U rangiranju najuspešnijih tenisera do današnjih dana korišćen je originalni matematički metod koji se prvi put pojavljuje u naučnoj literaturi. On kombinuje proporcionalni sistem, matričnu algebru i statistiku i može se primeniti na proizvoljan broj tenisera. Ovo je u priličnoj meri skraćena verzija eseja koji je pod naslovom Matematički GOAT objavljen u štampanom izdanju „Galaksije” (broj 4/2022), u kojem su analizirana teniska dostignuća zaključno sa 30. septembrom 2022. U ovoj verziji uključeni su podaci do 30. januara 2023. Poredak (u normalizovanom obliku) je sledeći: 1. Đoković (100%) 2. Federer (84%) 3. Nadal (76%). Značajne razlike izražene u procentima impliciraju da je redosled rangiranih igrača prilično ubedljiv i prihvatljiv sa matematičke tačke gledišta.
Prof. dr Miodrag Petković
Rasprava o tome ko je najbolji sportista svih vremena u svojoj disciplini oduvek je bila intrigantna i veoma interesantna za ogroman broj ljubitelja sporta. U ovim debatama se često koristi termin GOAT, što je akronim za Greatest of All Time. Iako je termin GOAT u upotrebi decenijama, nespretno je izabran jer sadašnji momenat ne označava kraj istorije (ALL TIME), pa termine „ikad” ili „u istoriji tenisa” (i, uopšte, sporta) ne bi trebalo koristiti. Međutim, da bismo izbegli čudne i nezgrapne skracćenice i održali tradiciju, prećutno ćemo zadržati GOAT pod pretpostavkom da se rangiranje najuspešnijih tenisera računa do naših dana. U ovom eseju se analizira 25 relevantnih teniskih dostignuća, uzimajući u obzir njihove odgovarajuće prosečne težine (nivo važnosti). Prednost predloženog metoda i rezultujuće liste u odnosu na druge slične jeste znatno redukovanje subjektivnih procena, što daje realniji poredak igrača.
Ističemo da ne tražimo najboljeg tenisera, jer je to nedovoljno definisan zadatak s mnogo faktora subjektivnosti. Umesto toga, cilj je rangiranje najuspešnijih na osnovu teniskih dostignuća. Tačnije, koncentrisali smo se na specijalni slučaj rangiranja teniskih velikana Rodžera Federera, Rafaela Nadala i Novaka Đokovića, često nazivanih „velika trojka”, koji su nesumnjivo dominirali muškim singl tenisom skoro dve decenije. Više detalja u vezi sa ovom dominacijom može se videti putem linkova
(S1) https://www.youtube.com/watch?v=R9mb4V_W51g i
(S2) https://miodragpetkovic.com/math-tennis-goat
Jedan od najtežih problema u traženju najuspešnijeg tenisera jeste utvrđivanje pravilne procene stepena važnosti pojedinih dostignuća; kraće rčeno, težine. Težine, označene sa W1… W25, imaju za cilj da se što adekvatnije procene teniska dostignuća (klasifikovanih u 25 kategorija C1… C25),uzimajući u obzir važnost svakog i njihov relativan odnos. Ove kategorije su podeljene u pet grupa A-E.
Spisak i opis svih 25 kategorija Ci, sa odgovarajućim prosečnim težinama Wi, dati su u listi dostignuća prikazanoj u nastavku (takođe na gore pomenutim sajtovima (S1) i (S2). Izbor kategorija zasnovan je na karakteristikama koje se mogu opisati numeričkim podacima i na njihovom najčešćem pojavljivanju na brojnim sajtovima i u teniskim časopisima. Svakako da postoje druge kategorije koje karakterišu veštine tenisera, ali su izostavljene jer ih je teško ili nemoguće numerički predstaviti. Jednostavno, ne postoji jedinstvena metrika za numerički prikaz ovih neuporedivih karakteristika. Međutim, one implicitno definišu vrhunski stil i prednosti tenisera koji im u praksi donose poene.
Prosečna skalarna težina izračunata je korišćenjem osnovnih elemenata statistike, konkretno zakona velikih brojeva (ZVB) koji se još naziva zakonom o prosečnoj vrednosti. Prosečna skalarna težina Wi jednaka je zbiru svih pojedinačnimhtežina koje su dali ocenjivači za fiksnu kategoriju, podeljenu brojem ocenjivača. Veoma je poželjno da za ocenjivače treba birati teniske eksperte, što je poprilično težak anketni problem zbog njihove dostupnosti. U ovoj analizi broj ocenjivača je 30. Jasno je da bi, prema ZVB, objektivnost ocenjivanja kategorije bila realnija ukoliko je više njih uključeno u ocenjivanje.
Lista teniskih dostignuća (zaključno sa 30. januarom 2023):
U nastavku koristimo skraćenice N, F i Dza Nadala, Federera Đokovića. Analizirajući postignute rezultate date u opisima svih kategorija, sa izuzetkom kategorije 18, uočavamo da se može uspostaviti relativna proporcionalna veza između odgovarajućih numeričkih podataka i kreirati normalizovani vektori rangiranja𝒓𝑖= (𝑟𝑁,𝑖, 𝑟𝐹,𝑖, 𝑟𝐷,𝑖 ) (𝑖 = 1… 25). Na primer, za broj osvojenih Grand Slam titula, kategorija 1, imamo N = 22, D = 22, F = 20, tako da je F/N = F/D = 0,90909… N/D = 1. Dakle, uređena trojka brojeva
𝒓1 = (𝑟𝑁,, 𝑟𝐹,𝑖, 𝑟𝐷,𝑖 ) = (1, 0,90909, 1)
kreira vektor rangiranja 𝒓1, koji će se koristiti u konačnom rangiranju tri tenisera. Na isti način, osim za kategoriju 18, nalazimo vektore rangiranja 𝑟2, ⋯, 𝑟17, 𝑟19, ⋯, 𝒓25.
Kategorija 18 (rezultati međusobnih susreta Nadala, Federera i Đokovića (N:F=24:16, N:D=29:30, D:F=27:23), koja je od velikog značaja, jeste specifična i zahteva drugačiji pristup pošto se gore predstavljeni proporcionalni model ne može primeniti. U ovom slučaju je primenjen metod američkog matematičara DŽ. Kinera (Keener, SIAM Review, 1993). Ovaj metod zahteva poznavanje nekih elemenata matrične algebre, tako da su matematički detalji izostavljeni u kraćoj verziji eseja. Ovde dajemo samo konačne rezultate u obliku vektora rangiranja
𝑟18= (𝑟𝑁,18, 𝑟𝐹,18, 𝑟𝐷,18 ) = (0,958323, 0,772665, 1).
Kompletno određivanje vektora rangiranja 𝑟18 predstavljeno je na sajtovima (S1) i (S2).
Tabela 1 Vektori rangiranja svih 25 kategorija sa težinama
Normalizovani vektori rangiranja i za svih 25 kategorija i odgovarajuće težine Widati su u tabeli 1. Podindeksi N, F i D odnose se na Nadala, Federera i Đokovića, kao što je gore navedeno.Ukupni numerički indeks uspešnosti N, F i D za svakog dobija se kao zbir
, (1)
gde je X jedan od podindeksa N (Nadal), F (Federer) i D (Đoković). Koristeći formulu (1) tri puta izračunavamo ukupan numerički indeks uspešnosti za sva tri tenisera:
N = 82,07, F = 90,52, D = 107,80 ili, u normalizovanom obliku, N = 0,761, F = 0,840, D = 1.
Na osnovu skalarnih težina, dobija se sledeća rang-lista„velike trojke”
Tabela 2 Rangiranje „velike trojke” na osnovu skalarnih težina kategorija
Iz tabele 2 uočavamo da je prednost Novaka Đokovića u odnosu na Rovera Federera i Rafaela Nadala oko 16% i 24% respektivno, što je ubedljiva dominacija. Đoković ima najbolji rezultat u 16 od 25 kategorija prikazanih plavom jedinicom u tabeli 2 (deli kategoriju 1 sa Nadalom – broj osvojenih Grand Slam titula), što deluje impresivno. Napomenimo da Đoković ima „nenulta” postignuća u svim kategorijama, za razliku od Federera i Nadala (prikazano crvenom nulom u tabeli 2).
Naši proračuni su pokazali da relativno male promene težina kategorija ili numeričkih podataka u listi dostignuća ne menjaju pozicije date u tabeli 2. Na primer, prema izračunatim poenima (tabela 1), jedan Grand Slam više doneo bi samo 1,1 odsto više u ukupnom rezultatu bilo kog od ove trojice tenisera. To znači da je Đoković, kao najuspešniji teniser u muškom singlu, u velikoj prednosti u odnosu na Federera i Nadala.
Na osnovu navedenih analiza koje proizilaze iz tabele, može se zaključiti da je ishod primenjene matematičke metode sledeći:Novak Đoković je najuspešniji teniser do današnjih dana. Plasman 1. Đoković, 2. Federer, 3. Nadal u znatnoj meri podržan je primetnim razlikama u broju obračunatih poena navedene trojice. Značajne razlike izražene u procentima (tabela 2) impliciraju da je redosled rangiranih igrača prilično ubedljiv i prihvatljiv sa matematičke tačke gledišta. Jedan od najdirektnijih i najočiglednijih načina za unapređenje predstavljenog modela rangiranja jeste povećanje broja ocenjvača; shodno tome, objektivnost u proceni težina se dalje povećava prema ZVB, što povećava pouzdanost rangiranja.
