BESKONAČNA BESKONAČNOST

„Reč beskrajno mi izgovaramo lako, ali kad pređe u misao, ona je raznosi i ubija” (Horhe Luis Borhes) ili „Večiti muk tih prostora bez kraja užasava me” (Blez Paskal). Georg Kantor otkriva da realna prava ima onoliko tačaka koliko i bilo koji segment na njoj, ili odsečak isto toliko tačaka kao i kvadrat, kocka… konstruisani nad njim. Iznenađen i sam, reći će, u pismu Julijusu Dedekindu: „Vidim, ali ne verujem”.

Prof. dr Milan D. Tasić

Vekovima se beskonačnost opirala da bude određena, pa onda i proučena, da mi srećemo na ovom mestu radije izraze poput Borhesovih reči: „Reč beskrajno mi izgovaramo lako, ali kad pređe u misao, ona je raznosi i ubija” ili, pak, Paskalove misli: „Večiti muk tih prostora bez kraja užasava me”. U antici se, čak, govorilo da i priroda sama ima „strah od praznog prostora” (horror vacui), što je važilo kao načelo u fizici (tečnost koja se penje u cevi iz straha od praznine i dr.), dok su na drugoj strani teolozi, filozofi spekulisali o beskrajnosti, recimo, kao o „atributu boga”, a o prostoru i vremenu kao o bićima apsolutnim, ili „onome što je u sebi samom” (Dekart) i slično.

Georg Kantor (1845-1918.) će učiniti – sam i prvi put – da se o beskonačnosti ne samo progovara, kao dva i po milenijuma dotle, već i in extenso istražuje ona u okviru „aritmetike transfinitnih brojeva”. Ti se brojevi sad javljaju samom odredbom beskrajnosti, učinivši mogućim i govor o njoj – jer se i, inače, ne može steći znanje o nečemu (proučiti) što nije određeno. Sve i da se ona pokazala manjkavom, bila je to odredba, upravo, „aktuelne beskonačnosti” kao dovršene, one koju je odbacio bio Aristotel u korist „potencijalne beskonačnosti” ili beskonačnosti u nastajanju, a čijim uporištem služi stav: „Veličine su (samo) potencijalno deljive, a ne i stvarno podeljene”.

Štaviše, kako se beskrajno može
uopšte i da prenese (odredi) s konačno
mnogo reči? Ovom poslednjem će se
približiti kasnije Kantorov učenik
Enrnsts Cermelo, pokazavši da se
svaki (pa i beskrajan) skup može „dobro
da uredi”– pa onda i definiše – ali je to
stav koji se zasad i prihvata i odbacuje…

Beskrajne veličine, dakle, za Kantora, aktuelno postoje kao celoviti (rasprostrti) entiteti pred nama i ne prispeva se do njih samo sukcesivno, na način deljenja ili dodavanja. Pojam potencijalnog je, doduše, odao privid rešenja Zenonovih aporija (Ahil i kornjača, strela …) – Aristotel je probleme beskrajnog, (ne)prekidnog, kretanja prvi put i formulisao – ali je ostalo ono polazno: ne uspevamo mi i dalje da dokučimo u umu, recimo, kako jedan decimalan niz (broj) može stalno da raste, a da sam on ne postane beskrajno velik ili da se veličina stalno smanjuje, a da se ne izjednači s nulom.

Ernst Cermelo (Vikipedija)

Štaviše, kako se beskrajno može uopšte i da prenese (odredi) s konačno mnogo reči? Ovom poslednjem će se približiti kasnije Kantorov učenik ErnstsCermelo, pokazavši da se svaki (pa i beskrajan) skup može „dobro da uredi”– pa onda i definiše – ali je to stav koji se zasad i prihvata i odbacuje …

Užasavajuće ponavljanje

Drugačije od paskalovske tišine i jednolikog ponavljanja koje užasava, sad kantorovska beskrajnost odaje reljefnu sliku najviše složenosti, gde nalazimo da ima beskrajnosti različitih nivoa, pa čak i to da ih je proizvoljno (beskrajno) mnogo. To su rezultati „teorije skupova”, koju je sazdao Kantor, pošavši od problema toga doba u analizi da se svaka funkcija može da predstavi trigonometrijskim redom (Furije). Ti su redovi, inače, periodičke funkcije, pa su utoliko i pogodniji za postupanje… On pokazuje da je to odista slučaj ako je funkcija neprekidna na intervalu, kad je i rešenje jednoznačno, ali mu je ostalo da pokaže šta biva u slučaju kad ova ima (bes)konačno mnogo tačaka prekida. To ga privodi do pojma (ne)prekidne veličine. A čini to tako što, najpre, tačke na realnoj pravi poistovećuje s brojevima, da tim putem zađe u oblast brojeva.

Protiv svake odredbe beskonačnosti su
oduvek bili teolozi – jer to svojstvo
do najviše mere pripada, upravo, bogu
(Akvinski), pa bi svako određivanje bilo
ograničavanje njegovih beskrajnih atributa.

Na taj način tačke, linije, oblici… kao vidljivi (geometrijski) entiteti, bivaju izraženi brojevima – apstraktnim (aritmetičkim) veličinama. Što je omogućilo odredbu aktuelne beskonačnosti, uopšte. Sad je svaki realan broj (racionalan, kao i iracionalan) granica niza racionalnih brojeva (Košijevog niza), ali su to ovoga puta stvarne (aktuelne) i opipljive veličine, a ne one u nastajanju (potencijalne) i fiktivne. Kantoru je tako pošlo za rukom da aktuelnu beskonačnost odredi kao dovršen totalitet objekata, svakom od kojih pripada stvarno (realno) postojanje.

Inače, protiv svake odredbe aktuelne beskonačnosti su oduvek bili teolozi – jer to svojstvo do najviše mere pripada, upravo, bogu (Akvinski), pa bi svako određivanje bilo ograničavanje njegovih beskrajnih atributa – ali i sami matematičari, koji su više od mnogih zadužili bili ovu nauku. Za Gausa, recimo, beskonačna veličina je samo „način govora” kad je reč o graničnoj vrednosti, dok bi Kroneker radije izagnao iz matematike i iracionalne brojeve, jer se ne mogu da konstruišu oni kao racionalni brojevi. Matematičari su odista predugo istrajavali na konstruktivizmu, čiju, možda, ekstremnu parafrazu donosi verset iz „Novog zaveta”: „Gospode, pokaži nam Oca i biće nam dosta” (Jov. 14, 8). Da, naime, samo ono što je očevidno ima prava na stvarno postojanje.

Kantorova odredba skupa kao „celine određenih i različitih objekata našeg opažanja i mišljenja”, prikriva, inače, nameru da važi za svu predmetnu stvarnost uopšte – ne samo za brojeve – a kad je hteo da skupove uporedi po „broju elemenata”, on nalazi, najpre, da ima onoliko prirodnih brojeva koliko i razlomaka (koliko i celih, parnih, neparnih brojeva…) – što inače odaje samu logičku poteškoću u razumevanju: dela jednako brojnog kao što je i celina sama. Da ima, recimo, onoliko parnih brojeva 2, 4, 6… koliko i prirodnih 1, 2, 3…, iako je prvi skup deo drugog.

Elemente takvih skupova je moguće poređati u nizu (popisati ih), pa su ti skupovi prebrojivi, utoliko što ubrzo uviđa on da to nije slučaj s realnim brojevima kao neprebrojivim. Postoje, dakle, (barem) dva različita stepena (nivoa) beskonačnosti, dok ono što mu polazi za rukom da dokaže iz odnosa između njih jeste: skup realnih brojeva ekvivalentan je s partitivnim skupom (skupom svih delova) skupa prirodnih brojeva. A potom, kao u zemlji čuda, Kantor otkriva da realna prava ima onoliko tačaka koliko i bilo koji segment na njoj, ili odsečak isto toliko tačaka kao i kvadrat, kocka… konstruisani nad njim. Iznenađen i sam, reći će, u pismu Dedekindu: „Vidim, ali ne verujem”.

Matematička sloboda

Najzad, kako on zalazi s onu stranu konačnog i konstruiše transfinitne brojeve?

Tako što postavlja, najpre, da ovima pripada nužno postojanje, bude li određeno (tek) po čemu će se razlikovati jedan od drugog. Dve klase takvih brojeva on naziva: ordinalni i kardinalni brojevi, pri čemu prvi ukazuju na mesto elementa skupa u nizu (redni brojevi), a drugi na njihovu brojnost (glavni brojevi). Naime, ako niz 1, 2, 3… dovršimo simbolom ω, kao graničnom vrednošću, onda bi ω + 1, ω + 2… bio novi niz brojeva. Kao prebrojiv, imao bi on granicu ω + ω = 2ω, što dovodi ponovo do niza 2ω + 1, 2ω + 2… itd. Svi su ti skupovi i dalje prebrojivi.

No, ako je zbog napada kojima je bio
stalno izložen, dopao Kantor i duševne
bolnice – i onda kad su logički paradoksi
potresli teoriju – već David Hilbert
će se početkom prošlog veka izraziti o
njoj rečima: „Niko nas ne može da izagna
iz raja koji je za nas stvorio Kantor”.

Slično se dobija i klasa kardinalnih brojeva, počev od broja alef nula, koji pokazuje koliko ima prirodnih brojeva itd. No, u pogledu odnosa među njima formulisana je tzv. „hipoteza kontinuuma” (Kantor, 1878.), koja glasi: „Ne postoji skup čiji je kardinalan broj (strogo) između skupa prirodnih i skupa realnih brojeva”. Zasad je Pol Koen pokazao (1963.) da, kao stav-iskaz, ne zavisi ona od standardnih aksioma teorije skupova, što čini, upravo, mogućom ovu teoriju i s hipotezom i bez nje.

David Hilbert (Vikipedija)

„Suština matematike je u njenoj slobodi”, branio se Kantor od svog učitelja Kronekera i njegova teorija skupova i dalje nije odbačena zato što, recimo, 1 + ω nije isto što i ω + 1 (komutativan zakon) kod ordinalnih brojeva. Niti što „nova beskonačnost” koju je donela ona nije „suština potpuno definisana i s konačno mnogo reči” – Poenkare, što je ovog glasovitog naučnika navelo da izjavi: „Buduće generacije će gledati na Mengenlehre (teoriju skupova) kao na bolest…”. No, ako je zbog napada kojima je bio stalno izložen, dopao Kantor i duševne bolnice – i onda kad su logički paradoksi potresli teoriju – već David Hilbert će se početkom prošlog veka izraziti o njoj rečima: „Niko nas ne može da izagna iz raja koji je za nas stvorio Kantor”.

Teorija skupova se produžila potom do teorije kategorija u matematici, koja je obuhvatila sobom mnoge matematičke oblasti da, naročito s tzv. „teorijom toposa”, nađe put primene u raznim (i nematematičkim) područjima stvarnosti u našem dobu.