Нико не сумња да је математика неопходна за решавање проблема у скоро свим гранама науке, истраживања и разјашњавања разних појава у природи и друштву. У овом прилогу указаћемо на две интересантне примене математике за решавање два врло занимљива проблема, од којих један потиче још из древног Египта: да ли змија може да прогута саму себе. Ни мање ни више, одговор захтева примену више математике – интегрални рачун.
Проф. др Миодраг Петковић
Проблем 1: Црв на растегљивом гуменом конопцу
Овај задатак о црву је постављен у научно-стручном месечнику Scientific American још пре 60 година и изазвао велико интересовање читалаца. Наравно, уместо црва може се посматрати и било који други живи створ који се равномерно креће.
Црв се налази на једном крају гуменог конопца који се (претпоставимо) може бесконачно растезати. На почетку конопац је дуг 1 километар. Црв гамиже дуж конопца према другом крају константном брзином од 1 сантиметра у секунди. На крају сваке секунде конопац се тренутно растеже за још један километар. Дакле, у првој секунди црв прелази 1 сантиметар, а конопац постаје 2 километра дугачак. После друге секунде црв је прешао још 1 сантиметар, а конопац с продужио на 3 килоемтра итд. Растезање конопца је равномерно, као растезање гумене траке. У овом процесу црв се помера и то, како због сопственог кретања (1 cm/sec), тако и услед истезања конопца. Може ли при описаној ситуацији црв досегнути други крај конопца? Ако је то могуће, одредити приближно време таквог путовања и дужину конопца на крају путовања.
Црв на растегљивом гуменом конопцу
Пошто црв стално напредује, може се поставити питање: Није ли очигледно да он мора коначно да стигне на циљ? Не обавезно, јер може се вечито константно напредовати ка циљу а да се никад не дође до њега. Напредовање црва мери се помоћу збира (опадајућих) делова дужине конопца. Овај збир може бити бесконачан, а да ипак конвергира ка тачки која је много испред краја конопца. Заиста, такав случај би се десио кад би се конопац развлачио удвостручавајући своју дужину након сваке секунде.
Међутим, под условима у задатку црв успева да стигне до краја конопца, што изгледа невероватно! Да видимо да ли математика може да пружи објашњење за овај, на први поглед, неочекован исход?! Kако има 100.000 сантиметара у једном километру, на крају прве секунде црв ће превалити 1/100.000-ти део дужине конопца. Током друге секунде црв преваљује (почев од претходне тачке након развлачења конопца) растојање од 1/200.000-тог дела дужине конопца који се растегао на два километра. Током треће секунде он прелази 1/300.000-ти део конопца (који је сада дугачак три километра), и тако даље. Напредовање црва, изражено преко делова дужине целог конопца, износи
Збир у загради је парцијална сума добро познатог хармонијског реда који дивергира када n тежи у бесконачност. Чим парцијална сума (израз у загради) постане једнака 100.000, горњи израз ће постати 1, што значи да је црв достигао крај конопца. Број сабирака n у овој парцијалној суми хармонијског реда биће једнак броју секунди које су истекле. Kако се црв креће један сантиметар у секунди, n је такође коначна дужина конопца у центиметрима.
Овај огроман број L, са тачношћу у оквиру једног минута, јесте
где је е основа природног логаритма (приближно 2.71828182) а
Ојлерова константа која представља граничну константу низа
када n тежи у бесконачност. Број L дат горњим изразом даје дужину конопца која увелико надмашује пречник познатог свемира и време које превазилази садашње процене старости свемира.
Из решења овог проблема приметимо да ће, независно од параметара (почетна дужина конопца, брзина црва и број истезања конопца), црв стићи до другог краја конопца и то за коначно време. Наравно, под претпоставком да се ради о заиста дуговечном црву. Исто би важило и ако се истезање врши континуално; међутим, због лакше анализе, у постављеном задатку је претпостављено да се истезања конопца врше у дискретним корацима. Ово је добар пример који може и универзитетском професору задати много главобоље.
Пример 2: Самопрождирућа змија
Према легенди постојала је у древном Египту митска змија по имену Ouroboros, која је ставила свој реп у уста и почела да га једе и на тај начин је постепено потпуно прогутала саму себе. Мада је с биолошке стране јасно да змија то не може да учини, математичарима ово није било довољно већ су одлучили да размотре проблем самопрождируће змије и са чисто математичке стране.
(Wikimedia)
Претпоставимо да је почетна дужина змије 1 (у одговарајућим јединицама) и да је змија на почетку заузела положај као на слици 1а. Претпоставимо такође да змија увек узима облик круга са центром у координатном почетку и да јој се глава креће искључиво у смеру казаљке на сату.
Сл. 1 Самопрождирућа змија
Змија почиње да једе свој реп и после неког времена изгледа као на слици 1b. Нека је положај краја змијиног репа изражен поларним координатама, видети слику 1b. На почетку је
а на крају, када змија у потпуности прогута саму себе, имамо
Kако је на почетку дужина змије једнака 1, биће
Путања коју описује крај змијиног репа изражена је стога као
Да бисмо испитали да ли змија може у потпуности да прогута саму себе, користићемо формулу за налажење дужине криве у поларном координатном систему
Сигурно да међу читаоцима има и оних који нису имали прилике да слушају курс „Примене интегралног рачуна” тако да им ова фомула изгледа страно, али верујте да је тачна, извео ју је холандски математичар Хендрик ван Хорат још 1659. године и нико у међувремену није имао никакву примедбу.
Суштински, читаоцима је битна једино информација да ли је дужина поменуте криве коначна или бесконаначна, а како се рачуна ова дужина није циљ овог прилога: наћи ће се неко ко то зна. На крају крајева, ни најбољи светски математичари тешко да су запамтили све математичке формуле и теореме које су учили на факултету. Амерички психолог и филозоф Р. Ф. Скинер једном је изјавио: „Образовање, то је оно што остане након што заборавите све што сте научили у школи”. Ова изрека се често неоправдано приписује Ајнштајну. Овом приликом згодно је поменути чувеног италијанског физичара Енрика Фермија, добитника Нобелове награде за физику 1938. године. На питање једног студента како се зове нека атомска честица, одговорио је: „Младићу, да могу да упамтим називе свих тих честица, био бих ботаничар”. А сличним поводом француски филозоф и писац Дени Дидро је изјавио: „ Нисам толико луд да бих знао све”.
Дакле, примењујемо формулу (1) и налазимо дужину криве коју описује крај змијиног репа
Овај интеграл није баш лако израчунати, али то нека вас не брине, важан је само крајњи резултат. Утренирани решавачи интеграла (то су, између осталих, студенти техничких факултета који обавезно кажу да су решили хиљаду интеграла да би положили „Математику I) би сада увели суптилну али не и неочекивану смену
и израчунали
Дакле, крива има бесконачну дужину. Ово значи да је немогуће да змија у потпуности поједе саму себе за неко коначно време јер, према Ајнштајну, крај змијиног репа не може да се креће брже од брзине светлости (а да змија не добије озбиљне стомачне болове!).
