији су молекули састављени од истих атома, а разликују се по структури међусобних веза атома. Тако нпр. за једињење C4H10 могуће је замислити следеће две структурне формуле:
Пошто је угљеник C четворовалентан, а водоник H једновалентан, проблем гласи дакле овако: Колико постоји неизоморфних повезаних графова који имају 4 чвора степена 4 и 10 чворова степена 1. Непосредно се увиђа и проверава да су сва решења дата на горњој слици (има их два).
Идући даље у том правцу показује се да, уколико се број атома угљеника у молекулу повећава, повећава се и број структурних формула односно графова за једну молекулску формулу. Тако нпр. за C5H12 постоје 3 структурне формуле односно графа тј. 3 изомера:
а за молекулску формулу C40H82 израчунавања показују да је теоријски могуће написати преко 62 билиона различитих структурних формула.
Закључак је јасан. Математичком моделу z=3×1+3×2+3xn и одговарајућој молекулској формули CnH2n+2 одговара више структурних формула, графова и више једињења.
Наведимо још један мали пример из везе музике и теорије графова.
Познато је да комплемент А неког графа А има исти скуп темена као и А, али два темена су повезана у А ако и само ако они нису повезани у А.
Музички граф К5 тонске лествице кинеске пентатонике на слици 2 може се разложити на 2 подграфа К5 и његов комплемент К5. Први од њих К5 ако се орјентише, представља уобичајено, постепено тонско кретање по овој лествици. Комплементарни граф К5 у облику петокраке звезде представља други начин да се обиђу сви тонови лествице, а истовремено је и аналогија квинтном кругу код дванаестотонске темпероване лествице. Ова лествица је у употреби код инструмената са клавијатуром и код њих се могу уочити два основна музичка кретања којима се обухватају сви тонови: лествично кретање и кретање по квинтном кругу.
Овај пример показује да се комплементарни графови могу користити и у другим тонским системима за разлагање на елементарна музичка кретања.
Језик, књижевност, поезија
У српском језику, а и у неким другим, гласови се деле на самогласнике или вокале и сугласнике или консонанте.
Самогласници или вокали су они гласови који се могу певати и они звуче као тонови. У речи, они су увек носиоци слога. Правих самогласника има пет и они су А, Е, И, О, У. Неки пут и глас Р може да преузме улогу самогласника.
Сугласници или консонанти за разлику од вокала не могу да се певају, јер при њиховом изговарању ваздушна струја наилази на препреке. Има их 25.
Слог је говорна јединица која се остварује једним изговорним захватом. У српском језику важи опште правило да граница слога долази после самогласника (нпр. по-ља-на; ко-ба-си-ца).
Слогови се често сматрају фонолошким „блоковима” речи. Они могу утицати на ритам језика, стиховни метар, образац нагласка итд.
Посматрајмо прву строфу из Дисове (Владислав Петковић) „Тамнице” и потражимо одговарајуће аналогије.
То је овај живот где сам пао и ја,
с невиних даљина, са очима звезда,
и са сузом овом што у оку сија
и жали ко птица сломљенога гнезда.
Самогласницима a, e, и, о, у одговарају атоми угљеника а сугласницима елементи и молекули који се уз њих везују. Слог је јединство атома угљеника и онога што иде уз њега.
Сваки ред песме има дванаест слогова, дванаест димензија. Може се интерпрети-рати као дванестодимензиони угљоводоник, линеарна функција или разложени музички дванаестозвук са дванаест променљивих. Току песме може да одговара низ хемијских реакција.
У том смислу, органска хемија нам се сликовито (имагинативно) објављује као музика и поезија, дискретно подржавана и ношена од математике.
