БЕСКОНАЧНА БЕСКОНАЧНОСТ

„Реч бескрајно ми изговарамо лако, али кад пређе у мисао, она је разноси и убија” (Хорхе Луис Борхес) или „Вечити мук тих простора без краја ужасава ме” (Блез Паскал). Георг Кантор открива да реална права има онолико тачака колико и било који сегмент на њој, или одсечак исто толико тачака као и квадрат, коцка… конструисани над њим. Изненађен и сам, рећи ће, у писму Јулијусу Дедекинду: „Видим, али не верујем”.

Проф. др Милан Д. Тасић

Вековима се бесконачност опирала да буде одређена, па онда и проучена, да ми срећемо на овом месту радије изразе попут Борхесових речи: „Реч бескрајно ми изговарамо лако, али кад пређе у мисао, она је разноси и убија” или, пак, Паскалове мисли: „Вечити мук тих простора без краја ужасава ме”. У антици се, чак, говорило да и природа сама има „страх од празног простора” (horror vacui), што је важило као начело у физици (течност која се пење у цеви из страха од празнине и др.), док су на другој страни теолози, филозофи спекулисали о бескрајности, рецимо, као о „атрибуту бога”, а о простору и времену као о бићима апсолутним, или „ономе што је у себи самом” (Декарт) и слично.

Георг Кантор (1845-1918.) ће учинити – сам и први пут – да се о бесконачности не само проговара, као два и по миленијума дотле, већ и in extenso истражује она у оквиру „аритметике трансфинитних бројева”. Ти се бројеви сад јављају самом одредбом бескрајности, учинивши могућим и говор о њој – јер се и, иначе, не може стећи знање о нечему (проучити) што није одређено. Све и да се она показала мањкавом, била је то одредба, управо, „актуелне бесконачности” као довршене, оне коју је одбацио био Аристотел у корист „потенцијалне бесконачности” или бесконачности у настајању, а чијим упориштем служи став: „Величине су (само) потенцијално дељиве, а не и стварно подељене”.

Штавише, како се бескрајно може
уопште и да пренесе (одреди) с коначно
много речи? Овом последњем ће се
приближити касније Канторов ученик
Енрнстс Цермело, показавши да се
сваки (па и бескрајан) скуп може „добро
да уреди”– па онда и дефинише – али је то
став који се засад и прихвата и одбацује…

Бескрајне величине, дакле, за Кантора, актуелно постоје као целовити (распрострти) ентитети пред нама и не приспева се до њих само сукцесивно, на начин дељења или додавања. Појам потенцијалног је, додуше, одао привид решења Зенонових апорија (Ахил и корњача, стрела …) – Аристотел је проблеме бескрајног, (не)прекидног, кретања први пут и формулисао – али је остало оно полазно: не успевамо ми и даље да докучимо у уму, рецимо, како један децималан низ (број) може стално да расте, а да сам он не постане бескрајно велик или да се величина стално смањује, а да се не изједначи с нулом.

Ернст Цермело (Википедија)

Штавише, како се бескрајно може уопште и да пренесе (одреди) с коначно много речи? Овом последњем ће се приближити касније Канторов ученик ЕрнстсЦермело, показавши да се сваки (па и бескрајан) скуп може „добро да уреди”– па онда и дефинише – али је то став који се засад и прихвата и одбацује …

Ужасавајуће понављање

Другачије од паскаловске тишине и једноликог понављања које ужасава, сад канторовска бескрајност одаје рељефну слику највише сложености, где налазимо да има бескрајности различитих нивоа, па чак и то да их је произвољно (бескрајно) много. То су резултати „теорије скупова”, коју је саздао Кантор, пошавши од проблема тога доба у анализи да се свака функција може да представи тригонометријским редом (Фурије). Ти су редови, иначе, периодичке функције, па су утолико и погоднији за поступање… Он показује да је то одиста случај ако је функција непрекидна на интервалу, кад је и решење једнозначно, али му је остало да покаже шта бива у случају кад ова има (бес)коначно много тачака прекида. То га приводи до појма (не)прекидне величине. А чини то тако што, најпре, тачке на реалној прави поистовећује с бројевима, да тим путем зађе у област бројева.

Против сваке одредбе бесконачности су
одувек били теолози – јер то својство
до највише мере припада, управо, богу
(Аквински), па би свако одређивање било
ограничавање његових бескрајних атрибута.

На тај начин тачке, линије, облици… као видљиви (геометријски) ентитети, бивају изражени бројевима – апстрактним (аритметичким) величинама. Што је омогућило одредбу актуелне бесконачности, уопште. Сад је сваки реалан број (рационалан, као и ирационалан) граница низа рационалних бројева (Кошијевог низа), али су то овога пута стварне (актуелне) и опипљиве величине, а не оне у настајању (потенцијалне) и фиктивне. Кантору је тако пошло за руком да актуелну бесконачност одреди као довршен тоталитет објеката, сваком од којих припада стварно (реално) постојање.

Иначе, против сваке одредбе актуелне бесконачности су одувек били теолози – јер то својство до највише мере припада, управо, богу (Аквински), па би свако одређивање било ограничавање његових бескрајних атрибута – али и сами математичари, који су више од многих задужили били ову науку. За Гауса, рецимо, бесконачна величина је само „начин говора” кад је реч о граничној вредности, док би Кронекер радије изагнао из математике и ирационалне бројеве, јер се не могу да конструишу они као рационални бројеви. Математичари су одиста предуго истрајавали на конструктивизму, чију, можда, екстремну парафразу доноси версет из „Новог завета”: „Господе, покажи нам Оца и биће нам доста” (Јов. 14, 8). Да, наиме, само оно што је очевидно има права на стварно постојање.

Канторова одредба скупа као „целине одређених и различитих објеката нашег опажања и мишљења”, прикрива, иначе, намеру да важи за сву предметну стварност уопште – не само за бројеве – а кад је хтео да скупове упореди по „броју елемената”, он налази, најпре, да има онолико природних бројева колико и разломака (колико и целих, парних, непарних бројева…) – што иначе одаје саму логичку потешкоћу у разумевању: дела једнако бројног као што је и целина сама. Да има, рецимо, онолико парних бројева 2, 4, 6… колико и природних 1, 2, 3…, иако је први скуп део другог.

Елементе таквих скупова је могуће поређати у низу (пописати их), па су ти скупови пребројиви, утолико што убрзо увиђа он да то није случај с реалним бројевима као непребројивим. Постоје, дакле, (барем) два различита степена (нивоа) бесконачности, док оно што му полази за руком да докаже из односа између њих јесте: скуп реалних бројева еквивалентан је с партитивним скупом (скупом свих делова) скупа природних бројева. А потом, као у земљи чуда, Кантор открива да реална права има онолико тачака колико и било који сегмент на њој, или одсечак исто толико тачака као и квадрат, коцка… конструисани над њим. Изненађен и сам, рећи ће, у писму Дедекинду: „Видим, али не верујем”.

Математичка слобода

Најзад, како он залази с ону страну коначног и конструише трансфинитне бројеве?

Тако што поставља, најпре, да овима припада нужно постојање, буде ли одређено (тек) по чему ће се разликовати један од другог. Две класе таквих бројева он назива: ординални и кардинални бројеви, при чему први указују на место елемента скупа у низу (редни бројеви), а други на њихову бројност (главни бројеви). Наиме, ако низ 1, 2, 3… довршимо симболом ω, као граничном вредношћу, онда би ω + 1, ω + 2… био нови низ бројева. Као пребројив, имао би он границу ω + ω = 2ω, што доводи поново до низа 2ω + 1, 2ω + 2… итд. Сви су ти скупови и даље пребројиви.

Но, ако је због напада којима је био
стално изложен, допао Кантор и душевне
болнице – и онда кад су логички парадокси
потресли теорију – већ Давид Хилберт
ће се почетком прошлог века изразити о
њој речима: „Нико нас не може да изагна
из раја који је за нас створио Кантор”.

Слично се добија и класа кардиналних бројева, почев од броја алеф нула, који показује колико има природних бројева итд. Но, у погледу односа међу њима формулисана је тзв. „хипотеза континуума” (Кантор, 1878.), која гласи: „Не постоји скуп чији је кардиналан број (строго) између скупа природних и скупа реалних бројева”. Засад је Пол Коен показао (1963.) да, као став-исказ, не зависи она од стандардних аксиома теорије скупова, што чини, управо, могућом ову теорију и с хипотезом и без ње.

Давид Хилберт (Википедија)

„Суштина математике је у њеној слободи”, бранио се Кантор од свог учитеља Кронекера и његова теорија скупова и даље није одбачена зато што, рецимо, 1 + ω није исто што и ω + 1 (комутативан закон) код ординалних бројева. Нити што „нова бесконачност” коју је донела она није „суштина потпуно дефинисана и с коначно много речи” – Поенкаре, што је овог гласовитог научника навело да изјави: „Будуће генерације ће гледати на Mengenlehre (теорију скупова) као на болест…”. Но, ако је због напада којима је био стално изложен, допао Кантор и душевне болнице – и онда кад су логички парадокси потресли теорију – већ Давид Хилберт ће се почетком прошлог века изразити о њој речима: „Нико нас не може да изагна из раја који је за нас створио Кантор”.

Теорија скупова се продужила потом до теорије категорија у математици, која је обухватила собом многе математичке области да, нарочито с тзв. „теоријом топоса”, нађе пут примене у разним (и нематематичким) подручјима стварности у нашем добу.