Лојцен Брауер је 1917. спровео филозофску анализу свег расуђивања у математици, у прилог оног закључивања које би допуштало „интуитивну конструкцију” математичких објеката, а што је означено као „интуиционизам”. Он Б одбацује закон исклучења трећег, закон негације негације као афирмације, односно индиректно закључивање у математици и друго, у корист расуђивања које има стално у виду саму конструкцију објекта о коме је реч.
Милан Д. Тасић.
Речима „интуиција”, „контемплација”, „созерцање”, ми не налазимо аналогоне у нашем језику, све и да их филозофи, математичари, уметници… довољно тачно одређују у подручјима знања у којима их користе. У првој од њих се препознаје латински глагол tueor, tueri, tuitus sum, у значењу „гледати”, „мотрити”, односно, исти тај глагол с префиксом in у речи intueor, а коју преводимо онда са „загледати се”, „упрти поглед у” и слично. А што се понавља и у словенској речи „созерцање”, о којој можемо рећи, ако на неки начин и припада српском језику, да се ипак сматра застарелом, па утолико и не користи.
Наиме, реч „зрење” значи „вид”, „виђење” и њен се корен препознаје у речима „позор”, „прозрети” и слично, као што и у руском језику реч „зрение” означава то исто, где префикс „с” упућује само на виши степен опажања предмета у који је упрт наш поглед. Тако је и у грчком језику. Тамо је то реч theoria (= теорија), чији се префикс the садржи у речима thea (= поглед), theoreo (= гледати), theatron (= театар), па чак и у речи Theos (= Бог).
Можемо се запитати зашто се користе баш речи с кореном „вид” у нашем односу према свету, онда када желимо да га сазнамо, а поготово када је реч о веродостојности знања које стичемо? Да је могуће и врховно божанство старих Словена понело је стога имена „Вид”, „Световид” и слично. Нема сумње да је оно што нам доставља ово чуло, чуло вида, јасније од свега што чине друга чула, да кад видимо, рецимо, бео цвет, можемо поуздано рећи „Овај цвет је бео”, немајући потребу да то доказујемо. Kао што не доказујемо ни било коју истину типа „А = А”, „Ја постојим”, „Постоји свет” и слично, а за које стога кажемо да су интуитивно јасне.
Но, теолози, филозофи, уметници и други, слично чулу вида, домислили су у човеку и „духовно чуло”, „разумско чуло”, „песничко чуло” и сличнп, поново као вид непосредног досезања истине о неком предмету. У тој улози био је и Сократов „демон” када му је, као знак савести, казивао шта треба да чини или, пак, Бергсонова „интелектуална симпатија”, путем које човек, лишен логичких аргумената, има моћ да зађе у саму суштину ствари, односно „песничка интуиција” немачких романтичара Шлегела и Новалиса, а која овима помаже да изразе неизрециво. У исто време, уздигнуће душе ка Богу и њено мистично јединство с њим, познају готово све религије: будизам, јудаизам (Kабала), православље (исихазам), католицизам (квијетизам), ислам (суфизам) и тако даље.
У филозофији, пак, имамо то да је, још од Аристотела истинитост неког става нужна последица важења три логичка закона: закона идентитета, закона непротивречности и закона искључења трећег, а то су и три „класична закона”, којима ће (тек) Лајбниц додати и четврти, закон довољног разлога. Рецимо, закон искључења трећег налаже да свака ствар или постоји или не постоји, и само једно од тога или, пак, да је сваки став било истинит, било лажан, а не и једно и друго и слично.
И други (важан) појам у математици, појам „актуелне бесконачности”, интуиционисти такође одбацују, у корист појма „потенцијалне бесконачности” или „бесконачности у настајању”, а до које се приспева узастопним генерисањем, један за другим, објеката неког скупа, почев од датих и датих операција на почетку.
Но, како је током историје научно мишљење бивало све апстрактније, то су и сами логички закони морали бити утолико исправљани. На пример, Николај Лобачевски (1792-1856) је показао био да је могуће конструисати геометрије у којима пети Еуклидов постулат не важи, како ону где се кроз тачку ван дате праве не може повући ниједна права паралелна са њом (елиптичка геометрија), тако и ону где је таквих правих бесконачно много (хиперболичка геометрија). Постоји, дакле, геометрија у којој један постулат (тврђење) важи (равна, Еуклидова), као и геометрије, њене негације, с којима то није случај. Чиме бива управо нарушено важење закона искључења трећег.
Лобачевски (Википедија)
Слично се може рећи и с обзиром на Геделове резултате о потпуности формалних система који садрже у себи аритметику, јер је овај америчко-аустријски логичар показао 1931. године да у сваком таквом систему постоји формула А која је заједно са својом негацијом ~ А недоказива у њему. Није, дакле, случај тај да је, у складу са овим законом, било формула, било њена негација, нужно доказива у њему. Осим тога, показује се, иако су А и ~ А недоказиве формуле у рачуну исказа, да је дисјункција тих формула ипак доказива, супротно одредби ове логичке операције. А што се све преноси и на рачун предиката, кад је реч о егзистенцијалном квантификатору.
Различите примедбе могу бити упућене исто тако и онда када је реч о закључивању почев од супротног (reductio ad absurdum), наиме, да „ако из А следи Б, тада из ~ Б следи ~ А” и тако даље, а поготово када је реч о стварном (реалном) постојању математичких објеката, на чије се постојање само указује. Јер каква би реалност могла да припадне, рецимо, простору с бесконачно много димензија или скупу свих бесконачних скупова и слично.
То је навело Лојцена Брауера (1891-1966) да 1917. године спроведе филозофску анализу свег расуђивања у математици, у прилог оног закључивања у њој које би допуштало „интуитивну конструкцију” математичких објеката, а што је означено као „интуиционизам”. Брауер одбацује закон исклучења трећег, закон негације негације као афирмације, односно индиректно закључивање у математици и друго, у корист расуђивања које има стално у виду саму конструкцију објекта о коме је реч.
Имамо, рецимо, да ће формула која изражава став „За свака два реална броја а и b, или је а = b, или а ≠ b”, бити истинита у класичној логици, али не и у интуиционистичкој, управо због конструктивног карактера појма доказивости. Наиме, ако су а и b непериодични децимални разломци, сваки поступак упоређивања њихових децимала позивао би на бесконачно много корака и не би могао да се заврши.
Брауер (Википедија)
И један други (важан) појам у математици, појам „актуелне бесконачности”, интуиционисти такође одбацују, у корист појма „потенцијалне бесконачности” или „бесконачности у настајању”, а до које се приспева узастопним генерисањем, један за другим, објеката неког скупа, почев од датих и датих операција на почетку. Такав је, на пример, скуп природних бројева, који се добија сукцесивном применом операције + 1 на број 0, у основи.
Имамо тако, кад је реч о класичној и интуиционистичкој логици, да све формуле које важе у другој, важе и у првој, али не и обратно. На пример, у класичној логици се из формуле А може да пређе у њену двоструку негацију ~ ~ А и обратно, то јест формула А → ~ ~ А је истинита, као што је истинита и формула ~ ~А → А, али у интуиционистичкој логици није то случај са другом од њих. Потом, оба Деморганова закона ~ (А ∨ B) ↔ ~ А ∧ ~ B и ~ (А ∧ B) ↔ ~ А ∨ ~ B важе „класично”, а „интуиционистички”, пак, само први од њих и тако даље, да би се те околности затим пренеле и на Деморганове ставове у предикатском рачуну. Или, пак, сада импликација А → B није еквивалентна са ~ А ∨ B, као у класичном рачуну и тако редом.
Тако је тежња за „конструктивним” карактером појма доказивости у интуиционистичкој логици побудила интерес за одредбом појма израчунљивих функција у математици – као и појмова „програма”, „алгоритма”, „машина” и слично – да би се тридесетих година прошлог века појавиле и његове прве, иначе еквивалентне дефиниције. Биле су то: λ–рачун Алонза Черча (1932), Тјурингове машине (1935), рекурзивне функције Стивена Kлинија (1940), а потом и Марковљеви алгоритми (1954) и друге. Kлини је, рецимо, проблем доказивости неке формуле у логичком рачуну свео на скуп рекурзивних функција који јој одговара и тај поступак назвао „остварљивост” (realizability), показавши, уз то, да је свакој формули доказивој у интуиционистичкој логици могуће придружити такав програм, путем којег би била она „остварљива”, то јест њене вредности могле бити нађене за сваку вредност аргумента. Једна даља последица овог става је да је у овој логици могуће дефинисати једино израчунљиве функције и тако даље.
Тјуринг (SPL)
Потом, када је реч о функцијама чије вредности ми налазимо интуитивно, Тјуринг се латио (1936/7) да детаљно анализира рад људског мозга у тој прилици, показавши да је за сваку такву функцију могуће конструисати неку Тјурингову машину, онако како ју је он био одредио. То изражава „Тјурингова теза”, а која је, пак – на језику рекурзивних функција – еквивалентна „Черчовој тези”, према којој је свака израчунљива функција општерекурзивна.
Реч је о томе да наше рачунање вредности функције за извесну вредност аргумента, у садржинској (интуитивној) области, бива овога пута „драматично” упрошћено, утолико што ће таква „машина” (ипак, само апстракција) „умети” тек да запише или избрише неки симбол у неком пољу, помери се улево, удесно или остане на истом месту и затим пређе у друго стање, да би се овакав „рад” машине продужио до извесног коначног стања. Своју анализу Тјуринг почиње речима: „Понашање човека који рачуна је у сваком тренутку одређено симболима које опажа, као и његовим ,стањем ума᾽ у том тренутку, при чему је број симбола које може он да препозна коначан. Ако бисмо и дозволили бесконачно много симбола, било би оних који се разликују бескрајно мало…” и тако даље.
Тако се од (интуитивне) јасноће закључивања у математичкој логици и филозофске расправе која ју је пратила, дошло до „програма”, „машина”, „рекурзивних функција” и другог – на самом почетку информатичке ере, која ће, од друге половине прошлог века, доживети неслућен развој у свим подручјима људске делатности и до те мере изменити наш живот.
Интуитивно расуђивање се у садржинској области може да изрази помоћу рачунских програма. Поменимо и интерактивно средство „Kок”, развијено у Националном институту за истраживања у информатици и аутоматици (INRIA) у Паризу, путем којег је нађено коначно решење, иначе, сложеног „проблема четири боје” у математици
Kасније су, шездесетих година прошлога века, двојица математичара Kери и Хауард указали на необично плодан карактер овог односа изоморфизма између доказа у интуиционистичкој логици и рачунских програма. Они су одредили појам „типа”, као скуп података, функција и друго, којима је могуће манипулисати на униформан начин, показавши како се сваком кораку расуђивања у интуиционистичкој логици, може да придружи неки акт изградње програма у оквиру одговарајућег типа података.
Интуитивно расуђивање се, дакле, у садржинској области може да изрази помоћу рачунских програма. У том смислу је и француски математичар Жан Ив-Жирар конструисао програмски језик, назван „F”, на бази λ–рачуна (1970), да би потом и Швеђанин Пер Мартин-Лоф саздао такав језик за конструктивне теорије, означен као „теорија типова”. Поменимо и интерактивно средство „Kок”, развијено у Националном институту за истраживања у информатици и аутоматици (INRIA) у Паризу, путем којег је нађено коначно решење, иначе, сложеног „проблема четири боје” у математици, а који се формулише речима: „На географској карти, једном од четири боје, обојити сваку земљу различито”.
И не само то. Поменути однос изоморфизма између доказа теорема у интуиционистичкој логици и рачунских програма у информатици нашао се у основи више нових теорија, попут теорије доказа, теорије категорија, линеарне логике и других, доприневши у знатној мери управо разумевању моћи математике да зађе у садржинске области стварности и ваљано их изрази.
