У току пандемије, када је велики део света у самоизолацији, време проведено у стану или код куће може корисно да се проведе, да се нешто научи, чак и забави. Немали број универзитета у свету, бројна математичка друштва и многи научно-стручни магазини решили су да то ураде путем елементарних математичко-логичких задатака. „Галаксија” се придружује борби против досаде збирком изабраних задатака чија су решења заснована на ефектним и оштроумним идејама. Она су по правилу кратка, неочекивана и лепа, и као таква привлачна за математичке таленте, а биће објављена у неким од следећих издања. Већину задатака са решењима налази се на сајту www.miodragpetkovic.com (опција теме у менију).
Проф. др Миодраг Петковић
1. Свака од две свеће са фитиљем, када се упали потпуно сагори за један сат. Свеће су различите висине и ширине, а и њихов састав нехомоген. Kако се помоћу ове две свеће може измерити време од 45 минута?
2. Три гимнастичарке имају на мајицама такмичарске бројеве 1, 3 и 6. Kакав положај треба да заузму да добијени троцифрен број буде дељив са 7?
3. Подове осам просторија једне куће, чији је распоред приказан на слици 1, треба обојити помоћу четири боје тако да просторије које су суседне по хоризонталама, вертикалама и дијагонално не буду обојене истом бојом. Површина пода сваке просторије једнака је 9 квадратних метара, са изузетком оне на врху која износи 18 квадратних метара. На располагању су следеће боје: црвена, за бојење површине од 27, жута за 27, зелена за 18 и плава за 9 квадратних метара.
4. Шаховска фигура скакач налази се на врху табле која се користи у популарној игри солитера, али без централног поља (сл. 2). На табли се налази 31 жетон које скакач треба да узме са табле правећи непрекидну путању својим скоковима у минималном броју потеза који, очигледно, износи 31. Решење није јединствено.
Сл. 1 Сл. 2
5. Једног дана, тачно у 6 ујутру, планинар је почео да се пење уском стазом која је спирално водила до планинарског дома на врху планине. Планинар је ишао неравномерном брзином, често се одмарајући на свом путу. На врх планине стигао је пред залазак сунца. Пошто је преспавао у планинарском дому, сутрадан ујутру у 6 сати кренуо је низ планину. Спуштао се истом стазом и ишао неравномерним кораком повремено се одмарајући. Доказати да постоји тачка на стази у коју ће он доспети приликом спуштања тачно у исто време као претходног дана док се пењао уз планину.
6. Из места А полази бициклиста у место Б брзином од 10 километара на сат, а у исто време из места Б истим путем полази други бициклиста у место А брзином од 15 километара на сат. У моменту њиховог поласка, из места А полеће ласта у сусрет бициклисти који иде из смера Б. Kада стигне до њега, ласта одмах заокреће назад и враћа се према бициклисти из места А и после сусрета опет лети ка бициклисти из Б. Све време док се бициклисти приближавају један другом, ласта лети од једног до другог све до њиховог сусрета. Ако је брзина птице 50 километара на сат, а места А и Б су једно од другог удаљена 100 километара, одредити колики пут је прешла ласта.
7. Дато је 14 жетона, по два у црвеној, плавој, зеленој, љубичастој, браон, жутој и белој боји, и 14 квадрата један уз други у линији (сл. 3). Потребно је поставити ове жетоне у квадрате тако да се између два црвена жетона налази 7 жетона, између два плава жетона 6, између два зелена жетона 5 и тако редом, и на крају између два бела жетона један жетон, као што је означено на слици 3. Постоји 26 решења не рачунајући симетрична (у обрнутом редоследу), довољно је наћи једно.
Сл. 3 Сл. 4
8. Бројеве од 1 до 19 треба распоредити по ћелијама фигуре приказане на слици 4 (тзв. магични шестоугао или хексагон), тако да збирови по свим правцима (има их укупно 3 x 5 = 15) буду међусобно једнаки. На слици је назначено 5 од укупно 15 праваца. Овај задатак захтева доста времена и зато ево мале помоћи: збир у свим правцима једнак је 38.
9. Два познаника, која се дуго нису видела, разговарају о својим породицама.
– Kолико имаш деце?
– Троје, све три ћерке.
– Kолико имају година?
– Производ њихових година је 36, а
збир година једнак је броју оне куће.
– Ниси ми довољно рекао.
– Најстарија ћерка свира клавир.
Kолико година има свака девојчица?
10. Петнаест кријумчара и петнаест морнара, заједно са капетаном, путовало је бродом који је захватила олуја. Испоставило се да брод може бити спашен једино ако половина путника напусти брод. Kапетан је распоредио свих тридесеторо путника дуж круга, и почевши са бројањем од одређене особе, сваког деветог човека је укрцавао у чамац за спасавање. Задатак се састоји у прављењу таквог распореда кријумчара и морнара на кругу и одређивање особе од које треба почети бројање са сврхом да сви морнари остану на броду, а сви кријумчари буду укрцани у чамац.
11. У соби се налази сијалица која се контролише помоћу једног од 3 прекидача смештених изван собе. Соба је затворена и са места где се налазе прекидачи не може се видети унутрашњост собе (па дакле ни сијалица). Kако се може утврдити који прекидач пали сијалицу ако је дозвољен само један улазак у собу и нема ограничења у руковању прекидачима (укључивање и искључивање) пре уласка у собу?
12. Дата је мини шаховска табла 4 x 3 са 6 скакача (сл. 5). Задатак се састоји у томе да бели и црни скакачи међусобно замене места у минималном броју потеза. Наизменичност потеза белог и црног није неопходна. Оне који су заборавили да играју шах подсећамо да се скакач креће „на Г”, тј. два поља право, а онда једно поље у страну под правим углом лево, десно, горе или доле.
Сл. 5 Сл. 6
13. Поделити крст од папира који се састоји од 5 једнаких квадрата (сл. 6) на четири дела помоћу два праволинијска реза, тако да се од њих може саставити квадрат.
14. Са плафона галерије високог 30 метара висе два конопца на растојању од пола метра. Искусни планинар треба да исече што већи део конопаца (рачунајући оба конопца). Једини алат који има су маказе. Стратегија пењања до плафона по једном конопцу и сечење оног другог је наивна и сигурно није најбоља. Да ли постоји боља стратегија која омогућује да се планинар врати са знатно већом дужином конопца?
15. Возач велике машине за сечење стабала залутао је у шуми, без мапе, оријентира и само са 220 литара горива у резервоару машине која троши 10 литара горива по километру. Познато му је да је шума површине 60 квадратних километара и има облик елипсе. Помозите дрвосечи да са својом машином изађе из шуме?
16. Фармер жели да засади девет стабала јавора тако да она формирају десет редова (у облику правих линија), при чему у сваком реду треба да буду три стабла. Kако ће то учинити?
17. Ана поставља три непрозирне флаше на сто, једну до друге у правој линији. У једној од флаша налази се мртва тарантула. У остале две су живе отровне тарантуле. Ана зна шта је у којој флаши, али ви не знате. Можете поставити Ани питање на које ће вам одговорити са да или не, и при постављању питања морате истовремено да покажете на једну од флаша. Ако покажете на флашу са живом тарантулом, она ће рећи истину. Ако покажете на флашу са мртвом тарантулом, она ће произвољно рећи да или не. Ваш задатак је да нађете једну од живих тарантула постављајући само једно питање.
18. На једном острву живи тачно 2.020 камелеона, међу којима има плавих, зелених и црвених. Ако се сретну два камелеона различитих боја, они истовремено промене боју и оба постају исте боје, оне треће (на пример, ако се сретну плави и зелени, оба постају црвени). Једног дана на острву је било 1.000 плавих, 600 црвених и 420 зелених камелеона. Може ли се десити да после извесног времена сви камелеони буду исте боје?
19. Дванаест пирата напало је брод који је превозио благо и запленило товар у коме је било између 28.000 и 70.000 златника. После пљачке пирати су се искрцали на мало оство и решили да одмах поделе благо. При деоби плена сви су добили исти број златника, али је један златник остао неподељен. У свађи због преосталог златника један пират је убијен. Kад је осталих 11 пирата поново покушало да поделе плен, испоставило се да је опет остао један златник неподељен. Поново је дошло до жучне расправе и још један пират је убијен. Мало приглупи и свакако незајажљиви пирати наставили су са поделом златника међу десеторицом преживелих. Поновила се иста прича, један златник је остао неподељен и у неизбежној свађи још један пират је изгубио живот, итд. Kад је у животу остало само шест пирата, један од њих, мало паметнији од осталих, узвикнуо је: „Станите браћо, не будимо толико глупи, и даље ће бити исто и још ће неко настрадати. Боље је да дате мени тај један проклети златник, а остале ћемо поделити на једнаке делове.” Пирати су га послушали, дали су му један златник, а остатак су поделили тако да је свако добио исти број златника. Kолико су златника запленили пирати?
20. Поглавица племена Мургулу негде у источној Африци има четири сина и жели да им поклони велику плантажу кафе која је избраздана стазама тако да личи на шаховску таблу 8 x 8. Стазе служе берачима да се лакше крећу по плантажи. На плантажи се налазе четири дрвета баобаба (сл. 7). Да не би дошло до свађе међу браћом, поглавица намерава да сваки добије парцелу исте површине и истог облика и да свака од њих садржи по једно дрво баобаба. Подела се може извршити само дуж стаза. Помозите поглавици да изврши планирану поделу.
Сл. 7
