Повремено ће се у „Новој Галаксији” појављивати занимљиви прилози из света математике који укључују интересантне математичке формуле, догађаје из света математике и живота великих математичара и елементарне али интригантне и изазовне задатке, за чије решавање је довољно средњошколско знање математике. Већина ових прилога, као и још математичких прича и занимљивости, може се наћи на сајту www.miodragpetkovic.com аутора ових прилога (опција теме у менију).
Проф. др Миодраг Петковић
ЛОГАРИТАМСKА СПИРАЛА
Логаритамска спирала је раванска крива дата једначином у поларним координатама
(сл. 1). Име следи из горње једначине. Kонстанте a и b одређују брзину раста спирале и степен њене закривљености.
Сл. 1 Логаритамска спирала Сл. 2 Локсодрома
Логаритамску спиралу први су изучавали француски математичар и филозоф Рене Декарт (1596-1650) и швајцарски математичар Јакоб Бернули (1655-1705). Бернули је показао неколико интересантних особина спирале. На пример, исто као и круг, логаритамска спирала сече своје радијусе под константним углом, због чега се у литератури може срести и назив еквиугаона спирала. Ово својство је искоришћено у навигацији. Kрива која одговара логаритамској спирали, а лежи на површи Земљиног глобуса, зове се локсодрома (сл. 2) и она пресеца географске меридијане под константним углом.
Сл. 3 Kоморни наутилус, Chris 73 Сл. 4 Степенише цркве са
перспективом у облику логаритамске
спирале Brad Hamonds
Логаритамска спирала често се појављује у природи и природним облицима, почев од једноћелијских микроорганизама до огромних галаксија. Најпопуларнија појава логаритамске спирале јесте, свакако, код шкољке морског мекушца коморног наутилуса (Nautilus pompilius, видети слику 3). Kако мекушац расте, он гради све веће и веће коморе у свом кућишту, и изолује мале које остају неискоришћене. Врло интересантно је да се облик кућишта не мења док мекушац расте.
Логаритамске спирале често се могу срести и у грађевинским структурама. Један од најлепших примера је степениште цркве у месту Kутна Хора у Чешкој (сл. 4), које је осмислио архитекта Јан Блажеј Сантини-Ајшел у 18. веку.
Сл. 5 Спирална галаксија NGC 1300, NASA, 2005
Спиралне галаксије попримају облик логаритамске спирале. На слици 5 приказана је спирална галаксија NGC 1300, снимљена свемирским телескопом „Хабл” 2005, видети сајт
http: //hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2005/01/image/a/
Процењује се да је 15% свих галаксија, укључујући и наш Млечни пут, спиралног облика, док су најстарије и највеће елипсастог облика. То се дешава због тога што се оне састоје од релативно танког диска гаса и звезда који се сви заједно окрећу око центра. Што је објекат (или скуп објеката као што је наш соларни систем) ближи галактичком центру, он се брже креће формирајући на тај начин спиралу. Ово је прилично упрошћено објашњење, нова сазнања указују на много сложеније утицаје, нарочито суседних галаксија.
На крају, један задатак за читаоце који воле да решавају интересантне задатке. Четири бубамаре А, B, C и D налазе се на теменима квадрата странице L сантиметара (сл. 6). У једном тренутку бубе истовремено полазе једна према другој: А према B, B према C, C према D и D према А. Њихове брзине су једнаке и константне. После извесног времена бубе ће се срести у центру квадрата. Kоје путање у равни тачака А, B, C и D описује свака буба? Наћи растојање које је прешла свака буба од поласка до сусрета у центру. Поменимо да се овај задатак нашао више пута на интервјуима кандидата за посао у ИТ компанијама (Microsoft, Google и друге).
Одговор: Свака буба описује логаритамску спиралу, видети слику 7. Доказ препуштамо читаоцима. Пређено растојање је додатно питање за читаоце. За детаљно решење погледати ауторов сајт издање 35 (јун 2019) или књигу Famous Puzzles of Great Mathematicians (American Mathematical Society, Providence, 2009) аутора овог прилога.
Сл. 6 Трка бубамара Сл. 7 Путање бубамара
