На први поглед, сасвим једноставан математички проблем, добио је велики публицитет пре пола века. Био је инспирисан телевизијским шоу програмом Let’s make a deal (1963-1977), који је више година водио Монти Хол. У потрази за тачним решењем укључено је много математичара и научника других струка, али и аматера. Своје место нашао је у бројним математичким часописима и књигама, па и дневним новинама.
Проф. др Миодраг Петковић
Истакнуто место у овој математичкој мистерији добила је америчка новинарка Мерилин вос Савант, жена која је постала чувена по изузетно високом коефицијенту интилигенције (IQ). Она је чисто логичким резоновањем дошла до правог решења.
Мерилин вос Савант (Википедија)
Упрошћени опис ове представе у којој је Монти Хол био водитељ јесте следећи: Такмичар у програму (рецимо особа из публике) испред себе на бини има троја врата, обележимо их са врата 1, врата 2 и врата 3. Он/она зна да је иза једних врата врло привлачна награда: суперлуксузни спортски аутомобил. Иза сваких од преосталих двоја врата налази се сасвим незанимљива утешна награда, у поменутом квизу то је била коза (на слици је приказан један од могућих распореда).
Такмичар је замољен да покаже на једна од троје врата. Тек што је одабрао једна, рецимо врата 3, пре отварања водитељ представе отвара једна од двоје неодабраних (на пример, врата 1) и испоставља се да је иза њих коза. Затим пита такмичара да ли у новим условима жели да промени мишљење и, уместо већ изабраних врата 3, отвори врата 2. Очигледно да називи врата не играју никакву улогу и не утичу на општост поступака у представи. Монти Хол проблем се формулише преко врло једноставног питања:
Да ли је боље (у смислу веће шансе за добитак) за такмичара да остане при свом избору или да промени избор врата?
Овај проблем припада теорији вероватноће за коју се може рећи да је богата парадоксима. Парадокси се јављају јер има много тврђења и резултата који су на први поглед у колизији са „нормалним људским резоновањем”. Они су најчешће последица комплексних услова у којима се догађаји дешавају, а које није лако одмах разумети без дубоке и опсежне анализе.
Јасно је да такмичар неће изабрати врата која је водитељ отворио јер се показало да је иза њих коза. Дакле, ако он промени мишљење у обзир долазе врата која није изабрао, а која није отворио водитељ, назваћемо их „тајним вратима”. На први поглед изгледа да су шансе за добитак једнаке јер се кола налазе или иза врата на која је такмичар показао на почетку или иза „тајних врата”. У чему је онда поента да такмичар мења свој избор?
Пажљива анализа свих могућих случајева доводи до изненађујућег одговора, који у суштини садржи исту зачкољицу што је збунила и чувеног математичар Пала Ердеша, али о томе мало касније.
До решења се може доћи на више начина, као што се може видети у бројним чланцима у часописима и прилозима у књигама. Овде ће бити приказано решење које се заснива на анализи свих могућих случајева. Означимо козе са K1 и K2, а аутомобил са А. Ради једноставности подразумеваћемо да такмичар увек бира врата 3, а да K1, K2 и А заузимају све могуће положаје иза врата. Број таквих положаја једнак је 6=3! – броју могућих пермутација три објекта, као што се види из табеле. Размотримо свих 6 случајева.
1. У првом случају водитељ ће открити козу или иза врата 1 или врата 2. Није добро за такмичара да мења мишљење, тако да уписујемо 0 у 4. колону табеле.
2. Други случај је сличан првом, и поново није добро за такмичара да мења мишљење, тако да бележимо 0.
3. У трећем случају водитељ ће открити козу иза врата 1, и добро је за такмичара да промени избор врата. У 4. колону табеле уписујемо 1.
4. Четврти случај је сличан са трећем, за такмичара је добро да промени мишљење тако да бележимо 1.
5. У петом случају водитељ ће открити козу иза Врата 2. За такмичара је добро да промени избор врата. Бележимо 1.
6. Шести случај је сличан 5. случају, за такмичара је добро да промени мишљење тако да уписујемо 1 у 4. колону.
Према евиденцији из горње случај-по-случај анализе следи да имамо 4 јединице и 2 нуле, дакле однос добро-није добро је 2:1. Према томе, шансе такмичара се удвостручавају ако он промени избор врата после водитељевог отварања врата са козом иза. Пал Ердеш, један од највећих математичара двадесетог века, припадао је оној групи људи која није била баш убеђена да прихватање предлога водитеља о промени врата удвостручује вероватноћу успеха. Две биографије написане после његове смрти помињу да је прихватио поменути однос 2:1 после дуге и стрпљиве анализе коју му је предочио пријатељ, чувени математичар Роналд Грахам.
Можда изгледа да је разматрани задатак из логике, али он, као што је поменуто, припада вероватноћи и решава се анализом свих повољних и неповољних исхода. Други приступ је коришћење тзв. Бајесове формуле која се бави условном вероватноћом. Вероватноћа да такмичар извуче главну награду директним избором (без промене мишљења) је 1/3, док је вероватноћа у случају промене мишљења 2/3.
Ако покушате да практично изведете експеримент двадесет или тридесет пута, брзо постаје јасно да ваша промена мишљења заиста поправља шансе на успех. Уколико желимо да број експеримената знатно повећамо, потребно је много времена. Срећом, ово се може симулирати помоћу рачунара. Рачунар програмиран да симулира милион покушаја (користећи случајне бројеве) дао је следећи резултат: Не мењајте мишљење-стратегија донела је успех у око 333.300 случајева. Промените мишљење-стратегија је донела успех у преосталих 666.700 случајева.
Kо је био поменути Пал Ердеш (1913-1996)? Математичар мађарског порекла, један од највећих и, истовремено, најнеобичнијих у 20. веку. Највише се бавио теоријом бројева, комбинаториком, теоријом графова, класичном анализом, теоријом апроксимација, теоријом скупова и бероватноћом. Поред Леонарда Ојлера, публиковао је највише радова икада: 1.525 са 511 коаутора, што је светски рекорд у математици. Број његових радова већи је, али је по обиму знатно мањи од Ојлерових (који се процењује на 80 000 страница).
Пал Ердеш се није женио, нити је имао сталан посао или место боравка. Највећи део живота провео је гостујући по универзитетима и истраживачким центрима широм света у вечној потрази за добрим математичким проблемима и свежим математичким талентима. Често одлазио на конференције где је време проводио у хотелској соби окружен групом младих математичара радећи истовремено на већем броју проблема. Једна од таквих ситуација приказана је на слици са конференције 1985. у Аделејду (Аустралија). Види се времешни Пал Ердеш (72), али ко је овај дечак?
Са Ердешом дискутује, у то време, десетогодишњи Теренс Тао, кога данас сматрају најуспешнијим математичарем света. Рођен је у Аделејду 1975. године, а већ са 9 година почео је да похађа универзитетске курсеве математике. Студурао је на Принстонском универзитету и докторирао у 21. години. У 24. години постао је најмлађи редовни професор у историји САД (University of California Los Angeles, UCLA). Добитник је Филдсове медаље 2006. и многих других светских награда. Члан је Националне академије наука САД и више иностраних академија наука.
Pri prvom biranju verovatnoća pogotka je bila 1:3. Pri drugom biranju verovatnoća pogotka je 1:2. Ako ostanem pri prvom izboru njegova verovatnoća se nije izmenila time što postoji i drugi izbor, to jest ostaje 1:3. Znači veća je verovatnoća – 1:2 – ako promenim izbor.
Recon je sledeći: U prvom biranju je verovatnoca da se izabere auto bila 1/3 a da se izabere koza 2/3. Posto je duplo veca sansa da sam pogresno izabrao kozu, bolje je da promenim odluku.
Povlačim prethodni komentar i iznosim matematički dokaz za opšti slučaj.
Neka bude N garaža sa (N – 1) koza i jedna sa automobilom. Verovatnoća da se pogodi u kojoj je:
1/N. Kada se otvori (n – 2) garaža, verovatnoća da je auto u jednoj od preostale dve je =1. Znači, verovatnoća da se auto nalazi u onoj drugoj (koja nije izabrana) je: 1 – 1/N = (N -1)/1, to jest (N -1) puta je veća. Za N=3, to je 2, to jest, verovatnoća da je prvi izbor dobar je 1/3 , a da je dobar drugi je 2/3.