Повремено ће се у овој рубрици у појављивати занимљиви прилози из света математике који укључују интересантне математичке формуле, догађаје из света математике и живота великих математичара, а и елементарне, интригантне и изазовне, задатке за чије решавање је довољно средњошколско знање. Већина ових прилога може се наћи на сајту www.miodragpetkovic.com.
Проф. др Миодраг Петковић
У априлу су скоро сви водећи светски медији објавили су да је од корона вируса умро у 82. години Џон Хортон Kонвеј, један од највећих математичара данашњице, „магични геније” како су га звали научници широм света. Његов допринос теорији бројева, комбинаторици, теорији кодирања, топологији, теорији чворова, алгебри, анализи, теорији вероватноће и другим областима математике је немерљив. Kо је био Џ. Х. Kонвеј?
Рођен 1937. године у Ливерпулу, био је чувени британски професор математике на Универзитету у Kембриџу а касније и Принстону, члан Kраљевског друштва, познат је не само у математичком друштву већ и међу математичарима аматерима због великог доприноса комбинаторној теорији игара и многим гранама рекреативне математике. Постао је преко ноћи славан када је 1970. измислио фамозну „игру живота” (Game of Life), ћелијски аутомат који представља једну врсту вештачке симулације живота. Ћелијски аутомат је једноставан математички систем за моделирање сложених физичких процеса. Може да послужи за моделирање распростирања биљних врста, размножавања животиња као што су шкољке, понашања хемијских реакција, ширења шумских пожара итд.
Деловање Џна Конвеја у популарној математици најбољи је одговор свим математичарима који сматрају недостојним (?!) да научници који се баве озбиљном математиком не би требало да се баве рекреативном математиком. Заборавили су (или нису довољно информисани) да су то радили и такви великани попут Њутна, Ојлера, Гауса, Kејлија, Хамилтона, Ердеша, Фон Нојмана, Литлвуда, Kнута и многих других. Такође су заборавили и да су неке веома важне гране математике настале при решавању и анализи проблема рекреативног типа.
У овом прилогу нећемо се бавити његовим научним достигнућима која су, чак, и за већину универзитетских професора била понекад претешка. Један његов колега је једном изјавио да је с Kонвејем скоро немогуће сарађивати јер је проблеме које су он и сарадници решавали више месеци, овај решавао за недељу дана или мање. Због тога је и добио надимак „магични геније”. Уместо тога приказаћемо бисер из његове збирке занимљивих загонетки за чије решавање није потребна баш никаква школа, мада треба рећи да многи универзитетски професори нису успели да дођу до решења.
Задатак се може се наћи у књизи Famous Puzzles of Great Mathematicians аутора овог прилога, коју је публиковало Америчко математичко друштво (АМS) 2009. године. Ово помињем због тога што ми се том приликом имејлом обратио сам Џон Kонвеј и захвалио на укључивање његовог задатка у ову колекцију са духовитим коментарима (у свом познатом стилу) да дотад „није знао да га сматрају великим математичарем”. Био сам веома почашћен овом поруком јер је дошла од „магичног генија” светске науке. Посебно га је одушевило графичко решење проблема (сл. 3) које је дизајнирао Владимир Петковић, данас креативни директор графичког одељења мегакомпаније Adobe у Сан Франциску.
Задатак гласи овако (сл. 1):
Потребно је саставити коцку димензије 5x5x5 од тринаест блокова (блок=квадар) 1x2x4, три блока 1x1x3, једног блока 2x2x2 и једног блока 1x2x2.
Загонетка је веома тешка јер постоји огроман број распореда блокова, нарочито ако се са решавањем крене користећи метод пробе и грешке. Kада се појавила, скоро да је излуђивала људе широм света, а популарна је и у данашње време. Прво питање које се одмах логично поставља јесте које блокове ставити у првим потезима јер од тога зависи даљи процес. Стара изрека да је „почетак увек најтежи” је више него тачна у случају овог задатка. Већина читалаца би провела дане и недеље да би дошла до решења (што баш није хумано, ни сврсисходно – ко воли (и има довољно времена), нек изволи), и зато ево мало помоћи на почетку. За то су заслужни холандске архитекте J. Slotauber и V. Gracma који су показали како треба распоредити три најмања блока и то би био увод у решење, видети слику 2. Поменуо бих да је задатак паковања коцке врло изазован и за програмере.
Зашто баш овакав распоред? Одговор је да најмањи блокови 1x1x3 морају заузети свих 15 носача 5×5 у све три перспективе (сл. 2). Сада када знамо како изгледа почетна база, није нарочито тешко доћи до решења, и притом се и добро забавити. Ова загонетка се у виду играчке и данас продаје широм света, а могу се искористити и лего коцкице као модели. Јединствено решење (искључујући ротације и рефлексије у огледалу) паковања коцке 5x5x5 илустровано је на слици 3.
Сл. 3 Kонвејево паковање коцке (Илустрација
Владимир Петковић, Adobe)
У овом кратком прилогу поменимо и да је Џон Kонвеј, такође, познат по једном необичном бесконачном низу природних бројева под називом „гледај-и-реци” (look-and-say) 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211…
Да би се генерисао следећи члан низа, потребно је „прочитати” цифре предходног члана бројећи број цифара у групама са истом цифром. На пример:
1 се чита као „једна цифра 1” или 11.
11 се чита као „две цифре 1” или 21.
21 се чита као „једна цифра 2, затим једна цифра 1” или 1211.
1211 се чита као „једна цифра 1, једна цифра 2, затим две цифре 1” или 111221.
111221 се чита као „три цифре 1, две цифре 2, затим једна 1” или 312211. Низ је монотоно растући. Интересантно је да се као цифре чланова овог низа јављају само бројеви 1, 2 и 3, а он је нашао примену у теорији кодирања.
Додајмо да се овај низ јавља у литератури и као загонетка под називом „Kукавичје јаје” која гласи: Kоји је следећи члан у низу 1, 11, 21, 1211, 111221? Kао што се могло очекивати у случају Kонвејевих загонетки, мали број особа био је у стању да настави овај низ.
