Моћ једног појма у математици: Еварист Галоа, математичар који је у двадесетој и по години погинуо у двобоју „због бесрамне кокете”, у свом кратком и бурном животу формулисао је епохално решење: „Нека једначина је решива у радикалима, ако и само ако је група Галоа те једначине решива”
Проф. др Милан Д. Тасић
„Па, варварин сам јер ме нико не разуме”
(Овидије)
Шта је то: „Решити једначину”?
Оно што је најпростије у рачуну, попут: Који број помножен сам с собом даје јединицу?, сâмо је родно место једног појма у математици, који ће да уједини њене области, али и захвати саму суштину свеколике стварности уопште. Јер решити једначину која се чита као: „икс на квадрат једнако један”, не значи само „пребирати” међу бројевима и наћи да минус један и један имају то својство, већ и више тога другог: наиме, саберу ли се дају они нулу, или кад се помноже са један не мењају се и слично. Ту „слику” једнако понављају и решења једначине: „икс на четврти минус један једнако нули”, јер су и овде четири броја: минус један, један, минус i, i на кружници око нуле, као темена квадрата, вишеструко симетрично распоређени у равни.
Као што и науке које доносе најтачније
исказе о стварности: од квантне физике
до астрономије налазе, у наше доба, да
управо језик теорије група пристаје оној
области на коју се односе, чинећи
могућим да све оне буду јединствена
наука о једном те истом бићу.
Запало је то откриће Еваристу Галоа (1811-1832), који је „због бесрамне кокете… био дао часну реч двојици патриота” и изашао на двобој да, рањен, буде остављен да се батрга крај језера, све док га неки сељак није пренео у болницу, где сутрадан умире. И само дан пошто се избавио тамнице и другу Огисту Шевалијеу завештао странице свог рукописа, јадикујући што му „судбина није подарила да проживи и домовина сазна његово име”. Имао је тада двадесет и по година и било је то у деценији у којој се, по предрасуди времена, угасио, такође у двобоју, и живот Александра Сергејевича Пушкина.
Одсечак из рукописа (Википедија)
Страст за математиком
То је појам „групе” у математици који је, по Поенкареу – као број, као скуп… – готово уређен у нашем духу, да је и сама та наука, по њему, не друго до „историја група”. И не само да је, још док је промишљан, омогућио он услове решивости једначине произвољног степена, већ је – сад тачо одређен – остао да буде необично плодан у самој алгебри до данас, испољивши, уз то, и синтетичку моћ да разне области математике буду суштински протумачене у његовим терминима.
Као што и науке које доносе најтачније исказе о стварности: од квантне физике до астрономије налазе, у наше доба, да управо језик теорије група пристаје оној области на коју се односе, чинећи могућим да све оне буду јединствена наука о једном те истом бићу.
Наиме, наћи непознату величину на основу других, познатих, или „решити једначину” у математици, једно је опште место у њој, а имамо да су, у 16. веку, Николо Фонтана (Тартаља) и Лодовико Ферари учинили то с (општом) једначином трећег, односно једначином четвртог степена. Али, читава три века иза тога ником није полазило за руком да реши једначину петог степена (нити степена већег од пет), да би, с открићем комплексних бројева, био проблем унеколико прецизиран (Гаус), када је у формулацији задобио додатак: „решење у радикалима”. Да, наиме, формула–образац који омогућава сва решења може уз четири основне операције да садржи и корене.
Потом, Нилс Абел (1824, с 22 године) налази да има једначина степена већег од четири одиста нерешивих у радикалима и бива (постхумно) награђен (1830, Париска Академија наука), па је остало да буду нађени услови при којима су, у општем случају, неке од једначина решиве, а друге нису.
Еварист Галоа је имао 16 година када је, због реторике, из трећег разреда Припремне школе био враћен у други и кад му долази у руке књига „Основи геометрије”, од Лежандра и он ће је, као роман, да прочита, за два дана. Била је то књига која је, међу другим, пренела остварење оне од најређих идеја у науци математике и људског духа, уопште: да оно визуелно, облик може бити замењено изразом, бројем, а сва геометрија буде протумачена на начин алгебре (Декарт).
У тој је идеји могуће, нашао он и смелост за властита истраживања, па је с неким радовима Лагранжа и Гауса о „решивости једначина” ступио на трагу идеје о извесном дубљем смислу који скрива у себи замена места (пермутација) корена једначине, а који је био слутио већ и Лагранж. Повољно је било и то да су Академије наука у то доба имале слуха за „ученике”, њихове радове представљале и писале извештаје о њима – да је Лагранж, рецимо, с двадесет година изнео пред Берлинску академију чак 80 својих радова. Галоа је био ученик лицеја Луј л` Гран у Паризу (1823-1829), а потом Припремне школе, док су славна имена највише институције науке у земље били: Коши, Лиувил, Поасон…
Најзад се може рећи, при свему томе,
да Галоа довршава своје доказе јануара
1831. године и да их, по савету Поасона,
шаље – по трећи пут – Академији, да их
и сам он потом одбија, уз примедбу за
ауторову претерану шкртост у изразу…
О Еваристу ће се његов учитељ у школи да изрази: „Њиме је овладала страст за математиком, па је боље да се родитељи сложе да се бави он само њоме. Јер на часу реторике само губи време и бива кажњаван”, као што ће и његов наставник математике Луј-Пол Ришар наћи, рецимо: „Галоа се занима само за више области математике”. Овај последњи ће му помоћи такође да у марту 1829. објави свој први рад: „Доказ теореме о периодички непрекидним разломцима”, да би 25 маја исте године предао он Академији и рукопис који је остао да буде у основи теорије група: „Мемоар о условима решивости једначина у радикалима”.
Огист Коши (Википедија)
Али – из разлога који су остали нејасни – Огист Коши, академик, не „удостојава” рад рецензијом, чак ни јануара месеца следеће године, кад је био обећао да то учини, па је Еваристу остало да га пошаље на конкурс за награду те исте академије, фебруара 1930. Овога пута, пак, се рукопису губи траг, а у међувремену умире Фурије, секретар ове установе, коме је био он предат. Најзад се може рећи, при свему томе, да Галоа довршава своје доказе јануара 1831 године и да их, по савету Поасона, шаље – по трећи пут – Академији, да их и сам он потом одбија, уз примедбу за ауторову претерану шкртост у изразу…
У чему је суштина тог доказа, у математичким терминима? Речју „група” означава Галоа, радије, пример тог општег појма, или оно што је данас „група пермутација” у алгебри, док би се неколика својства њена разабрала из следећег. Број 1 се може да „распореди” на један начин (1), бројеви 1 и 2 на 2 (12, 21), а три броја 1, 2 и 3 на шест начина (123, 132… 321) итд.
Бива тиме постулирана и операција између њих у смислу да два начина одређују неки трећи, кад је и та операција асоцијативна, а у сваком од случајева се може наћи и, за све елементе, један „неутралан”, као и за сваки од њих по један „инверзан” елеменат. Такви скупови, каже се, имају структуру групе. Притом су подгрупе делови групе који имају та иста својства, да би од њих, једно посебно својство издвајало тзв. „нормалне подгрупе”. Имају оне своје индексе итд. и ваља још за дату групу уочити највећу нормалну подгрупу, па за ову поново то исто итд. Буду ли сви индекси тих подгрупа прости бројеви, група је, каже се „решива”.
Еварист Галоа свакој једначини придружује „полиноминалну функцију корена” – могу да изразе оне њихова симетрична својства – док би оно што се данас зове „група Галоа” била у ствари: највећа група пермутација са својством да свака смена елемената у функцији доводи до исте вредности. У тим се терминима, управо, и формулише решење овог епохалног проблема и оно гласи: „Нека једначина је решива у радикалима, ако и само ако је група Галоа те једначине решива”. Тако се налази да су 2 и 3 (дакле, прости бројеви!) индекси две нормалне подгрупе код кубних једначина, па су оне решиве, у општем случају, а да су такви индекси подгрупа код једначина петог степена бројеви 2 и 60 – но, 60 није прост број!
Јунак романа „Алгоритам”
До апстрактног појма групе се, дакле, Галоа није уздигао, као што су и „продужења” тога појма: прстен, поље, тело… дошла касније и тако ће већ 1872. године, рецимо, Феликс Клајн наћи да оно што сваку од геометрија: еуклидску, афину, пројективну… суштински одређује јесте, управо, група трансформација која оставља инваријантним поједино својство објеката простора (Ерлангенски програм).
После Декартове аналитичке геометрије, од највишег је значаја било то по алгебризацију ове науке, а када је теорија скупова (Кантор) увелико остварила свој тријумфалан поход с намером да обухвати све гране математике, показало се да је и она сама (тек) пример тзв. „теорије категорија”, која је – може се наћи – једна, радије, лингвистичка преформулација теорије група. Булове алгебре, векторски простори, тополошки простори… примери су теорије категорија, а занимљиво је рећи да је и у њој самој начињен корак даље до тзв. „теорије топоса” (Гротендик и др.) која се, иначе, показује податном и за сам филозофски „дијалог” с стварношћу.
Таквом се показала потенција овога појма
коју је ослободио он у науци математике
до данас. „Математичари ће се увек
интересовати за Евариста Галоа”, каже
Жил Танери. „Он је од оних о којима се
жели да све зна”, речи су Каролине Ерхарт.
Наиме, следећи смисао речи топос (место), таква се теорија може да сазда по месту на коме се примењује, јер је још из топологије извесно да су својства елемената „последица” околине или саме структуре објеката, да је и важећа логика подређена томе. Имамо у виду, управо, теорему (Диаконеску) према којој: буде ли из сваког дела домена могуће издвојити по један елеменат (аксиома извора), важила би у тој области класична логика.
Тополошко је, дакле, надстављено над логичким, баш као што су и, у живој и неживој природи, ствари и бића одређена средином, или као што човек своју генеричку суштину остварује у заједници људи. Теорија категорија потом (а онда и теорија топоса) ваљано изражава и ону суштинску дуалност света (материја–антиматерија, честица–талас, број–лик… ), јер се добија поново категорија и онда кад се смер стрелица између објеката промени итд.
Трагични двобој (Википедија)
Таквом се показала потенција овога појма коју је ослободио он у науци математике до данас. „Математичари ће се увек интересовати за Евариста Галоа”, каже Жил Танери (1908). „Он је од оних о којима се жели да све зна”, речи су Каролине Ерхарт (2011). Ми имамо да би неколике друге константе животописа ове „математичке иконе” биле: склоност ка грчком и латинском језику, ка стиховима у школи, која му је дошла од мајке, а она га је и сама образовала до његове тринаесте године и уписала у лицеј, или то да га је директор Припремне школе искључио из ње, после, иначе, анонимног писма у новинама о његовом држању током она „три славна дана” револуције 1830. године, на улицама Париза. Да би се поразно одразила на њега, свакако, и два узалудна покушаја да се упише он у Политехничку школу, када је, други пут, био бацио у лице крпу испитивачу, јер му је поставио неко, до увредљивости, испразно питање…
Горљив републиканац, у доба монархија, најпре Карла X, а после Луја-Филипа, Еварист Галоа је и два пута био на суду, да би осам месеци провео у затвору Света Пелагија у Паризу.
Написан је и роман „Алгоритам” о њему и снимљен филм, а јавља се и јунаком цртаног филма „Косинус” за популаризацију науке код деце. Или: „Блештава светлост, страшна олуја, вечитом тамом застрта”, како је описао сам своју прекратку мисију на овом свету, у писму у ноћи пре дуела.
