PODVIZANJE UMA

EUBULIDOVO RASUĐIVANJE

789 pregleda

Kurt Gedel je dokazao teoremu: „Svaka neprotivrečna teorija (koja sadrži aritmetiku) je nepotpuna”. Učinio je to, dakle – posle više od dva milenijuma – sledeći isto rasuđivanje kome se priklonio bio i Eubulid iz Mileta, u nastojanju da pokaže da je nemoguće saznanje sveta do kraja, kao neprotivrečno i potpuno. A što u krajnjoj liniji vodi, recimo, do zaključka da nije moguće konstruisati mašinu koja bi u celosti zamenila ljudski mozak.

Prof. dr Milan D. Tasić

Tragom Lajbnicovih „opštih obeležja” (characteisticae universales) za pojmove i mogućeg suvislog „računa” sa njima (calculus ratiocinator) – kada bi bilo dovoljno samo reći Calculemus! („Da sračunamo!”), pa izbeći svaki nesporazum u nauci – Gotlob Frege (1848-1925) se u delu „Osnovi aritmetike” (1884) latio da u okviru nauke logike takvo jedno „pojmovno pismo” (Begriffsschrift) i ostvari. Naime, učinio je to pošavši od pojmova poput: ne, i, ili, ako … tada i slično, ne bi li u isto vreme pokazao i da je matematika „uronjena” u logiku, javljajući se tek delom nje. Inače, tragove sličnih zamisli srećemo i kod Dekarta (on je geometriju sveo na analizu), Paskala i drugih, a prepoznajemo ih i već kod prvog od filozofa, Talesa iz Mileta, koji je kazao: „Jedno i sve”.

Gotlob Frege (Vikipedija)

Uopšte, kod predsokratovaca pretežna uloga u saznanju pripala je logosu, koji je odista – iako samo na početku! – donosio jedinstvo mišljenja i bića, predmeta i njegovog znaka, da su slovima svog alfabeta, recimo, označavali Grci uz reči, i brojeve i muzičke tonove, a muzika i astronomija bile gotovo istovetne. Ili, pak, „pesnicima bića” (Hajdeger), njima se vazduh ukazivao kao ružičast i suv, našli su bili da mu pripada broj 3 i da je geometrijska tvorevina, a koja oblikuje, uz to, i sangviničan karakter u čoveku itd. No, s „kategorijama”, „definicijama”, „dokazima”… polako, ali neumitno, ono što je bilo dotle jedno i monolitno, prožele su aporije, opovrgli alegoi, sapeli paradoksi: broj više nije dosezao dijagonalu kvadrata (s Pitagorom), Ahilu je kornjača izmakla zauvek (sa Zenonom iz Eleje), a Krićani doveka ostali da lažu (Epimenida). (Titu poslanica svetog apostola Pavla 1,12).

Eubulid (Vikipedija)

Najsežitije se on iskazuje rečima: „Ja
lažem”, a do problema dolazi ako se pita
da li je kao iskaz ta rečenica istinita
ili nije? A jer se oba puta zapada u
protivrečnost: naime, bila bi „istinita
ako je lažna” i „lažna ako je istinita”.

U poslednjem slučaju, reč je o logičkom paradoksu poznatom kao „lažljivac”, a koji se vezuje za ime Eubulida iz Mileta (četvrti vek pre n. e), pripadnika Megarske škole mišljenja, od isključivog značaja po razvoj logike sve do danas, o kome je u to doba Teofrast bio napisao tri knjige, Hrisip (čak) šesnaest, da bi izvesni Filit iz Knosa poneo u svom epitafu reči: „Ubi me lažljivac”.

Najsežitije se on iskazuje rečima: „Ja lažem”, a do problema dolazi ako se pita da li je kao iskaz ta rečenica istinita ili nije? A jer se oba puta zapada u protivrečnost: naime, bila bi „istinita ako je lažna” i „lažna ako je istinita”. Tako se, dovoljno rano u istoriji mišljenja, pokazalo da složena struktura bića nije istovetna s logičkom strukturom mišljenja, a što je ostalo da ipak služi kao čvorišna tačka u čovekovom stalnom nastojanju da se nekako dovine do apsoluta u saznanju.

Bertrand Rasel (Vikimedija)

Reč je, dakle, o „samoreferentnim” stavovima, onima koji iznose vlastitu (ne)istinitost, (ne)dokazivost i slično. i tako će Bertrand Rasel, u svom pismu Gotlobu Fregeu iz 1902. godine, poljuljati njegovo, inače, dosledno izraženo uverenje da je moguće zasnovati aritmetiku na bazi logike. (Pravac u osnovama matematike poznat kao logicizam). On tu, naime, navodi takav jedan autoreferentan stav – tipa paradoksa lažljivca – (tzv. Raselov paradoks), a koji formuliše pošavši od iskaza: „Skup koji ne sadrži sebe kao elemenat”. Primer takvog skupa je, recimo „skup svih mačaka” jer, kao celina, ovaj skup nije mačka, te ne sadrži sebe kao elemenat.

Međutim, ako se upitamo da li je to
slučaj i s iskazom: „Skup svih skupova
koji ne sadrže sebe kao elemenat”, ono
do čega se prispeva je dva puta protivrečno.
Naime, nalazimo da takav „skup postoji,
ako ne postoji” i da „ne postoji, ako
postoji”, a što je nemoguće.

Kao što ima skupova s kojima je to slučaj, poput skupa svih apstraktnih pojmova, koji pripada sam sebi, jer je i sam jedan apstraktan pojam. Naime, prema tvorcu „naivne teorije skupova” (Georg Kantor, 1874), za svako iskazano svojstvo ili postoje, ili ne postoje elementi koji ga poseduju, pa je svaki takav iskaz bilo istinit, bilo lažan. Međutim, ako se upitamo da li je to slučaj i s iskazom: „Skup svih skupova koji ne sadrže sebe kao elemenat”, ono do čega se prispeva je dva puta protivrečno. Naime, nalazimo da takav „skup postoji, ako ne postoji” i da „ne postoji, ako postoji”, a što je nemoguće.

Potom su, u istoj nameri kao i Frege, a to je da zasnuju aritmetiku na bazi logike, Rasel i Vajthed izgradili i sami takav jedan obuhvatan formalno-logički sistem u svom trotomnom delu Principia Mathematica (1910, 1912, 1913) i gde su, u okviru tzv. teorije tipova, pokušali da zaobiđu pomenuti i slične paradokse. Upravo na taj način što su sve objekte u matematici (promenljive, skupove, skupove skupova i dr.) svrstali u „tipove”, kao suštinska ograničenja na promenljive – da ako, recimo, promenljiva (tip 1) pripada skupu (tip 2), ne može ovaj skup i pripasti sam sebi itd.

A onda je 1931, godine, relativno mlad matematičar
Kurt Gedel (1906-1978), do
kraja raspršio svaku nadu
da je bilo koji
formalan sistem (koji sadrži aritmetiku)
uopšte moguće konstruisati kao
neprotivrečnu
i potpunu aksiomatsku teoriju.

Inače, problem strogog zasnivanja matematike drugi je na spisku od 23 matematičkih problema Davida Hilberta (1900), označen kao „kompatibilnost aksioma aritmetike”, da bi i on sam izneo vlastitu zamisao rešenja problema u okviru tzv. formalizma u osnovama matematike (Hilbertov program). Reč je o zamisli da pošto budu, najpre, simbolički izraženi osnovni pojmovi i prvični stavovi u ovoj nauci – kao aksiome u njoj – valja još dokazati i da one dostaju da izraze svako istinito tvrđenje (potpunost aksioma), ali i da nije moguće izvesti dva protivrečna tvrđenja u okviru nje (neprotivrečnost teorije). Te da aksiome budu uz to i nezavisne jedna od drugih, jer bi se, inače, javljale teoremama i bile kao takve izlišne. Hilbert je, dakle, gledao na formalne sisteme (tek) kao na manipulacije sa simbolima lišenih smisla, poput bilo koje igre koja se odvija po unapred zadatim pravilima.

David Hilbert (Getingen)

Pomenimo i treći pristup u zasnivanju matematike – ali i fizike i drugih prirodnih nauka – a to je intuicionizam. Naime, Holanđanin Brauer, njegov učenik Hejting i drugi su nalazili da je „osnovanija” u osnovima matematike intuicija, a ne ono „logičko”, „formalno”, „skupovno” i ostalo, odbacujući tako klasičan logički zakon isključenja trećeg, to da iz dvostruke negacije sledi afirmacija, ili pak indirektne metode dokazivanja.

A onda je 1931, godine, relativno mlad matematičar Kurt Gedel (1906-1978), do kraja raspršio svaku nadu da je bilo koji formalan sistem (koji sadrži aritmetiku) uopšte moguće konstruisati kao neprotivrečnu i potpunu aksiomatsku teoriju. Reč je o radu naslovljenom sa „O formalno neodlučivim stavovima Principia Mathematica i srodnih sistema”, objavljenom u časopisu Monantshefte für Mathematik und Physik, za koji se nalazi da je jedan od najznačajnijih rezultata u nauci (ne samo) logike iz prošlog stoleća. A koji će doprineti da njegov autor bude svrstan među najveće logičare u istoriji, ranga Aristotela, Tarskog, Lukaševiča. I utoliko što je Gedel afirmisao nove (plodne) pojmove u mišljenju, kao što su: numeracija, dokazivost, odlučivost i drugo, odnosno nove naučne teorije, poput teorije modela, rekurzivnih funkcija, teorije algoritama i slično, sve do otkrića programskih jezika i veštačke inteligencije. O čemu je reč?

Imamo najpre to da aritmetici (ili teoriji brojeva) pripadaju iskazi, predikati (funkcije), kao i jednakosti i nejednakosti. Na primerima: A ili ne-A (iskaz), x pripada P (predikat), 1 + 1 = 2 (jednakost), 1 veće od 0 (nejednakost) i dr. To da je račun iskaza potpun, to jest da je svaka identički istinita formula (tautologija) dokaziva u njemu, pokazali su bili već Post (1931), Lukaševič (1925) i Hilbet-Akerman (1928). Da bi, kad je reč o predikatskom računu prvog reda, učinio to upravo tada 23-godišnji Gedel, u svojoj doktorskoj disertaciji, odbranjenoj na Univerzitetu u Beču 1929. godine. (Rezultat objavljen potom pod naslovom „Potpunost aksioma logičkog računa funkcija” u časopisu Monantshefte für Mathematic und Physik, 1930. godine).

Inače, kad je reč o ma kojoj formalnoj teoriji, bilo je važno uočiti najpre dva odvojena nivoa rasuđivanja: jedan formalan, ili predmetni nivo (čine ga simboli, kao objekti teorije) i drugi sadržinski, ili meta-nivo, kome pripadaju iskazi (govor) o predmetima objekat-teorije. Recimo: A, ne-A, 1 = 1 i slični bili bi objekti formalne teorije, a izrazi poput: „F je formula”, ili „A, B… C čine dokaz za formulu F”, pripali bi njenom meta-nivou.

Kako onda prevladati jaz između njih, pa moći uvideti da se, recimo, izvesna tvrđenja istinita u sadržinskom smislu javljaju i kao formalne teoreme u teoriji? Gedelova zasluga je u tome što je meta-nivo Peanove aritmetike podveo pod formalan sistem, a što mu je omogućilo – posle jednog složenog postupka dokazivanja – da iznađe sadržinski istinitu formulu koja je nedokaziva u formalnom sistemu. Naime, on će, najpre, svakom od simbola sistema dodeliti redom brojeve 1, 3, 5, 7 itd. (tzv. Gedelovi brojevi) – simbolu 0: 1, sledbeniku (+1): 3, negaciji: 5, disjunkciji: 7 itd. – prevodeći na taj način meta-jezička svojstva (sadržinske aritmetike) u svojstva ili relacije između brojeva. Navodeći tako 45 svojstava, poput: „biti formula”, „biti dokaziva formula” i slično, da bi, kao 46. svojstvo po redu, uveo formulu koja iznosi vlastitu nedokazivost. Reč je o formuli F(x) određenoj sa: „Tvrđenje čiji je Gedelov broj x je nedokazivo”. Sad ako je f Gedelov broj same te formule, imali bismo da je F(f) nađena formula koja izriče, upravo, vlastitu nedokazivost.

On potom pokazuje kako je ta formula inače istinita za svaki prirodan broj, iako se nalazi da se na formalan način ne može da izvede u sistemu. Dokazavši na taj način upravo teoremu: „Svaka neprotivrečna teorija (koja sadrži aritmetiku) je nepotpuna”. Učinio je to, dakle – posle više od dva milenijuma – sledeći isto rasuđivanje kome se priklonio bio i Eubulid iz Mileta, u nastojanju da pokaže da je nemoguće saznanje sveta do kraja, kao neprotivrečno i potpuno.

A parafrazirajući ovaj Gedelov rezultat mogli bismo reći da on pokazuje, barem: a) da nijedan formalan sistem ne može biti u isto vreme i potpun i neprotivrečan; b) da nijedan programski jezik ne može da izrazi sve istine o predmetnoj stvarnosti; c) da je stvarnost uvek bogatija od svakog (formalnog) izraza o njoj, te da ne postoji nužno jedna i samo jedna matematika i dr. A što u krajnjoj liniji vodi, recimo, do zaključka da nije moguće konstruisati mašinu koja bi u celosti zamenila ljudski mozak.

O autoru

Stanko Stojiljković

Ostavite komentar