Теорија вероватноће је пуна парадокса предвиђајући исходе неких догађаја који су, на први поглед а некад и дубље, у колизији са здравим разумом и логиком. То се дешава најчешће због тога што људи превиђају (или не схватају) сложену зависност извесних фактора који на директан или индиректан начин утичу на исход посматраног догађаја. Коришћењем теорије вероватноће, у овом прилогу посматрамо теоријске шансе тројице учесника у тробоју пиштољима, при чему свако може да изабере на кога ће пуцати када на њега дође ред. Вероватноће погађања учесника се међусобно разликују. Победник је онај ко остане непогођен. Резултат је крајње неочекиван, ако се изабере права стратегија.
Проф др Миодраг Петковић
Следећа прича припада некадашњим временима када су се несугласице, а посебно питања увреда и одбране части, решавале двобојима. За данашње време то је не само суров већ и несхватљив начин спорења. Узгред, поменимо да је један од најуспешнијих дуелиста у историји био чувени руски песник Александар Пушкин (1799-1837). Он је учествовао у 29 двобоја, а у последњем је смртно рањен.
(Wikimedia Commons)
У нашој причи не ради се о необичном тробоју који због свог парадоксалног исхода већ деценијама збуњује читаоце и представља математички хит у литератури, а и на предавањима из теорије вероватноће. Једног хладног зимског дана ловци Сем, Бил и Дон отишли су у лов на суанске луминисцентне једнороге који живе једино у шумама провинције Суан. До једнорога је могуће доћи хаотичним цик-цак путањама које неодољиво подсећају на Шенбергове криве, које је открио их је 1938. године (Билтен америчког удружења математичара, 44, 1938). После дугог пешачења шумским стазама, на једном пропланку угледали су суанског луминисцентног једнорога и сви истовремено опалили из својих пушака. Једнорог је смртно погођен, а међу ловцима настала је препирка у вези с тим чији је хитац био смртоносан.
Свађа је предуго трајала и на крају су се Сем, Бил и Дон сагласили да спор реше пиштољима у тробоју под следећим условима. Ловци се налазе у теменима једнакостраничног троугла. Редослед пуцања одређује се жребом. Свако испаљује један хитац када на њега дође ред, при чему може да бира у кога пуцати. Обрачун се прекида када двојица буду погођена. Поредак у гађању, одређен жребом пре тробоја, не мења се.
Сва тројица знају да Сем никад не промашује, Бил погађа у 80%, а Дон у 50% случајева. Kоји од учесника тробоја има највише шанси да остане непогођен, подразумевајући да се сваки придржава оптималне стратегије? Наћи колика је вероватноћа за сваког од ловаца да остане неповређен.
Тробој на гробљу из филма The Good, the Bad and the Ugly
(1967) (youtube.com)
Овај проблем вероватно асоцира неке читаоце (нарочито на љубитеље филма) на завршну сцену из чувеног шпагети-вестерна The Good, the Bad and the Ugly, италијанског режисера Серђа Леонеа (1967) у коме Kлинт Иствуд (Blondie), Ли ван Kлиф (Angel Eyes) и Ели Валах (Tuco) рашчишћавају своје рачуне у тробоју на гробљу у међусобном револверашком обрачуну. Наравно, услови тог тробоја су сасвим другачији и у најмању руку нефер. Наиме, Иствуд је пре почетка тробоја испразнио револвер Валаху (фундаментално гнусан потез) и, наравно, концентрисао се једино на ван Kлифа чиме је стекао огромну предност. Додајмо да је Kлинт Иствуд (рођен 1930.) и у стварности надживео осталу двојицу: Ли ван Kлиф је умро 1989, а Ели Валах 2014. (у 99. години). Након 25 година чувени режисер и сценариста Kвентин Тарантино снимио је криминалистички филм Reservoir Dogs (1992) са сличним завршетком (слика у наслову).
Вратимо се тробоју ловаца Сема, Била и Дона. Веровали или не, највећу вероватноћу да остане непогођен у овом тробоју има Дон (око 52%), који важи за најгорег стрелца! За њим следи Сем (30%) који увек погађа, а (теоријски) најмање шансе има Бил, око 18%. Kако Сем и Бил, кад на њих дође ред, гађају један у другог (да би елиминисали бољег стрелца), оптимална стратегија Дона састоји се у томе да намерно промашује (пуца у ваздух) када на њега дође ред све док један од његових противника не буде погођен. После тога он гађа у преживелог имајући, свакако, веће преимућство у односу на њега (предност првог потеза).
Израчунавање поменутих вероватноћа захтева познавање основних теорема из теорије вероватноће. Узимајући у обзир да је највећи број читалаца највероватније није изучавао утоку школовања, ова израчунавања изостављамо. Уместо тога описаћемо интересантну шему помоћу које се може доћи до горњих вероватноћа уз мало стрпљења.
Уведимо најпре неке ознаке. Тако P(A) означава вероватноћу да се деси догађај А. Означимо са S догађај Sem je pogodio, a са S* супротан догађај Сем је промашио. Ознаке B, B*, D и D* имају аналогно значење у случају Била и Дона. Одговарајуће вероватноће једнаке су:
P(S) = 1, P(S*) = 1P(S) = 0,
P(B) = 4/5, P(B*) = 1P(B) = 1/5,
P(D) = 1/2 , P(D*) = 1P(D) = 1/2 .
Све дуеле можемо представити преко специјалног графа, тзв. „дрвета” дуела, слика 1. Исходи појединих дуела представљени су помоћу чворова графа (кружићи на слици 1), на пример, S → B значи да Сем погађа Била, D – означава да је Дон промашио, а P(S!) да је на крају тробоја Сем остао непогођен (победник тробоја). Аналогне ознаке важе и за Била и Дона. Гранама графа су додељене одговарајуће вероватноће: P(S B) = 1, P(D) = 1/2 итд.
Сл. 1 Граф тробоја
У почетку „стабло” дрвета се грана. Ово прозилази из чињенице да, ако први гађа Дон, он то чини с намером да промаши, после чега остају две могућности: гађа или Сем или Бил (обојица са намером да погоде један другог). У циљу одређивања шанси Била, Дона и Сема да из тробоја изађу непогођени, потребно је спровести следећи поступак:
- Kрајње чворове на подгранама посматране гране треба означити именом особе која је остала непогођена.
- Идући од крајњих чворова сваке од подграна према корену дрвета, узимајући притом у обзир само чворове означене истим именом (и то именом оног стрелца за кога тражимо вероватноћу да непогођен изађе из тробоја), множимо вероватноће назначене на свим гранама пута на који наилазимо. Добијени производ представља вероватноћу догађаја назначеног на крајњем чвору посматране гране (нпр. Бил погађа Дона (B → D) или Дон погађа Сема (D → S) итд.).
- Збир свих производа вероватноћа које се односе на исти догађај (нпр. Бил погађа Дона (B → D) даје вероватноћу за сваког од учесника у тробоју. При израчунавању ове вероватноће за Била и Дона јавља се бесконачно много подграна. Међутим, помоћу графа се лако утврђује законитост за општи члан добијеног бесконачног реда (прецизније, геометријског реда са количником 1/10).
На овај начин се добијају вероватноће за победу сваког од учесника тробоја:
P(S!) = 3/10 = 0.3 (30%),
P(B!) = 8/45 = 0.17777… (oko 18%),
P(D!) = 47/90 = 0.52222… (oko 52%).
Kада су једног познатог математичара питали да ли је изненађен парадоксалним решењем проблема тробоја, одговорио је: „Не знам шта да мислим. Али кад добро размислим, мислим да није испало онако како сам мислио.” На његовом месту, чувени књижевник Оскар Вајлд би рекао: „Не могу да не поверујем – јер је невероватно!”
У прилогу је разматран један парадокс објашњен теоријом вероватниће, који не мора да се деси у стварности. У наставку је изложен парадокс који се десио у стварности и, што је занимљиво, танком нити повезан је са описаним задатком о необичном тробоју. Овај нимало лак задатак поставио сам студентима најбоље генерације у историји Електронског факултета у Нишу (уписани 1989) као један од припремних задатака за испит из математике на другој години студија не очекујући да ће га ико решити. Ипак, десило се! Већ сутрадан студенткиња Јелена Вучковић (рођена 1971) доставила је тачно решење! Узимајући у обзир више елемената, она је вероватно најбољи студент у историји Нишког универзитета и прва је остварила просек 10 на Електронском факултету, и то у време када није било инфлације десетки.
Јелена Вучковић је каријеру наставила у иностранству, докторирала је на чувеном Kалифорнијском институту за технологију (Caltech), а данас је редовни професор на Стенфордском универзитету, једном од најпрестижнијих у свету. Добитица је више од 10 признатих светских награда, а 2007. и традиционалне Награде председника САД као најуспешнији научник млађи од 40 година. Она је шеф Департмана за електротехнику и профессор на Департману за примењену физику где као шеф лабораторије за квантну фотонику и нанотехнологије истражује у области нанофотонике, квантне оптике, оптоелектронике и квантних информационих технологија. Такође је консултант у неколико научних института, компанија за полупродничку технолигију и консултант Националног фонда за науку (NSF). Звучи невероватно, ови светски успеси нису били довољни да буде изабрана за иностраног члана САНУ.
(Илустрација финале филма Reservoir Dogs, 1992)
