Многе ствари које „не разумемо” су, у ствари, део свакодневног живота! Тако, на пример, користимо „интерполацију” несвесно кад знамо одмах колико кошта пола килограма нечега чим видимо цену за један килограм – имамо два податка: НУЛУ и ЦЕНУ – тако да оно што тражимо налазимо унутар података! Ако нам треба више од килограма – и то ћемо врло брзо знати колико ће коштати – наравно изван датих података, тј. „екстраполација”!
Проф. др Илфан Славић
Признајем да је овај есеј амбициозан – жеља ми је да ову тему схвате и они који имају аверзију према формулама и математици, и они који ће схватити да је аутор био опседнут целог живота овом тематиком, и они које ће интересовати строга извођења и детаљи рада – што могу наћи у цитираним радовима аутора. Главна одлика живота јесте еволуција – прилагођавање живог бића на промене услова који се стално мењају (Tempora mutantur et nos mutamur in illis). Први корак еволције јесте ПОСМАТРАЊЕ – (квалитативно). Опсервација промена неке појаве. Следећи корак јесте МЕРЕЊЕ – (квантитативно). Бележење неких параметара појаве. Трећи корак јесте МОДЕЛИРАЊЕ ПОСМАТРАНОГ МЕРЕЊА – ово можемо звати: ТЕОРИЈА ПОСМАТРАНЕ ПОЈАВЕ – на основу те теорије имамо неке ЗАКОНЕ који нам објашњавају дату појаву.
Моделирање је оно што нас овде занима: то је тражени однос две или више променљивих карактеристика (мерених података) – тај однос је у математичкој форми, која не мора да буде лако уочљива. Апроксимација је претпостављена математичка форма модела F(x1,x2,..) која задовољава одређене услове у односу на расположиве податке, тј. да разлика између модела и мерених података буде с грешком која је толерантна.
Преклапање врхова
Нека нам је расположиво (i) података једнодимензионе варијабле (x), [y(x)], а тражимо модел (функцију) [F(x)], и нека је грешка: δ = y(x) – F(x) где је y(x) варијабла зависно променљива од x. Онда се траже оптимални параметри модела f(x;p1,p2,…), тако да сума квадрата грешака буде минимална – то је позната метода најмањих квадрата” (енглески, Least Squares Method, LSM).
Аутор је у својој дисертацији
нашао таква решења за PPP
(припрема почетних параметара
за оптимизацију), која су подигла
ниво анализираних спектара са
око 30 на око 90 одсто.
У првој фази оптимизације параметара, познатој као припрема почетних параметара за оптимизацију (ППП), траже се они параметри модела који ће у другој фази – итеративно подешавање (енгл. Fitting) – постићи најбоље слагање података са нађеним параметрима. Да би итерације (понављања) целог алгоритма, тј. поступка поправки параметара, конвергирале – ишле у смислу сталног смањивања грешака – публиковане су различите методе PPP. Овде је реч о налажењу решења модела који анализира спектре гама зрачења – ови спектри се добијају мерењем зрачења у студијама нуклеарне физике, у примени радиоизотопа у медицини итд.
Одређени гама зрак се представља моделом (Гаусијан, Лоренцијан) који има три параметра: амплитуда, полуширина и позиција – позиција претставља енергију, амплитуда интензитет, а полуширина линије гама зрака одражава физичке услове детекције – ово зависи од врсте детектора, колимације зрачења, времена мерења итд. Аутор је у својој дисертацији нашао таква решења PPP која су подигла ниво анализираних спектара са око 30% на око 90%. Како је тај резултат добио пуно признање у научним публикацијама, то му је признато као дисертација. Штавише, идеје примењене у дисертацији познате су у научној литератури као „Slavic’s peak searching method”.
Друга фаза апроксимација изабраним моделом представља итеративни поступак неком модификацијом тзв. Гаус-Њутновог алгоритма. Овај поступак у свакој итерацији користи инверзију једне матрице – димензије те матрице су број параметара пута број параметара. Познато је да са повећањем броја параметара инвертована матрица има све веће грешке, тако да за одређен случај постаје неупотребљива.Када је зрачење веома сложено – што је општи случај – онда се линије (познате и као „врхови” или „пикови”) преклапају, па се цео модел мора посматрати као јединствен, тако да, на пример, за десетак пикова имамо 30 параметара! У таквим случајевима при фитовању најчешће долази до дивергенције, тј. грешке постају све веће, тако да не можемо да добијемо позитиван резултат.
Ланац неједначина
Аутор је после дисертације, тражио решења за овај проблем. Најбоља идеја која је дала резултат је тзв. „алгоритам без инверзије матрице” (енгл. Algorithm Without Matrix Inversion – AWMI). Идеја је била да се у свакој тачки посматра ланац неједначина: квадрат извода, по неком параметру модела < извод x диференција < квадрат диференције, где су диференције по прираштају параметра грешке у одговарајућој итерацији. Одатле се једноставно изводи и прираштај тог параметра у тој итерацији и процена тренутне грешке тог параметра. Основна идеја АWМИ публикована је у раду „Automatic Analysis of Raman Spectra, Slavic I., Sasic S. (Spectroscopy Letters, 28(5) 783-794 (1995)”, а метода успешно примењена у још два рада. Аутор је тек после готово 40 година добио позитивне оцене AWMI алгоритма који, практично, представља јединствену алтернативу вишевековном Гаус-Њутновом, алгоритму!
У малочас поменутом и у раду под насловом „Automatic Analysis of Soft X-Ray Emission Spectra Obtained by EPMA” (Slavic A.I., Slavic I.J., Grzetic A.I., Pavicevic K.M.) изведена је теорема апсолутне конвергенције (AWMI) за линеаран модел када се цела слика једноставним трансформацијама обзервабли пресликава у тзв. „стандардну репрезентацију” (SR – по аутору) [0,1], где је SR део „конвергентног простора” [-1,1].Занекеследеће експерименте могу бити занимљива пресликавања и у неки од остала три квадранта конвергентног простора!
Главни проблеми које решава AWMI тичу се нелинеарних вишепараметарских модела. Цео алгоритам се односи на било какву нелинеарну, па и линеарну расподелу. Како се нелинеарни случајеви фитовања решавају линеаризацијом модела, то се цела метода може сматрати довољно општом. Интерполације претпостављају моделе који „немају” грешке у датим тачкама, то ћемо посебно размотрити – мимо фитовања!
Глађење података
Линеарни случајеви су најчешће у домену интерполација и екстраполација. Важан закључак AWMI јесте да се та метода успешно изводи и за линеарне случајеве – јединствена је ауторова метода прекобројних параметара (енгл. Overrank, PP) која је, наизглед, у противречности са општим гледиштима нумеричке математике да број параметара модела не може да буде већи од броја расположивих података! Оправдање за overrank методу је следеће: када се тражи интерполација било којом од познатих метода (Lagrange, Newton, Aitken…), онда је број параметара једнак броју података и грешке у датим тачкама су нуле. Али између тачака-података нађени полином може да знатно одступа од очекиваног општег тренда!
Остале су необјављене идеје
о глађењу (smoothing) података
који су статистички веома
распршени из разних разлога,
као што су анализе ретких догађаја.
Глаткост било које функције (криве) зависи директно од броја извода те функције! Код PP линеарне апроксимације број параметара већи је од броја тачака и самим тим већи је и број извода него за случај класиче интерполације. Тада се лако може проверити на одговарајућим примерима да је глаткост (smoothness) PP криве већа. Тада се лако уочи да PP функција знатно боље прати логичан тренд датих тачака. Аутор је, у сарадњи са ћерком математичарем разрадио идеју налажења експлицитне форме интерполационог полинома јединственом методом љушћења (енгл. Stripping) – такав полином је веома погодан за даљи рад (диференцирање или интеграција), а уједно је јединствен у погледу коришћења за екстраполацију!
У сарадњи са истраживачима у Институту „Винча” и другима, аутор је успешно применио наведене оригиналне методе за решавање разних истраживачких проблема: примена striping полинома у рударству, активациона анализа вода Дунава, теоријска анализа псеудопотенцијала – са ауторовим предлогом јединственог модела који је постао основа тзв. „Винчанске школе псеудопотенцијала”, примена у теоријској нуклеарној физици итд. Ауторови радови се једноставно налазе и као цитати у публикацијама и књигама.
Да би се заокружио ауторов целокупан рад на апроксимацијама остале су необјављене идеје о глађењу (smoothing) података који су статистички веома распршени из разних разлога, као што су анализе ретких догађаја (пример: студија зрачења неутрина са Сунца) итд. Траже се спонзори!
