Једначине у којима се тражи да решења буду цели или рационални бројеви (тзв. Диофантове једначине) често имају једноставну форму али могу бити веома тешке за решавање. На овом месту је разматрано неколико интересантних примера, при чему се као теме јављају и таква питања као што су суштина живота и универзума са гледишта галактичких суперрачунара, суперрачунар састављен од 500 000 умрежених рачунара и грешке чувених математичара.
Проф. др Миодраг Петковић
Године 1954. на Универзитету у Кембриџу међу математичарима је кружило ово питање: „Који бројеви од 1 до 100 могу да се представе као сума три куба целих бројева?” Речено алгебарским језиком, треба решити једначину
где је k било који број из скупа {1,2,…,100}, а x, y и z цели бројеви.
Претпоставља се да је овај задатак постављен још у 3. веку од стране грчких математичара и јасно је да се тада односио само на природне бројеве јер су негативни бројеви били непознати. Горњи проблем је познат под називом „сума три куба”. Једначине у којима се траже решења у скупу целих бројева (и општије, у скупу рационалних бројева – рационалан број је количник два цела броја) називају се Диофантове једначине по математичару Диофанту из Александрије који је разматрао овај тип једначина пре око 1.800 година. Након публиковања поменутог задатка математичари су педесетих година прошлог века врло брзо нашли решења за мале бројеве k. Могућност да се на левој страни једначине могу јављати и негативни бројеви, доводи до великих компликација и без рачунара више ништа није могло да се уради. Велики број математичара и програмера ради на овом проблему више од пола века тако да је постао опште популаран и атрактиван за ширу публику. Показано је да се неки бројеви не могу представити као сума три куба као што су 4, 5, 13, 14, 22, 23, 31, 32, сви мањи од 33. У априлу 2019. професор Ендру Букер са Универзитета у Бристолу, у Енглеској, помоћу рачунара који је радио неколико недеља, пронашао је релацију за k=33 koja гласи
Сам поглед на ове веома велике бројеве показује колико је овај проблем тежак.
Тада су се у причу умешали фанови култне научнофантастичне серије „Аутостоперски водич кроз галаксију” (The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy), писца, сценаристе, глумца и гитаристе Дaгласа Адамса (осим књиге, снимљена је и ТВ серија, радио-драма и филм (2005) и питали да ли постоји решење задатка са почетка прилога за број 42. Зашто баш број 42? У поменутој књизи, продатој у 15 милиона примерака, описано је како пар научника поставља питање највећeм суперрачунару у галаксији o суштинском смислу живота, свемира и свачега. Након 7,5 милиона година ефективног рада, рачунар даје одговор:
(Илустрација Владимир Петковић)
Збуњени овим одговором, научници су у далекој будућности тражили објашњење од рачунара шта одговор 42 заправо значи, нашта им је рачунар рекао да би они овај одговор схватили да су њихови претходници правилно поставили питање. Рачунар је обећао научницима да ће направити још моћнији рачунар који ће знати како гласи коначно питање које одговара коначном одговору; рачунар ће носити назив Earth (Земља).
Иначе, Адамс је суперрачунар назвао Deep Thought (Дубока мисао), a тако је назван и први рачунар који је играо шаховски меч 1996. са (тадашњим) светским прваком Гаријем Каспаровим (и изгубио). Дизајнер овог рачунара (пре свега специјалног микропроцесора) јесте Тајванац Фенг-Хсианг Хсу, у то време докторанд на Унуверзитету Карнеги Мелон у Питсбургу, који је касније био и творац суперрачунара Deep Blue (уз велику техничку и финансијску помоћ ИБМ-а, који je 1997. победио истог светског првака у шаху. Главни саветник био му је ментор за докторску дисертацију Хсианг Кунг, такође Тајванац, математичар и један од водећих научника у компјутерским наукама, пионир у области паралелних рачунара и систоличких поља. Године 2009. имао сам посебну част да будем његов гост на Универзитету Харвард и, осим математичког истраживања, у разговору чујем многе интересантне чињенице о конструкцији Хсуових рачунара.
Фенг-Хсианг Хсу Аутор чланка и професор Хсианг Кунг
Време је да се вратимо главној теми. Бристолски професор Ендру Букер је поново покренуо свој програм али ни исцрпном претрагом није нашао решење за k=42 . Међутим, показао је да, ако решење постоји, бројеви x, y , и z морају бити ван интервала [A, A] , где је A број већи од 1015. Рад са овако великим бројевима би захтевао стотине година рачунарског времена и зато је Букер потражио помоћ имењака Ендруа Сатерленда, професора са Масечусетског института за технологију (МИТ), који је био познат по паралелном процесирању на огромној глобалној рачунарској мрежи Charity Engine. Ова мрежа повезује 500.000 рачунара широм света и то је светски рекорд у броју умрежавања. Септембра 2019. овај суперсуперкомпјутер после милион сати времена претраживања пронашао је решење:
Наравно, треба поменути да при овом решавању није примењена груба сила (brute force) већ врло софистициран алгоритам развијен на МИТ-у.
То би, без велике помпе и славља, био одговор на смисао живота, универзума и свега, по Адамсу (или по „Дубокој мисли”). Ко жели, може да прихвати загонетан одговор, а математичари и програмери су урадили оно што се од њих тражило. Можда треба да будемо срећни што, за разлику од Адамсове потраге за истином, Земља није уништена у том процесу.
Још понешто о Диофантовим једначинама. Овај тип једначина често је задат помоћу једноставних релација, али одговор може да буде веома тежак. Још 1637. француски математичар и правник Пјер Ферма тврдио је, без доказа, да за произвољна три природна броја x, y и z и n>2 важи
(Такозвана Фермаова последња теорема). Тек 357 година касније, 1994, доказ је дао британски математичар Ендру Вајлс (већ трећи Ендру у овом прилогу) после осам година напорног рада.
Пјер Ферма, Ендру Вајлс
Разматрајући Диофантове једначине, тешко је не поменути две кратке приче о грешкама двојице великих математичара.
Један од највећих свих времена, Леонард Ојлер, тврдио је да ниједан n-ти степен не може бити сума мање од n-тих степена природних бројева. Очигледно је ово важи за n=2 али такође и за n=3 , јер се овај специјалан случај своди на Фермаову последњу теорему. Међутим, 1966. године, два века након што је Ојлер поставио ову хипотезу, Леон Ландер и Томас Паркер су пронашли контрапример помоћу рачунара. Овај контрапример је пронађен за n=5 и гласи
Као што се може видети, пети степен је изражен као збир само четири сабирака подигнутих на пети степен.
Други пример говори о тријумфу математичара-аматера над чувеним математичарем. Један проблем, постављен у 19. веку, састојао се у налажењу два позитивна рационална броја чији је збир кубова једнак 6. Велики француски математичар Адриен Мари Лежандр дао је „доказ немогућности” такве репрезентације. Међутим, неколико деценија касније, почетком двадесетог века, чувени британски састављач математичких загонетки, ребуса и других главоломки, Хенри Дудени (1857-1930), оборио је његов доказ и дао врло једноставно решење
Проблем који је решавао Лежандр био је дечја игра за Дуденија у поређењу са сличном репрезентацијом два позитивна рационална броја чија сума кубова износи 9, а да притом то није пар (1,2). Он је пронашао да разломци
задовољавају тражени услов. Његово решење заслужује искрено дивљење ако се узме у обзир да није поседовао никакву рачунску машину. Иначе, овај проблем се лако своди на једначину
где су x и y бројиоци, а z именилац горњих разломака. Очигледно је да за x=1, y=2, z=1 горња релација важи, али је у задатку ово решење искључено као тривијално. Једно од решења је Дуденијево решење које следи на основу горњих разломака.
Није познато да ли има других решења. Ово је и изазов за врхунске математичаре и програмере да испитају да ли постоји бар још једно решење (ЗАДАТАК 1). Упозорење: Не покушавајте да примените грубу силу, биће вам потребно неколико милијарди година чак и са најбржим рачунаром! На почетку смо поменули претпоставку да је проблем „сума три куба” био познат у старој Грчкој. То остаје да се и даље нагађа али оно што је сигурно јесте да су знали за врло интересантну релацију у којој учествују 4 узастопна природна броја
Ова релације даје идеју за један занимљив, изазован али и тежак ЗАДАТАК 2: Дате су три дрвeне коцке са ивицама 3, 4 и 5. Kористећи што мање сечењa ових коцки, од добијених делова саставити коцку ивице 6.
Читаоци који први реше бар један од два задатка добиће као награду књигу из популарне математике (два задатка – две књиге). Рок: 31. децембар 2019.
