Курт Гедел је доказао теорему: „Свака непротивречна теорија (која садржи аритметику) је непотпуна”. Учинио је то, дакле – после више од два миленијума – следећи исто расуђивање коме се приклонио био и Еубулид из Милета, у настојању да покаже да је немогуће сазнање света до краја, као непротивречно и потпуно. А што у крајњој линији води, рецимо, до закључка да није могуће конструисати машину која би у целости заменила људски мозак.
Проф. др Милан Д. Тасић
Трагом Лајбницових „општих обележја” (characteisticae universales) за појмове и могућег сувислог „рачуна” са њима (calculus ratiocinator) – када би било довољно само рећи Calculemus! („Да срачунамо!”), па избећи сваки неспоразум у науци – Готлоб Фреге (1848-1925) се у делу „Основи аритметике” (1884) латио да у оквиру науке логике такво једно „појмовно писмо” (Begriffsschrift) и оствари. Наиме, учинио је то пошавши од појмова попут: не, и, или, ако … тада и слично, не би ли у исто време показао и да је математика „уроњена” у логику, јављајући се тек делом ње. Иначе, трагове сличних замисли срећемо и код Декарта (он је геометрију свео на анализу), Паскала и других, а препознајемо их и већ код првог од филозофа, Талеса из Милета, који је казао: „Једно и све”.
Готлоб Фреге (Википедија)
Уопште, код предсократоваца претежна улога у сазнању припала је логосу, који је одиста – иако само на почетку! – доносио јединство мишљења и бића, предмета и његовог знака, да су словима свог алфабета, рецимо, означавали Грци уз речи, и бројеве и музичке тонове, а музика и астрономија биле готово истоветне. Или, пак, „песницима бића” (Хајдегер), њима се ваздух указивао као ружичаст и сув, нашли су били да му припада број 3 и да је геометријска творевина, а која обликује, уз то, и сангвиничан карактер у човеку итд. Но, с „категоријама”, „дефиницијама”, „доказима”… полако, али неумитно, оно што је било дотле једно и монолитно, прожеле су апорије, оповргли алегои, сапели парадокси: број више није досезао дијагоналу квадрата (с Питагором), Ахилу је корњача измакла заувек (са Зеноном из Елеје), а Kрићани довека остали да лажу (Епименида). (Титу посланица светог апостола Павла 1,12).
Еубулид (Википедија)
Најсежитије се он исказује речима: „Ја
лажем”, а до проблема долази ако се пита
да ли је као исказ та реченица истинита
или није? А јер се оба пута запада у
противречност: наиме, била би „истинита
ако је лажна” и „лажна ако је истинита”.
У последњем случају, реч је о логичком парадоксу познатом као „лажљивац”, а који се везује за име Еубулида из Милета (четврти век пре н. е), припадника Мегарске школе мишљења, од искључивог значаја по развој логике све до данас, о коме је у то доба Теофраст био написао три књиге, Хрисип (чак) шеснаест, да би извесни Филит из Kноса понео у свом епитафу речи: „Уби ме лажљивац”.
Најсежитије се он исказује речима: „Ја лажем”, а до проблема долази ако се пита да ли је као исказ та реченица истинита или није? А јер се оба пута запада у противречност: наиме, била би „истинита ако је лажна” и „лажна ако је истинита”. Тако се, довољно рано у историји мишљења, показало да сложена структура бића није истоветна с логичком структуром мишљења, а што је остало да ипак служи као чворишна тачка у човековом сталном настојању да се некако довине до апсолута у сазнању.
Бертранд Расел (Викимедија)
Реч је, дакле, о „самореферентним” ставовима, онима који износе властиту (не)истинитост, (не)доказивост и слично. и тако ће Бертранд Расел, у свом писму Готлобу Фрегеу из 1902. године, пољуљати његово, иначе, доследно изражено уверење да је могуће засновати аритметику на бази логике. (Правац у основама математике познат као логицизам). Он ту, наиме, наводи такав један аутореферентан став – типа парадокса лажљивца – (тзв. Раселов парадокс), а који формулише пошавши од исказа: „Скуп који не садржи себе као елеменат”. Пример таквог скупа је, рецимо „скуп свих мачака” јер, као целина, овај скуп није мачка, те не садржи себе као елеменат.
Међутим, ако се упитамо да ли је то
случај и с исказом: „Скуп свих скупова
који не садрже себе као елеменат”, оно
до чега се приспева је два пута противречно.
Наиме, налазимо да такав „скуп постоји,
ако не постоји” и да „не постоји, ако
постоји”, а што је немогуће.
Kао што има скупова с којима је то случај, попут скупа свих апстрактних појмова, који припада сам себи, јер је и сам један апстрактан појам. Наиме, према творцу „наивне теорије скупова” (Георг Kантор, 1874), за свако исказано својство или постоје, или не постоје елементи који га поседују, па је сваки такав исказ било истинит, било лажан. Међутим, ако се упитамо да ли је то случај и с исказом: „Скуп свих скупова који не садрже себе као елеменат”, оно до чега се приспева је два пута противречно. Наиме, налазимо да такав „скуп постоји, ако не постоји” и да „не постоји, ако постоји”, а што је немогуће.
Потом су, у истој намери као и Фреге, а то је да заснују аритметику на бази логике, Расел и Вајтхед изградили и сами такав један обухватан формално-логички систем у свом тротомном делу Principia Mathematica (1910, 1912, 1913) и где су, у оквиру тзв. теорије типова, покушали да заобиђу поменути и сличне парадоксе. Управо на тај начин што су све објекте у математици (променљиве, скупове, скупове скупова и др.) сврстали у „типове”, као суштинска ограничења на променљиве – да ако, рецимо, променљива (тип 1) припада скупу (тип 2), не може овај скуп и припасти сам себи итд.
А онда је 1931, године, релативно млад математичар
Kурт Гедел (1906-1978), до краја распршио сваку наду
да је било који формалан систем (који садржи аритметику)
уопште могуће конструисати као непротивречну
и потпуну аксиоматску теорију.
Иначе, проблем строгог заснивања математике други је на списку од 23 математичких проблема Давида Хилберта (1900), означен као „компатибилност аксиома аритметике”, да би и он сам изнео властиту замисао решења проблема у оквиру тзв. формализма у основама математике (Хилбертов програм). Реч је о замисли да пошто буду, најпре, симболички изражени основни појмови и првични ставови у овој науци – као аксиоме у њој – ваља још доказати и да оне достају да изразе свако истинито тврђење (потпуност аксиома), али и да није могуће извести два противречна тврђења у оквиру ње (непротивречност теорије). Те да аксиоме буду уз то и независне једна од других, јер би се, иначе, јављале теоремама и биле као такве излишне. Хилберт је, дакле, гледао на формалне системе (тек) као на манипулације са симболима лишених смисла, попут било које игре која се одвија по унапред задатим правилима.
Давид Хилберт (Гетинген)
Поменимо и трећи приступ у заснивању математике – али и физике и других природних наука – а то је интуиционизам. Наиме, Холанђанин Брауер, његов ученик Хејтинг и други су налазили да је „основанија” у основима математике интуиција, а не оно „логичко”, „формално”, „скуповно” и остало, одбацујући тако класичан логички закон искључења трећег, то да из двоструке негације следи афирмација, или пак индиректне методе доказивања.
А онда је 1931, године, релативно млад математичар Kурт Гедел (1906-1978), до краја распршио сваку наду да је било који формалан систем (који садржи аритметику) уопште могуће конструисати као непротивречну и потпуну аксиоматску теорију. Реч је о раду насловљеном са „О формално неодлучивим ставовима Principia Mathematica и сродних система”, објављеном у часопису Monantshefte für Mathematik und Physik, за који се налази да је један од најзначајнијих резултата у науци (не само) логике из прошлог столећа. А који ће допринети да његов аутор буде сврстан међу највеће логичаре у историји, ранга Аристотела, Тарског, Лукашевича. И утолико што је Гедел афирмисао нове (плодне) појмове у мишљењу, као што су: нумерација, доказивост, одлучивост и друго, односно нове научне теорије, попут теорије модела, рекурзивних функција, теорије алгоритама и слично, све до открића програмских језика и вештачке интелигенције. О чему је реч?
Имамо најпре то да аритметици (или теорији бројева) припадају искази, предикати (функције), као и једнакости и неједнакости. На примерима: А или не-А (исказ), x припада P (предикат), 1 + 1 = 2 (једнакост), 1 веће од 0 (неједнакост) и др. То да је рачун исказа потпун, то јест да је свака идентички истинита формула (таутологија) доказива у њему, показали су били већ Пост (1931), Лукашевич (1925) и Хилбет-Акерман (1928). Да би, кад је реч о предикатском рачуну првог реда, учинио то управо тада 23-годишњи Гедел, у својој докторској дисертацији, одбрањеној на Универзитету у Бечу 1929. године. (Резултат објављен потом под насловом „Потпуност аксиома логичког рачуна функција” у часопису Monantshefte für Mathematic und Physik, 1930. године).
Иначе, кад је реч о ма којој формалној теорији, било је важно уочити најпре два одвојена нивоа расуђивања: један формалан, или предметни ниво (чине га симболи, као објекти теорије) и други садржински, или мета-ниво, коме припадају искази (говор) о предметима објекат-теорије. Рецимо: А, не-А, 1 = 1 и слични били би објекти формалне теорије, а изрази попут: „F је формула”, или „А, B… C чине доказ за формулу F”, припали би њеном мета-нивоу.
Kако онда превладати јаз између њих, па моћи увидети да се, рецимо, извесна тврђења истинита у садржинском смислу јављају и као формалне теореме у теорији? Геделова заслуга је у томе што је мета-ниво Пеанове аритметике подвео под формалан систем, а што му је омогућило – после једног сложеног поступка доказивања – да изнађе садржински истиниту формулу која је недоказива у формалном систему. Наиме, он ће, најпре, сваком од симбола система доделити редом бројеве 1, 3, 5, 7 итд. (тзв. Геделови бројеви) – симболу 0: 1, следбенику (+1): 3, негацији: 5, дисјункцији: 7 итд. – преводећи на тај начин мета-језичка својства (садржинске аритметике) у својства или релације између бројева. Наводећи тако 45 својстава, попут: „бити формула”, „бити доказива формула” и слично, да би, као 46. својство по реду, увео формулу која износи властиту недоказивост. Реч је о формули F(x) одређеној са: „Тврђење чији је Геделов број x је недоказиво”. Сад ако је f Геделов број саме те формуле, имали бисмо да је F(f) нађена формула која изриче, управо, властиту недоказивост.
Он потом показује како је та формула иначе истинита за сваки природан број, иако се налази да се на формалан начин не може да изведе у систему. Доказавши на тај начин управо теорему: „Свака непротивречна теорија (која садржи аритметику) је непотпуна”. Учинио је то, дакле – после више од два миленијума – следећи исто расуђивање коме се приклонио био и Еубулид из Милета, у настојању да покаже да је немогуће сазнање света до краја, као непротивречно и потпуно.
А парафразирајући овај Геделов резултат могли бисмо рећи да он показује, барем: а) да ниједан формалан систем не може бити у исто време и потпун и непротивречан; b) да ниједан програмски језик не може да изрази све истине о предметној стварности; c) да је стварност увек богатија од сваког (формалног) израза о њој, те да не постоји нужно једна и само једна математика и др. А што у крајњој линији води, рецимо, до закључка да није могуће конструисати машину која би у целости заменила људски мозак.
