Применом статистичког прилаза и одговарајућих теорема могу се добити резултати које не можемо сматрати апсолутно тачним, али се могу прихватити као највероватнији. У не малом броју ситуација и такав резултат може бити од велике користи. У овом кратком прилогу описујемо једну ратну ситуацију из Другог светског рата, бомбардовање Лондона 1944. године летећим бомбама фау-1 (V-1), где је примена статистике довела до закључка који живот значи.
Проф. др Миодраг Петковић
Иако је Други светски рат завршен 1945, локални ратови воде се, нажалост, готово непрестано широм света, сведоци смо још једног на територији Украјине. Локални ратови се воде због остваривања разноразних циљева који нису у корелацији с великим напретком технологије (ако се изузму напредна оружја за уништавање) а ни, генерално посматрано, са напретком цивилизације. Kао пример посматраћемо бомбардовање Лондона које је немачка армија спроводила током Другог светског рата крстарећим пројектилима-бомбама V-1 (на немачком Vergeltungswaffen – осветничко оружје, кодно име Kirschkern (коштица трешње).
Овај пројектил је у свету познатији под именом фау-1 (V-1), име које је у листу Das Reich предлозио (а Хитлер усвојио) новинар Ханс Шварц Ван Беркл у јуну 1944, управо на почетку лансирања ове ракете на Лондон. Пројектил В-1 је као погон користио пулсирајући млазни мотор, носио је око 850 килограма експлозива и летео брзином око 550 километара на сат на висини од 1.000-1.200 метара пре вертикалног обрушавања на циљ.
Летећи пројектил V-1 (Defencyclopedia)
Немачка армија започела је бомбардовање Лондона летећим бомбама V-1 из базе Пенеминде, малог острва у Балтичком мору 13. јуна 1944, само недељу дана после искрцавања савезничке војске на тло Нормандије. Британска врховна команда покренула је све да сазна нешто више о овим бомбама, нарочито о њиховој прецизности погађања. За четири месеца, колико је трајала ова V-1 акција, у Лондону је погинуло око 6.000 цивила уз велика разарања, мада су војни објекти углавном остали неоштећени. Обавештајна служба је била немоћна и у помоћ су, поред осталих експерата, позвани математичари. Стручњаци за статистику прионули су на посао. Подручје града Лондона (144 квадратна километра) подељено је на 576 сектора. Од укупно 537 бомби, 7 бомби пало је у један сектор, по 4 бомбе у 7 сектора, по 3 у 35, по 2 у 93, једна бомба у 211 сектора и, коначно, ниједна бомба у преосталих 229 сектора. Ови подаци унети су на графикон (сл. 1).
Сл. 1 Број бомби по секторима у Лондону
Упрошћена скица бомбардовања Лондона – * војни циљеви
• број бомви у секторима
Kрива на графикону (сл. 1) позната је као крива Поасонове расподеле вероватноћа (по француском математичару и физичару Симеону Поасону (1781-1840), која карактерише појаву тзв. ретких догађаја. На пример, таква врста расподеле јавља се у фудбалу, али не и у кошарци. Да су Немци могли прецизно да гађају овим бомбама жељене циљеве, оне би биле расејане по закону тзв. нормалне расподеле вероватноћа (сл. 2), која се увек добија код прецизног гађања у циљ, при чему је на слици 2 са m означен жељени циљ – са слике се види да су погоци концентрисани око циља m.
Сл. 2 Функција расподеле вероватноћа –
нормална расподела
Закључак је био да Немци нису могли да гађају бомбама V-1 унапред одређене циљеве, већ им је намера била само разарање и уношење панике. И сами свесни овог неуспеха, уз губитак од око 80 % лансираних пројектила због дејства британске авијације и артиљерије, немачко ваздухопловство је обуставило бомбардовање Лондона 5. септембра 1944. и за свој наредни циљ одабрало град Антверпен у Белгији, веома важну луку за снабдевање нафтом и оружјем. Производња V-1 бомби убрзо је обустављена да би била замењена усавршеним ракетама V-2 (фау-2), првим балистичким пројектилима с навођењем. Ипак, крај рата био је близу тако да немачке фабрике нису успеле да произведу довољан број ових моћних ракета. После Другог светског рата ракете V-2 представљале су основу за развој свемирских програма, како у СССР тако и у САД.
Поменимо и то да је при крају рата америчка војска ухапсила једног од конструктора V-2 ракете Вернера фон Брауна и око 100 инжењера из овог програма, пребацила их у САД и без подизања било какве оптужбе укључила их у даљи развој ракета. Штавише, Вернер фон Браун био je постављен за шефа овог програма у оквиру новоосноване федералне агенције NASA (National Aeronautics and Space Administration).
Завршићемо прилог трик задатком из вероватноће који се може повезати са бомбардовањем/гранатирањем. Посматрајмо експеримент бацања новчића на чијим странама су традиционално „глава” и „писмо”. Претпоставимо да се при бацању новчића „глава” понови неколико пута у низу. Многи људи верују да је вероватноћа појављивања „писма” већа у следећем бацању. Ово мишљење је делио, чак, чувени француски математичар и физичар Жан ле Рон Даламбер (1717-1783), али је његов савременик Леонард Ојлер то окарактерисао као апсурд. Заиста, како је уопште могуће да претходни (међусобно независни) исходи могу имати утицај на бацања која још нису извршена? У ствари, независно од претходно изведених опита, појава „писма” или „главе” једнако вероватна у сваком наредном бацању. Једноставно, ако је новчић исправан, тада ће вероватноћа у сваком следећем бацању увек бити 1/2, независно од претходних догађаја. Новчић нема меморију да запамти шта се десило раније!
Први светски рат – војници у
кратеру (agefotostock)
Један од највећих популаризатора математике свих времена Мартин Гарднер, који је разматрао еквивалентни експеримент са коцком у једној од својих многобројних књига, написао је: ,,Све врсте глупих система за играње рулета и других игара на срећу засноване су на (погрешном) уверењу да што се неки догађај више пута десио, то је мање вероватно да се поново догоди. Војници у Првом светском рату су мислили да ће бити безбеднији ако се сакрију у тек насталу рупу од гранате, него ако се сакрију у неку од старијих рупа јер су мислили да је мање вероватно да ће граната екплодирати два пута у кратко време на истом месту!… Ово веровање је неосновано.”
Наведимо (према Гинису) и један трагикомичан доживљај пастира који се приликом невремена увек склањао испод истог дрвета. Најчешће су га громови сзаобилазили, али и СЕДАМ пута погодили; на срећу не с фаталним исходом, али са бројним лакшим повредама. ,,Е неће опет у исто место” није баш успешна стратегија у неким ситуацијама.
Veoma cenim priloge prof. Miodraga Petrovića.Međutim, ovde su tri greške. 1. zamenjene su koordinatne ose u grafikonu 1, 2. na ordinatu su nanesene nesamerljive veličine, jer jedni sektori se ne mogu sabirati sa drugim, 3. ako je 7 bombi palo u jedan sektor, i po 4 u drugih 7 sektora onda su oni bili meta. Nevažno je gde su pale ostale bombe, jer i one su mogle imati metu. Zaključak statističara je pogrešan.
Primedba čitaoca N. Pilipovića o zameni mesta natpisima na koordinatnim osama je dobrodošla i grafik je ispravljen. Ostale primedbe u komentarima ne stoje, jer proizvoljno rasejavanje bombi ne predstavlja pogotke u metu – mete su jedino vojni ciljevi, i to stoji u tekstu. Radi razjašnjenja dodata je i slika ispod grafika Poasonove raspodele. Kriva pogodaka po sektorima je nacrtana uz vrlo malo podataka (sa prekidima za tačke 5 i 6 na apcisi) ali je, iako aproksimativna, njen oblik bio dovoljan statističarima da prepoznaju Poasonovu raspodelu koja definiše retke pojave – u ovom slučaju pogotke u vojne ciljeve.
N.Pilipović, 28/4
Još Zenon se poigravao sa matematikom, uvek stavljajući kornjaču ispred Ahila lako je „dokazao“da nikad neće biti suprotno, što nadahnjuje i današnje filozofe. Fišer je otišao dalje, kroz mnogo apsurdnih hipoteza sveo je živo biće na mehanizam i isključio okruženje te lakom matematikom „dokazao“ ono što je već bilo poznato. Ali sa matematičkom podrškom filozofi su to proglasili za apsolutnu istinu. Ako su 7 V-1 pali u sektor 500×500 m. a po 4 u drugih 7 i po 3 u trećih 35 onda su to bili pogotci u ciljeve. Završena priča. A genijalni statističari uvode hipotezu da iz rasejanja ostalih projektila po celoj teritoriji Londona, mogu dokazati da je navedena koncentracija pogodaka slučajna. To je upravo primer navedenog Ojlerovog apsurda: ovo ovde se objašnjava onim tamo, iako između njih ne postoji nikakv odnos. To je suština, ostalo je oblanda.Ovo je prozirna propaganda veličanja engleskih matematičara u ratu, što neizbežno insinuira i inače.
Poštovani Nikola, teško da se može zanemariti veliki uspeh engleskih matematičara u Drugom svetskom ratu. Dovoljno je pomenuti Alena Tjuringa (vođe tima koji je dešifrovao ENIGMU) i Wilijama Tuta (Tutte) koji je sa svojim timom načinio još veći podvig dešifrujući LORENZ mašinu za kodiranje poruka između nemačke komande i generala na terenu iako tim nije imao nijedan primerak ove mašine (za razliku od Enigme). Tutov tim je u tu svrhu konstruisao prvi programabilni elektronski računar na svetu Colossus.
Uvaženi profesore, uzeo sam slobodu da se upustim u ovu diskusiju zato što ni problem pogodaka V-1, ni navedeni primeri ne pripadaju matematici. Problem kratera je fizički, jer kao što je to još Heraklit znao dve stvari nisu iste: ni dve granate, ni dva eksplozivna punjenja, ni dva položaja topa, ni kretanja vazduha, čak ni gravitacione sile nisu iste, te ni putanje nisu iste. Vojnici su to iskusili. Drugi primer je pogrešan, jer gromobrani se i prave zato što predstavljaju manji otpor električnom pražnjenju, što znači da i drvo u koje je grom više puta udario je meta iz istog razloga. Pastirovo neznanje je tužna posledica nedovoljnog obrazovanja. Za sporni problem upućujem na veoma argumentovan i veoma opširan članak : V-1 leteća bomba u Vikipediji, ili na sajt: sr.m.wikipedia.org/sr- ec/v-1, u kojem je detaljno opisana odbrana Londona od projektila V-1. U tome su presudnu ulogu imale avijacija i artiljerija ali su značajno doprineli i nemački obaveštajci, jer su svi bili dvostruki agenti i pod potpunom kontroloom engleskih obaveštajnih službi. Svi projektili pa i oni koji su probili odbranu pogrešno su usmeravani lažnim instrukcijama prema uputstvima engleskih obaveštajnih službi. Znači eng.obaveštajne službe su rasturale pogodke V-1 a od statističara su tražili da odgovore na pitanje: da li su Nemci imali ciljeve ili su gađali nasumce a jedini izvor informacija koji su imali statističari bili su pogoci koje je rasturila sama obaveštajna služba. Iz ove besmislice zaključiti da je : „… primena statistike dovela do zaključka koji život znači.“, može samo propaganda superiornosti engleskog duha.