Давид Хилберт је на Другом конгресу математичара у Паризу (1900) предложио 23 најизазовнија математичка проблема, чиме је предвидео правце развоја математике у 20. веку. Као седми на листи од двадесет три нерешена налази се проблем у коме се тражи одговор на питање о доказу трансцедентности или нетрансцедентности броја . Овај проблем остао је нерешен следећих тридесет година.
Проф. др Миодраг Петковић
За време предавања из теорије бројева које је Давид Хилберт одржао 1920, у жељи да публици дâ пример проблема који се једноставно формулишу и изгледају једноставно, а заправо су веома тешки, Хилберт је изабрао Риманову хипотезу, Фермаову последњу теорему и трансцендентност броја.
Напоменуо је да има напретка код проблема Риманове хипотезе и изразио мишљење да ће он можда доживети да види његово решење, неки од младих људи из публике можда ће поживети довољно дуго да дочекају доказ Фермаове последње теореме али, тврдио је, нико неће доживети да види решење проблема трансцедентности броја.
Карл Лудвиг Зигел (Carl Ludwig Siegel, 1896-1981) био је 23-годишњи студент у Гетингену када је слушао ово Хилбертово предавање. Десетак година касније, користећи рад руског математичара А. О. Гелфанда који је доказао трансцедентност броја, Зигел је успео да докаже транцедентност броја . Фермаову последњу теорему доказао је 1994. Ендру Вајлс (Andrew Wiles, 1953-) (више од триста година након формулације проблема), док је Риманова хипотеза још недоказана претпоставка.
Давид Хилберт је припадао
групи великих математичара
који су константно били
веома опседнути математиком.
Многе математичке идеје бивале су генерализоване и проширене тако далеко изван оквира свог првобитног значења да је основна идеја постајала тешко препознатљива. Ово се догодило и са бриљантном Хилбертовом идејом да генијално употреби геометрију у служби анализе помоћу изоморфизма који је успоставио између геометријске теорије квадратних површи у вишедимензионалном еуклидском простору и особина линеарних диференцијалних и интегралних оператора. Ове геометријске идеје Хилберт је касније развио у знатно апстрактнију и софистициранију формулацију, која је добила назив Хилбертов простор.
Хилбертов простор
Давид Хилберт је рођен 23.јануара 1862. у Кенигсбергу (Прусија, сада Калињинград, Русија), а умро је 14. фебруара 1943. Био је један од водећих светских математичара у своје време. Хилберт је дао значајан допринос у теорији инваријаната, пољима алгебарских бројева, функционалној анализи, интегралним једначинама, општој релативности, математичкој физици итд. Најпознатији је по свом раду на бесконачно-димензионалном простору – Хилбертовом простору. У овом приказу више ћемо се бавити неким интересантним детаљима и анегдотама из живота Давида Хилберта, а мање његовим математичким резултатима. За више детаља о Хилбертовом животу и раду видети књигу „Хилберт” (C. Reid, Springer’ Verlag, Berlin-New York 1970).
Нојманова заслуга
Овај назив увео је 1931. Џон фон Нојман (John von Neumann, 1903-1957) у једном свом значајном раду посвећеном математичким основама квантне механике. Шредингеров ранији рад из квантне механике дао је одређену тежину Хилбертовој оригиналној идеји, али каснији захтеви напредне теорије квантне механике захтевали су од фон Нојмана да формулише апстрактнији приступ који је пробио нека ограничења Хилбертове геометријске слике.
Тако је Хилбертова (у основи геометријска) дискусија преведена на много формалнији и аналитичнији језик, задржавајући притом добрим делом претходну геометријску терминологију.
Прича се да је Хилберт по одласку у пензију једном посетио семинар у Гетингену на којем је дискутовано о неким математичким последицама Хилбертовог простора. По завршетку предавања збуњени Хилберт је устао и питао: „Господине, можете ли ми, молим вас, рећи шта је то Хилбертов простор?”
Пет дана пре Ајнштајна,
Хилберт је пријавио рад
„Основи физике” који,
такође, даје тачне једначине
гравитационог поља.
Након што је утемељио специјалну теорију релативности, Алберт Ајнштајн је 1907. почео да размишља о томе како се ова теорија може усагласити са Њутновом теоријом гравитације и шта је узрок закривљења светлости у гравитационом пољу. У овом општијем Ајнштајновом прилазу Лоренцове трансформације и еуклидска геометрија нису важиле.
Октобра 1914. Ајнштајн је написао рад у коме је интензивно користио тензорску анализу и диференцијалну геометрију. Рад је садржао неке техничке грешке, на шта је указао италијански математичар Леви-Чивита, а приметили су их такође истакнути немачки математичари Давид Хилберт и Феликс Клајн. Ова двојица су похађала Ајнштајнова предавања јуна 1915. у Гетингену, где су радили као професори математике.
Без доказа теореме
Ајнштајн и Хилберт су током новембра 1915. имали више дискусија које су, по свему судећи, биле плодоносне јер су обојица скоро истовремено открили исти коначни облик једначина гравитационог поља. Ајнштајн је 25. новембра пријавио рад под насловом „Једначине поља гравитације” (The field equations of gravitation), који даје тачну једначину поља за општу теорију релативности.
Пет дана пре Ајнштајна, Хилберт је пријавио рад „Основи физике” (The foundations of physics) који, такође, даје тачне једначине гравитационог поља. Хилбертов рад садржи и неке значајне резултате у вези с релативношћу који се не налазе у Ајнштајновом раду.
Судећи према раду „Belated decision in the Hilbert-Einstein priority dispute”, објављеном у часопису Сциенце 28 (новембар 1997) (аутори L. Corry, J. Renn i J. Stachel), у Хилбертовом рукопису није био приложен доказ теореме. У штампану верзију свог рада Хилберт је убацио као нову референцу Ајнштајнов рад који се у међувремену појавио 2. децембра 1915. Хилберт је тиме и сам признао Ајнштајнов приоритет тако даје ово питање решено.
Давид Хилберт је припадао групи великих математичара који су константно били веома опседнути математиком, што је понекад проузроковало комичне ситуације као последице велике расејаности. Једном је неки његов студент пријавио тобожњи доказ Риманове хипотезе. Хилберт је био веома импресиониран овим напором, мада је брзо пронашао да доказ садржи грешку.
Нажалост, убрзо након тога студент је умро а Хилберт је пожелео да на сахрани каже неколико пригодних речи. Постоји једна, не баш поуздана прича, по којој је Хилберт искорачио напред и по јаком пљуску започео са жаљењем да говори о прераној трагичној смрти талентованог младића.
Наставио је даље примедбом да иако је младићев доказ садржао грешку, сасвим је могуће да ће неко на бази овог рада касније доћи до чврстог доказа. „Заправо”, наставио је са изненадним сјајем у очима, док је киша наставила да лије, „нека је f(z) функција комплексне променљиве z. Узмимо …”
Изашао из своје куће
На Универзитету у Гетингену постојао је обичај да се сваки нови професор формално упозна с колегама тако што ће их лично посетити код куће. Тако је једног дана нови колега дошао у посету Хилберту. Веома узбуђен сусретом са чувеним математичарем, он је ушао, одложио шешир на страну и почео да прича и прича. Ова ненајављена посета вероватно је прекинула неко Хилбертово математичко размишљање и он је постајао све нестрпљивији да настави с прекинутим радом.
Коначно је изгубио стрпљење и усред посетиочевог говора устао, покупио његов шешир и ставио га на своју главу, а затим се окренуо супрузи речима: „Чини ми се, драга, да смо довољно задржавали господина колегу”, а онда је изашао из своје куће.
О колегама физичарима
говорио је: „Физика је
сувише тешка за физичаре”.
Другом приликом опет је имао је госте. Жена је приметила да њен муж има на себи похабан капут, па му јепредложила да оде у спаваћу собу и обуче новији. Хилберт је прихватио савет и отишао у собу. Како се није вратио ни после пола сата, она је отишла до спаваће собе и нашла га како спава у кревету. Ова необична ситуација била је последица следећег низа догађаја: Хилберт је скинуо сако, окачио га на вешалицу, а затим је скинуо кошуљу, обукао пиџаму и легао да спава.
Ова анегдота је много пута препричавана у различитим верзијама али је, углавном, Хилберт био у главној улози. Међутим, неки извори тврде да је у питању био британски ексцентрик Џон Скот Халдејн, професор физиологије на Оксфордском универзитету.
Понекад су Хилбертови арогантни коментари попримали духовит карактер. Изложићемо неке од њих. О својим колегама физичарима говорио је: „Физика је сувише тешка за физичаре”. Једном је питао неког да ли је извесни математичар још жив. Особа му је потврдно одговорила а затим наставила да прича о томе где је живео, шта је радио, шта је истраживао, о његовој породици и слично.
Хилберт га је коначно зауставио речима: „Да, али ја не желим да знам све то; само сам питао да ли он још постоји?” Када су га једном питали шта мисли о астрологији, одговорио је: „Ако бисте окупили десет најпаметнијих људи на свету и питали их која је најглупља ствар која постоји, они не би могли да пронађу ништа глупље од астрологије.”
Хилберт се противио
томе да се млади
математичари
и научници жене.
Када је једном неки математичар променио своју каријеру и постао романописац, многи су се зачуђено питали како је могло доћи до таквог преокрета. Хилберт је сматрао да је то сасвим разумљиво, човек једноставно није имао довољно маште да буде математичар али сасвим довољно да буде романописац.
После Хилбертовог пензионисања 1930, једна улица у Гетингену добила је назив Хилбертова улица. „Зар то није лепа идеја с њихове стране да назову улицу у твоју част?”, питала је госпођа Хилберт свог супруга. „Не идеја, већ дело,” одговорио је Хилберт. „Клајн је умро пре него што су назвали улицу по њему, то је идеја.”
Након Првог светског рата немачка марка почела је страховито да мења вредност услед подивљале инфлације. Ситуација је драматично илустрована на примеру галопирајуће цене часописа „Mathematishe Annalen”. Усвојој књизи „Хилберт”, Констанс Рајд наводи да је 1920. цена часописа била 64 марке, почетком 1922. била је 128 марака, ад о краја 1922. порасла је на 400 марака.
До 1923. достигла је 800 марака, а до краја 1923. била је 28.000 марака. Инфлација се нагло завршила 1923. када је немачка влада увела нову монету, названу рентенмарк. Хилберт је скептично прокоментарисао: „Проблем се не може решити једноставном променом имена независно променљиве.”
Математички целибат
Када је Макс Борн (1882-1970), добитник Нобелове награде за физику 1954, писао своју дисертацију као студент у Гетингену, затражио је од Хилберта савет како да се најбоље припреми за математички део одбране. Хилбет га је питао коју област мисли да је најслабије припремио. „Теорију идеала”, искрено је одговорио Борн, претпостављајући да га Хилберт на испиту неће питати ништа из те области.
Међутим, у току одбране дисертације испоставило се да су сва Хилбертова питања била из ове области. Након одбране, Хилберт је рекао: „Само сам био радознао да видим колико знаш о нечему о чему мислиш да не знаш ништа”.
Хилберт се противио томе да се млади математичари и научници жене јер их је то ометало да испуњавају обавезе које су се од њих очекивале у научном раду. Када се Вилхелм Акерман (Wielhelm Ackermann, 1896-1962), који је с Хилбертом заједнички написао одличну књигу о логици, оженио, Хилберт се веома наљутио и одбио да му помогне у даљој каријери.
У немогућности да добије место на универзитету без Хилбертове препоруке, талентовани млади човек морао је да се запосли као наставник у средњој школи. Када је Хилберт сазнао да Акерманова супруга очекује бебу, изјавио је: „То су изванредне новости, јер у потпуности оправдавају што не желим да имам ишта више са тако лудим човеком.”
Био је веома строг и безосећајан човек, а према студентима увек критички настројен. Ако би неко од студената излагао нешто сувише једноставно, он би га грубо пресекао: „Па ово је потпуно елементарно”. Уколико би неки студент дао неадекватну презентацију, он би га казнио речима: „Ваш извештај није ништа до креда, креда, креда!” Опет, ако би студент био преопширан, он би рекао: „Само оно што је битно, молим”.
Знао је да буде, чак, непристојно груб. Неком приликом прекинуо је једног предавача у Математичком клубу у Гетингену: „Драги мој колега, сасвим је јасно да ви не знате шта је то диференцијална једначина”. Шокиран и понижен, предавач је истрчао из сале у суседну математичку библиотеку. Када су многи од присутних приговорили Хилберту на грубости, он им је опонирао: „Па, видите да не зна шта је то диференцијална једначина. Отишао је право у библиотеку да погледа.”
Био је веома строг и
безосећајан човек, а
према студентима увек
критички настројен.
Слично је прошао један од највећих научника двадесетог века, „отац кибернетике” Норберт Винер (Wiener, 1894-1964), легендарни професор Масачусетског института за технологију (MIT). Једном је Винер, као млад и још неафирмисан, држао предавање у Математичком клубу у Гетингену. Након састанка група је отишла на уобичајени заједнички ручак.
За време ручка Хилберт је коментарисао предавања која је имао прилике да чује у Гетингену. По његовом мишљењу квалитет је бивао све лошији, а посебно лоша су била предавања у последњој години: „Осим овог које смо чули данас поподне”, рекао је. И док се Винер припремао за комплимент, Хилберт је наставио: „Данашње предавање било је најгоре које смо икада чули”.
Сенска свог оца
Описано Хилбертово арогантно и цинично понашање можда је делимично последица породичне трагедије. Хилбертови су имали једно дете, сина Франца, рођеног 1893. године. Док је дете било мало, отац је полагао одређене наде у његов таленат. Нажалост, показало се да је дечак имао менталних проблема па је у школи показао слаб успех.
Да трагедија буде већа, једног дана је доживео нервни слом, након чега је примљен у психијатријску клинику. Хилбертова реакција на ово је била да се одрекне сина, чиме је госпођи Хилберт додатно сломио срце. Мада је касније изашао из болнице, Франц је имао менталне проблеме до краја живота, који је провео јадно, као бледа и патетична сенка свог славног оца, на кога је физички веома подсећао.
У свему овоме разочаравајуће је схватити да један од највећих математичких великана свих времена није био тако велики у свом приватном животу.
