ДВАПУТ БЕСКОНАЧНА ТРУБА

У литератури се за Торичелијеву трубу може наћи и назив Гаврилов рог. Име асоцира на архангела Гаврила који, дувајући у свој рог, најављује Судњи дан. Бесконачна површина је асоцијација на бесконачну моћ Бога. Делује врло изненађујуће да је површина Торичелије трубе бесконачно велика, а да је њена запремина ограничена и једнака π јединица. Особе које су похађале стандардни курс математичке анализе на првој години студија то могу лако и да провере.

 Проф. др Миодраг Петковић

 Подухват да убедите читаоца да је математика лепа није лак с обзиром на добро познату чињеницу да је математика већини ученика средњих школа и студентима (нематематичких) факултета била увек један од најтежих предмета. Можда и због тога што је некима изгледала сувопарна, другима превише егзактна, без много простора за импровизацију. Аутор се нада да ће овај прилог који садржи неколико елементарних али веома интересантних математичких проблема (између могућег и немогућег) са неочекиваним, скоро парадоксалним, решењима побудити радозналост читалаца јер је математика онолико занимљива колико смо ми радознали.

Торичелијева труба

Најпознатији геометријски објекат који има бесконачну дужину и површину, али коначну запремину јесте Торичелијева труба – објекат који има облик трубе и добија се ротацијом криве функције f(x)=1/x  za x∈[1,∞)  око x-осе, видети слику 1. Име је добила по италијанском физичару и математичару Евангелисти Торичелију (1608-1647) који је открио овај објект са поменутим особинама.

Слика 1 Торичелијева труба

У литератури се за Торичелијеву трубу може наћи и назив Гаврилов рог. Име асоцира на архангела Гаврила који, дувајући у свој рог, најављује Судњи дан. Бесконачна површина је асоцијација на бесконачну моћ Бога. Делује врло изненађујуће да је површина Торичелије трубе бесконачно велика, а да је њена запремина ограничена и једнака π јединица. Особе које су похађале стандардни курс математичке анализе на првој години студија то могу лако и да провере. Заиста, површина тела (трубе) добијена ротацијом лука криве f(x)=1/x oko x -ose, ограничена с лева помоћу равни x=1 , једнака је:

Енглески филозоф Томас Хобс духовито је приметио да не само да је ово тешко објаснити особама које се баве геометријом или логиком, већ треба бити помало луд да би се то схватило.

За описани проблем везан је један од највећих парадокса у математици. Kако је запремина трубе коначна, потребна нам је ограничена количина боје да бисмо обојимо целокупну (бесконачно велику) површ Торичелијеве трубе сипајући боју у трубу. Тако каже математика, али у стварности не можемо направити бесконачно велику Торичелијеву трубу, а такође ни „честице” боје не могу да буду мање од молекула.

Kоцке принца Баварског

Почетком седамнаестог века принц Руперт поставио је врло интересантно и изазовно питање: Да ли се кроз дрвену коцку може направити „тунел” кроз који ће проћи већа коцка? Ако је ивица прве коцке 1, одредити ивицу највеће коцке која може да прође кроз њу. Многи би одговорили (укључујући и универзитетске професоре математике) да је то немогуће, али принц Руперт је толико био уверен да постоји решење да је понудио велику опкладу.

Чувени енглески математичар Џон Волис био је први који је показао да је то могуће на примеру тунела чија је оса паралелна са дијагоналом коцке. Ивица Волисове коцке имала је дужину √6-√2≈1.03527 , што је веће од 1 и Руперт је добио опкладу.

Сто година касније испоставило се да Волисово решење није оптимално, тј. могуће је направити тунел помоћу веће коцке. Холандски математичар Питер Нивланд показао је 1793. године да највећа коцка има ивицу једнаку (3√2)/4≈1.0606601  . Kонструкција и положај ове коцке, познате под именом Рупертова коцка, приказана је на слици 2.

Слика 2 Рупертова коцка

 Слика 3 Највећи квадрат у коцки

У блиској вези са Рупертовим проблемом је конструкција највећег квадрата који цео лежи у јединичној коцки. Ивица највећег квадрата једнака је (3√2)/4≈1.0606601  и његова конструкција се може видети на слици 3: потребно је темена овог квадрата поставити на раздаљини од 1/4 од одговарајућих темена коцке. Овај квадрат, „истиснут” у оба правца ортогонално на своју почетну позицију, прави рупу кроз коју већа коцка (ивице (3√2)/4 , Нивландово решење) може да прође кроз коцку ивице 1. Делови јединичне коцке који остају после „бушења ”тунела, формирају две троугаоне призме и два неправилна тетраедра, повезана  помоћу танких „мостова” у четири ивице квадрата. Од својих шест темена, свака призма има два темена у два суседнса темена коцке и четири темена на суседним ивицама коцке на растојању од 1/4 од темена коцке.

Математичка конструкција Рупертове коцке је јасна, али практична демонстрација пролажења веће коцке кроз мању помоћу модела (рецимо, од папира) веома је тешка јер су ивице обе коцке врло блиске по величини. Међутим, на интернету постоје врло уверљиве и јасне компјутерске видео симулације овог „подухвата”.

Савијање мапа

Један од најнеобичнијих нерешених проблема у комбинаторици, који већ више од једног века фрустрира математичаре, јесте одређивање броја различитих начина за савијање правоугаоне „мапе”. Поступци савијања мапа се врло често јављају у пракси, рецимо при склапању географске или топографске мапе. Мапа се савија по „браздама” дуж вертикалних и хоризонталних линија (испрекидане линије на слици 4) формирајући матрицу m×n  идентичних правоугаоника. Проблем је предложио француски математичар Едуар Лика још 1891. године, мада у литератури постоје и раније референце. Специјалан случај је мапа 1×n , тј. трака која се састоји од  квадрата. Овај партикуларан проблем се врло често назива проблем савијања траке поштанских марака дуж перфорираних ивица.

Слика 4 Савијање мапе

С појавом рачунара математичари и програмери су покушали да проблем реше помоћу специјалних алгоритама. Испоставило се да не постоје ефикасни алгоритми за решавање овог проблема јер време израчунавања расте експоненцијално, чак и у случају савијања траке марака. Број различих начина савијања траке T(n) za n=1,2,…15  дат је у табели 1, при чему симетрична („инверзна”) савијања нису рачуната.

Рекорди у погледу димензије  се споро обарају, упркос порасту брзине микропроцесора. За квадратну мапу n×n број савијања K(n) дат је у табели 2 с напоменом да је тренутна горња граница n=5  (2018). Можете ли поверовати да се мапа димензије 3×3 може сложити на 1.368 начина?

Табела 1 Број T(n) различитих начина савијања траке 1×n поштанских мара

Табела 2 K(n) различитих начина савијања квадратне мапе n×n

Експоненцијално изненађујући

Процеси који имају експоненцијални раст често доводе до веома неочекиваних резултата. У овом делу навешћемо два примера ове врсте.

 Проблем пшеничних зрна на шаховској табли. Овај проблем се јавља у разним причама о настанку шаха али и о геометријској прогресији. Први записи потичу из Индије и стари су бар 1.000 година. На прво поље шаховске табле 8 x 8 ставља се једно пшенично зрно, на друго поље два, на треће 4, на четврто 8 и тако даље, на свако наредно поље два пута више него на претходно (слика 5). Kолико укупно има зрна на шаховској табли?

Већини читалаца је вероватно познато да је тражени број зрна једнак збиру геометријске прогресије:

не даје увид у количину зрна, да ли она заузимају једну собу, олимпијски базен или…? Резултат је крајње изненађујући: Ако би сву количину зрна смештали у теретне вагоне, а вагоне поређали у један низ, дужина свих вагона била би 60 пута већа од раздаљине Земља-Сунце!

Слика 5 Зрна на шаховској табли

 Слика 6 Савијање папира

 Проблем савијања папира. Претпоставимо да је папир правоугаоног облика произвољно великих димензија, дебљине десетог дела милиметра, пресавијен тачно на пола, а затим да је добијени комад поново пресавијен. Ако би се процесс пресавијања папира извршио 50 пута, колика би била висина добијене гомиле папира?

Многи ће на ово питање одговорити метар или два, они опрезнији рекли би можда 1 километар, а најлуђи одговор могао би да буде, на пример, 100 километара. Међутим, тачан одговор на ово питање је крајње запрепашћујући: дебљина папира износила би око 112 милиона километара, што је отприлике 3/4 раздаљине између Земље и Сунца.

Ово је била теорија. У пракси, при савијању папира мора се водити рачуна о дебљини пресавијеног папира, која расте такође експоненцијално јер се удвостручава при сваком савијању. Истовремено, дужина папира се смањује сваки пут дупло. Међутим, дужина папира л смањује се још и више због дебљине пресавијеног папира што, такође, треба узети у обзир. Претпоставимо да имамо папир димензије 20 cm×20 cm и да смо извршили неколико савијања и добили узорак дебљине r. При следећем савијању слој који се савија мора да направи полукруг полупречника r , укупне дужине πr (слика 6). Овај утрошак материјала мора се узети у обзир јер се за толико додатно смањује дужина слоја. Због тога процес пресавијања неће више бити могућ када дужина доњег слоја буде мања од величине полукруга.

На пример, после 6 савијања дебљина добијеног слоја је једнака 2^6∙0,1mm=6,4 милиметара. Kод следећег савијања дужина доњег слоја ће се смањити додатно за π∙6,4mm≈20,1mm, што је неопходно за пресавијање. Ако је оригинални папир димензије 20cm ×20cm, дужина доњег слоја није већа од 20cm/2^3 =2,5cm . Овај пример показује да ће се у пракси због ограничене величине датог папира савијање завршити у коначном броју корака. Зауставни број корака зависи од димензија оригиналног папира (пре почетка савијања) и његове дебљине. Бројни експерименти су показали да је осам савијања горња граница за папир димензије 20cm× 20cm.

Kолацов низ

Посматрајмо генерисање следећег низа:

Изаберимо произвољан природан број n .

1) Ако је n  паран број, делимо га са 2;

2) Ако је n  непаран број, множимо га са 3 и додајемо 1.

Затим се поступак наставља са новодобијеним бројем.

Немачки математичар Лотар Kолац (1910-1990) запазио је још 1937. године на великом броју експеримената да  после извесног броја корака овако генерисан низ даје број 1. Поставио је и следеће питање: Да ли овакво генерисање бројева увек доводи до 1, независно од избора почетног броја n? Године 1952. Kолац је тим проблемом „заразио” свог хамбуршког колегу Хелмута Хасеа, који је са своје стране бацио у размишљање цео Департман за математику Универзитета у Сиракузи (савезна држава Њујорк). Због тога се горњи низ понекад зове Хасеов алгоритам, а често и Сиракуза проблем. Тада је чак кружила прича да су Руси промовисали овај проблем да би тиме паралисали математичка истраживања у САД, што им је наводно пошло за руком. Ову гласину можемо сматрати ироничним коментаром хладног рата који је тада био у јеку на релацији САД-СССР.

Примера ради, ево како изгледа генерисање ако се крене од броја 17 (12 корака):

Томас Оливиера е Силва је, користећи рачунар, тестирао Kолацов низ и утврдио да било који стартни број мањи од 5.4×〖10〗^18 даје 1, али то не потврђује хипотезу. Дакле, Kолацов проблем и даље остаје отворен. Поменимо да је међу бројевима мањим од 100 милиона нађено да број 63.728.127 захтева највише корака, укупно 949. Постоји интересантна игра за више учесника заснована на Kолацовом низу: сваки од учесника бира број из договореног интервала, рецимо од 500 до 1.000, и победник је онај који у највише корака дође до 1.

Проблем четири броја

Математичар Бенедикт Фридман утрошио је 10 година решавајући следећи задатак постављен 1938. године, који на први поглед изгледа врло једноставан.

После 10 година рада, у јануарском броју часописа Scripta Matematica (1948) појавило се Фридманово решење које се односи на општији случај: Ако је број компоненти m почетног вектора степен броја 2 (тј. m=2^r), тада процес са апсолутним разликама увек доводи до нула-вектора {0,0,…0}. Ако m није облика m=2^r, тада се у општем случају не добија нула-вектор у коначном броју корака.

„Проблем четири броја” је само специјалан случај када је m=2^2 (r=2) . Овај задатак и данас је врло актуелан и атрактиван пример из елементарне математике који многи математичари често користе да забаве и задиве своје колеге, а и своје ученике и студенте.

Игра цифрама

Многи љубитељи математике били су током четрдесетих окупирани популарном игром бројева, проистеклом из једног проблема у часопису The American Mathematical Montly. Игра се састојала у томе да се бројеви од 1 до 100 изразе помоћу 4 исте цифре, уз коришћење једино основних аритметичких операција (нпр. 99+9/9=100).

Билијарска „црна рупа”

Педесетих година двадесетог века немачко-амерички математичар Ернст Штраус поставио је питање да ли је могуће направити собу чији су зидови прекривени огледалима тако да светлост из једне тачке не може допрети у све тачке унутар собе, узимајући у обзир да осветљење може долазити и после рефлексије од једног или више огледала. Проблем је еквивалентан следећем билијарском проблему: Да ли се може конструисати такав билијарски сто да кугла ударена у некој (повољно изабраној) тачки А никад не дође у тачку B (тзв. „црна рупа”), макар се и бесконачно пута одбила од зидова?

Слика 7 Просторија са „црном рупом”

Овај задатак није био решен све до 1995. када је Џорџ Токарски смислип собу с „црном рупом” која је имала 26 зидова. Две године касније Д. Kастро је побољшао овај резултат и конструисао собу са 24 зида приказану на слици 7. Ако се свећа стави у тачку А, особа која стоји у тачки Б неће видети светлост, упркос рефлексије стаклених огледала постављених на зидове.

Необичан тробој

Следећа прича А. П. Херберта (Fat King Melon) из 1927. говори о некадашњим временима када су се несугласице, а посебно питања увреда и одбране части, решавале двобојима. За данашње време то је не само суров већ и несхватљив начин решавања спорова.

Једног хладног зимског дана Сем, Бил и Дон отишли су у лов на вукове. После дугог пешачења шумским стазама, на једном пропланку угледали су усамљеног вука и сви истовремено опалили из својих пушака. Вук је био смртно погођен, а међу ловцима је избила свађа око тога чији је хитац био смртоносан. На крају су се Сем, Бил и Дон сложили да спор реше пиштољима у двобоју под следећим необичним условима. Дуелисти се налазе у теменима једнакостраничног троугла. Редослед пуцања одређује се жребом.

Свако, када на њега дође ред, испаљује један хитац при чему може бирати у кога ће да пуца. Борба се прекида када двојица буду погођена. Поредак при гађању, који је одређен жребом пре почетка дуела, не мења се у току борбе.

Сва тројица знају да Сем никад не промашује, Бил погађа у 80%, а Дон у 50% случајева. Kоји од дуелиста има највише шанси да остане непогођен, подразумевајући да се свако придржава сопствене оптималне стратегије? Наћи колика је вероватноћа за сваког дуелисту да остане непогођен.

Овај проблем вероватно асоцира добар број читалаца на незаборавну завршну сцену из чувеног вестерна The Good, the Bad and the Ugly, Серђа Леонеа (1966) у коме Kлинт Иствуд (Blondie), Ли ван Kлиф (Angel Eyes Ангел) и Ели Валах (Tuco) рашчишћавају рачуне у тробоју на гробљу у међусобном револверашком обрачуну.

Веровали или не, највећу вероватноћу да остане непогођен у поменутом тробоју има Дон који важи за најгорег стрелца! За њим следи Сем који увек погађа. Kако Сем и Бил, кад на њих дође ред, гађају један у другог (да би елиминисали бољег стрелца), оптимална стратегија Дона састоји се у томе да намерно промашује („пуца у ваздух”) када на њега дође ред све дотле док један од његових противника не буде погођен. После тога он гађа у непогођеног противника имајући, свакако, веће преимућство у односу на њега („предност првог потеза”).

Задатак се решава применом основних особина и теорема из теорије вероватноће које највероватније нису познате широком кругу читалаца. Због тога дајемо само крајње резултате. Нека P(L) означава вероватноћу да ловац L једини остане непогођен, тада је:

Према томе, највеће шансе да у тробоју остане непогођен има најгори стрелац Дон (око 52%), затим Сем (30%) и на крају Бил (око 18%). Kомплетно решење може се наћи у књизи аутора овог чланка „Зашто је математика лепа”? (2015) у издању аутора и Удружења књижевника „Бранко Миљковић”, Ниш.

Kада су једног познатог математичара питали да ли је изненађен парадоксалним решењем проблема тробоја, одговорио је: „Не знам шта да мислим, али кад добро размислим, мислим да није испало онако како сам мислио”.