MEĐU IZMEĐU

LITICE PROSTIH BROJEVA

Kertis Kuper (Brajan Tebenkamp)

Kertis Kuper (Brajan Tebenkamp)

Nedavno su pomoću računara otkrili najveći prost broj do sada koji ima tačno 22.338.618 cifara! Tri stoleća pre naše ere slavni matematičar Euklid smatrao je da ih ima beskonačno mnogo, ali izračunavanje nije nimalo jednostavno. Kakve to veze ima s butnom kosti?

Možete li da zamislite najveći prost broj? Da vam pomognemo: to je 274.207.281 – 1 (2 na 74.207.281 stepen, pa minus 1). Broj sa više od 22 miliona cifara, tačno 22.338.618! Ima maltene pet miliona cifara više od prethodnog najvećeg. I odmah je nazvan M74207281. Možete ga i sami izračunati ako 74.207.281 puta pomnožite 2 sa samim sobom, a naposletku od umnoška oduzmete 1.

Sada više ne odmahujete glavom u neverici? Za dokazivanje postojanja novog broja bio je potreban 31 dan neprekidnog rada ličnog (PC) računara sa „Intelovim” (Intel i7-4900) centralnim procesorom. Nedavno ga je otkrio dr Kertis Kuper na Univerzitetu Srednji Misuri (SAD). Ukoliko poželite sami da računate, jednačina je sasvim jednostavna: 2n – 1 (dva na ma koji stepen manje jedan).

Dodatna provera tačnosti protekla je znatno brže: novoizračunati broj M74207281 nezavnos je potvrđen na tri različita računara i programa za samo tri i po dana.

Euklidovo proročanstvo

Poduhvat „Velika internet potraga za Marsenovim prostim brojevima” (Great Internet Marsenne Prime Search, GIMPS) pokrenuo je u januaru 1996. Džordž Voltman. Već sledeće godine Skot Kurovski ga je osposobio da automatski koristi stotine hiljada običnih kućnih računara da bi se ubrzalo traganje za ovom matematičkom „iglom u plastu sena”.

Prosti brojevi predstavljaju
svojevrsnu „periodnu tablicu”
za ostalu sabraću.

U potragu za zapanjujućim nizom, ispisanim sa znanih deset cifara (od 0 do 9), uključeno je, posredstvom interneta, mnoštvo dobrovoljno umreženih računara. Za podvig je unapred obećana nagrada od 100.000 dolara koju dodeljuje zadužbina „Elektronska granica”. Šta su to prosti brojevi?

Prosti brojevi predstavljaju svojevrsnu „periodnu tablicu” za ostalu sabraću, ciglice čijim se raznovrsnim spajanjem ispisuju svi poznati. Prost broj je svaki celi veći od jedan, deljiv sa samim sobom i sa jedinicom.

Tri stoleća pre naše ere slavni matematičar Euklid smstrao je da ih ima beskonačno mnogo, iako nije nimalo lako da se pronađu. Na prvi pogled začas vam se učini da ih svuda vidite, počevši da ispisujete 2, 3, 5, 7, 11, 13… ali što se više udaljavate, prosti brojevi su sve neuhvatljiviji. A koja su jedina dva uzastopna? (Vratite se na rečenicu ispred).

Najveći prost broj (Vikipedija)

I najveći s početka (da ga iznova ne pišemo), zato što se pokorava već napisanoj jednačini, prozvan je Marsenovim (Maren) u slavu redovnika iz 16. stoleća koji je, nažalost, netačno pretpostavio da ni večnost ne bi bila dovoljna da se odredi petnaestocifreni ili dvadesetocifreni prost broj. (Sam je pronašao nekoliko).

Mersenovi brojevi su,
inače, zanimljivi i zbog
toga što se od njih dobijaju
tzv. savršeni brojevi.

Uprkos takvoj pogreški, brojevi nazvani po ovom teologu predmet su velikog zanimanja jer se iskazuju u tako zbijenom obliku. Zar nije lakše nakititi 274.207.281 – 1, namesto mukotrpnog i dugotrajnog ređanja više od 22 miliona cifara? Kudikamo je važnije, međutim, da su osmišljeni veoma pametni postupci da biste ih našli.

Prosti, pa savršeni

Prosti brojevi već dugo privlače pažnju i matematičara i svakojakih zanesenjaka. Prvih nekoliko 2, 3, 5, 7, 11 i tako dalje, ali 8 nije jer je deljiv sa 2 i 4. Ako uzmemo u obzir da je opšti oblik Mersenovog prostog broja 2n – 1, pri čemu je n „običan” prost broj, lako zaključujemo da su prva četiri Mersenova broja 3, 7, 31 i 127 (što odgovara slučajevima kada je redom n jednako 2, 3, 5 i 7).

Mersenovi brojevi su, inače, zanimljivi i zbog toga što se od njih dobijaju tzv. savršeni brojevi. Savršen je svaki broj jednak zbiru svojih pravih delilaca (uključujući i jedinicu), a njihov opšti oblik je 2n–1 (2n – 1) gde je 2n – 1 pomenuti Mersenov broj. Da pojasnimo prethodno: prvi savršen broj je 6 i on predstavlja zbir svojih delilaca 1, 2 i 3, dok je sledeći 48 jednak zbiru brojeva 1, 2, 4, 7 i 14. Odmah je jasno da je poznato ukupno 49 savršenih brojeva, a za prva četiri (6, 48, 496 i 8128) znalo se još pre dve hiljade godina.

Najočevidniji način traženja prostih brojeva ogleda se u tzv. faktorizaciji; pokušajte, najpre, da ih podelite s 3, pa sa 5, potom sa 7 i tako redom; i ako ni sa jednim ne ide, imate prost broj. Poslednji put takav broj prepoznat je 1588. godine, zato što je s porastom vrednosti delenje bivalo sve teže i duže.

Marsen (Vikipedija)

Stoga su matematičati izmislili lukavije provere prostosti (nije isto što i prostota) da bi ih što jednostavnije izračunavali. Lukas-Lemerova je najbolja, jedina rešava Marsenove proste brojeve, a najdivnije od svega jeste da ne iziskuje nikakvo delenje, zbog čega je neverovatno ubrzana.

Potrajaće pet vekova

Do sada je sračunato samo 49 Marsenovih prostih brojeva, kada uračunamo novajliju, od toga 15 uvođenjem velike pretrage preko interneta. Poduhvatom su obuhvaćeni pojedinci koji su bez naknade iznajmili procersku snagu svojih elektronski računaljki u vreme praznog hoda.

Svaki barata jednim brojem, isprva nastojeći da ga rastavi na manje činioce; ako to propadne, uvodi se Lukas-Lemerovo ispitivanje.

Jedan računar koji neprestano sračunava za osam dana proveri broj sastavljen od deset miliona cifara. Kada se pojedinačni udruže, to je jednako moći jednog od najbržih superkompjutera u svetu. Nijedan takav moćnik ne bi mogao da se izdvoji da neprekidno izračunava proste brojeve.

Pitagora se nimalo
nije dvoumio:
„Sve stvari su brojevi”.

Gotovo 40 odsto jednocifrenih brojeva su prosti, 22 posto dvocifrenih i 16 procenata trocifrenih.

Najnovije postignuće izuzetno je bitno za teoriju brojeva, mada je odgonetnuta najkrupnija zagonetka kako su prosti brojevi raspodeljeni. A to liči, donekle, na pentranje uz litice Mont Everesta.

Euklid (Vikipedija)

Lov na nepoznate proste brojeve izvanredan je istraživački izazov za tzv. raspodeljeno (distribuirano) računarstvo. Za proveru jednog broja od sto miliona cifara stoni računar utroši više od četiri; dopišete li još jednu nulu, potrajaće duže od pet vekova!

Tajni zarezi iz Afrike

Starogrčki mudrac i matematičar, Pitagora, nimalo se nije dvoumio: „Sve stvari su brojevi”. Zavet našeg velikana Emilijan Josimovića „Broj i mera, to je moja vera” utkan je u vitraž na zdanju Srpske akademije nauka i umetnosti.

Pitagorejci su učili da su brojevi dodirljivi, nepromenljivi i večni, pouzdaniji od prijatelja, a manje grozomorni od Zevsa. Da li se zbog toga i svekoliki kosmos vlada prema matematičkim zakonima?

Poslužimo se odgovorom Merilin fon Savant, žene s najvećim koeficijentom inteligencije (IQ 228), preuzetim iz knjige Kliforda Pikovera „Strast za matematikom” (u izdanju „NNK internacionala” iz Beograda):

„Drevni Grci su verovali da je priroda matematički stvorena, ali sudeći po razvitku primenjene matematike, počinjem da mislim naprosto da je matematika izmišljena da opiše sve, a materija nije izuzetak.”

Na Salemskoj opatiji od 11. stoleća stoji zapisano: „Svaki broj, sve do beskonačnog, proizišao je iz jedinice, a time iz nule”.

Još od 29 tajnih zareza na babunovoj butnoj kosti iz Afrike, starih 35.000 godina, ljudi su stalno računali, upuštajući se u izmišljanje sve većih i većih brojeva kojima, pokatkad, nisu nalazili opipljivu namenu. Čemu služi najveći, ako ne može ništa da sameri?

Monah Mihailo

O autoru

Stanko Stojiljković

Ostavite komentar