МАТЕМАТИЧКА ЛЕПОТА

Некад је неко духовито приметио да је најлепши тренутак у животу математичара онај кратак период од момента када је доказао теорему до момента када пронађе грешку („Синоћ сам доказао теорему, јутрос сам пронашао грешку у доказу, ноћас сам лепо спавао”).

Проф. др Миодраг Петковић

Математички резултати и теореме могли би се рангирати до извесног степена по свом значају и утицају, али је веома тешко, врло вероватно и немогуће, начинити листу најлепших теорема. Лепота је естетска категорија која, будући да је доминантно ирационална, само у незнатном делу подлеже квантитативним оценама. Више се ради о утиску који проистиче из дубине, једноставности, јасноће, елеганције доказа, неочекиване идеје, савршене симетрије, форме, примене у разним дисциплинама и других параметара који карактеришу једну теорему или формулу.

Мада лепота у математици несумњиво постоји, нико не би могао прецизно да каже у чему се она састоји, а професионални математичари се неће увек сложити које теореме, докази, формуле, идеје или концепти су најлепши. Једноставно, постоје различите импресије и субјективне оцене у вези математичких резултата.

За професионалне математичаре уживање у послу који раде је довољан разлог да им је математика лепа. Па чак и онда када понекад погреше. Некад је неко духовито приметио да је најлепши тренутак у животу математичара онај кратак период од момента када је доказао теорему до момента када пронађе грешку („Синоћ сам доказао теорему, јутрос сам пронашао грешку у доказу, ноћас сам лепо спавао”). Један број математичара описује математику као уметничку форму или бар као креативну активност, упоређујући је често са музиком и поезијом. Други уживају у елеганцији и лепоти доказа теорема, некима опет поједине математичке формуле изгледају изванредно лепо. Решење тешког проблема највећем броју математичара, али и научника других струка, пружа веће задовољство него добијање неке награде.

Математика као сублимирани и прочишћени облик
научне мисли, вишеструко је повезана са естетиком.
Решавање математичких проблема праћено је снажним
естетским доживљајем па, према томе, математички
проблем и његово решење могу се окарактерисати и
естетским категоријама.

Развој компјутерске графике, који је једним делом постала и нови вид уметности (тзв. дигитални принт), допринео је и визуелном доживљају лепоте креираних слика са математичким садржајем, које кроз математичке форме  интерпретирају разноврсне процесе и појаве. Да бисте се уверили у то, довољно је погледати књиге америчког научника и великог популаризатора науке Kлифорда Пиковера The Math  Book (2009) и The Mathematics Devotional (2014), као и многобројне сајтове.

Математика као сублимирани и прочишћени облик научне мисли, вишеструко је повезана са естетиком. Наиме, решавање математичких проблема праћено је снажним естетским доживљајем па, према томе, математички проблем и његово решење могу се окарактерисати и естетским категоријама. Више детаља о повезаности математике и естетике може се наћи у књизи „Математика и естетика” (2003) Љубише Kоцића, професора Електронског факултета у Нишу.

Из естетско-математичких искустава изведене су неке традиционалне карактеристике „ добро уређених” естетских предмета, као нпр. пропорција, симетрија, хармонија, ритам итд. Ове карактеристике могу се описати моделима еуклидске геометрије, а у неким случајевима и другим врстама класичних нееуклидских геометрија. Естетски предмети који нису „ добро уређени”, већ су пре аморфни и хаотични (облаци, маховина, таласи и слично), такође налазе свој адекватни математички модел у фракталним геометријама.

Чувени амерички математичар Џорџ Биркоф (1884-1944) бавио се експерименталном естетиком повезујући следеће три величине које се могу мерити:

М – интензитет естетског доживљаја или естетска мера;

C – комплексност (сложеност) естетског предмета, који је пропорционалан напору пажње потребном за његову перцепцију;

О – мера уређености, хармонија или симетрија предмета који се посматра.

Полазећи од функционалне зависности M=f(O/C) и користећи Kошијеву функционалну једначину f(x+y)=f(x)+f(y), Биркоф је извео следећу једноставну  формулу

 

која  у пракси даје задовољавајуће резултате у једноставним ситуацијама. Ваљаност своје формуле Биркоф је проверио тестирајући групе студената на Kолумбија универзитету (1929) и Универзитету Харвард (1930) на примеру двадесет многоуглова. Студенти су се сложили да је „рејтинг” појединих полигона који даје Биркофова формула сасвим у складу са естетским изгледом полигона.

На овом месту износимо мишљења неколико чувених математичара и филозофа о лепоти у математици:

Аристотел: „ Основни елементи лепоте у математици су ред, пропорција и прецизност”.

1. Ф. Гаус: „Не знање, већ процес учења, и не [математички] резултат већ поступак доласка до њега, пружају највеће уживање”.

Г. Х. Харди: „Математичар је, као и сликар или песник, креатор модела… Математички модели, као и сликарски или песнички, морају бити лепи… Лепота је први тест: нема места у свету за ружну математику.”

А. Поенкаре: „Осећање математичке лепоте, хармонија бројева и форми, геометријска елеганција, представљају истински естетски осећај, познат свим математичарима”.

М. Г. Митаг-Лефлер: „Рад великог броја математичара је уметност, врхунска уметност, смела као најскривенији снови маште, јасна и чиста”.

Џ. Поља: „Елеганција математичке теореме је директно пропорционална броју независних идеја које она садржи, а обрнуто је пропорционална напору да се оне уоче”.

В. Фулер: „Kада завршим и видим да решење није лепо, ја знам да је погрешно”.

С. Банах: „Математика је најлепша и најмоћнија креација људског духа”.

А. Kејли: „Лепота [у математици] може бити опажена али се не може објаснити”.

Уместо покушаја да дефинише лепоту у математици, Дејвид Велс, британски математичар и писац неколико математичких књига, изабрао је један  индиректан али интересантан начин да се приближи, мање-више, тачном одговору. Он је заправо начинио листу најлепших резултата у математици. У ту сврху, направио је упитник са 24 најлепше теореме (по његовом избору) и објавио га у часопису The Mathematical Intelligencer (#4, 1988). Читаоци су замољени да лепоту сваке од тих теорема оцене оценом од 0 до 10. Ранг-листа теорема начињена према просечној оцени објављена је у Велсовом раду  у броју 4 (1990) истог часописа. Јасно је да ова ранг-листа, исто као у случају ранг-листа најлепших слика или музичких дела/песама, има неформалан значај.

У наставку представљамо првих десет теорема из часописа The Mathematical Intelligencer, а читаоцима остављамо да коментаришу ову листу према свом личном осећају за математичку лепоту. Просечна оцена наведена је у загради.

 

1. (7.7) e^iπ+1=0 (веза између пет најзначајнијих математичких константи) (Ојлерова формула).

Математика на шољи и беџу, Музеј математике (МоМат, Њујорк) (фото М. Петковић)

2. (7.5) Ојлерова формула за полиедар:

V + F – E = 2

(V – број темена, F – број страна, E – broj ivica)

3. (7.5) Број простих бројева је бесконачан.
4. (7.0) Постоји 5 правилних полиедара.

5. 
   (Ојлерова формула).
6. (6.8) Свако непрекидно пресликавање затвореног јединичног круга у себе има непокретну тачку.
7. (6.7) Не постоји рационалан број чији је квадрат једнако 2.
8. (6.5) Π је трансцендентан број.
9. (6.2) Свака мапа у равни може се обојити помоћу 4 боје.

10. (6.0) Сваки прост број облика 4n+1може се на јединствен начин представити као збир два квадрата целих бројева.