Ближе говорећи, једну исту статистичку законитост расподеле ми препознајемо, рецимо, код понашања јединки у паници и кретања акција на берзи, код топлотне проводљивости метала и језгра тешких атома, односно кристала и облика протеина итако даље, као што и, као математички објекти, налазе матрице примене у геометрији, квантној теорији, теорији струна – и не само у њима.
Проф. др Милан Д. Тасић
Реч матрица, овога пута једнако и математички појам, јесте по свему срећно одабран термин да ваљано изрази оно на шта се односи у науци. Јер филозофи, научници бивају на почетку наведени да неком речи из обичног језика именују суштину домишљеног појма, да тиме, по правилу, само упуте на нешто што ће одмах затим тачно да одреде. Иначе, проблем именовања је и соктатовски или основни проблем у филозофији, а који је први од филозофа-научника решавао по улицама и трговима Атине, запиткујући редом пролазнике: „Шта је врлина”, „Шта је побожност” и слично, а који сам није успевао да реши.
Ипак је остало то занавек као Сократов завет сваком будућем напору у науци да промишља свет у појмовима. Додајмо и то да се у Средњем веку нашироко расправљало о тзв. проблему универзалија у науци, а то је проблем да ли општи појмови постоје реално у стварности (реализам) или су само називи, имена (номинализам). А јер би, рецимо, за верника, Бог као општи појам постојао у првом случају, а не у другом итд.
Па кад кажемо да је реч матрица срећно изабран термин да означи оно на шта се односи, имамо у виду, с једне стране, широки спектар феномена у природи и друштву на који се она може ваљано да примени, а с друге, сам корен ове речи и њено значење у језику.
Имамо тако да је, рецимо, интуитиван смисао речи прстен у говору сасвим удаљен од одредбе истоименог појма у алгебри, а што је у већој или мањој мери случај с готово сваким од појмова у математици – и не само у њој. Група, рецимо, овде није толико скуп елемената, колико одређени однос између њих, као што имају други смисао и речи идеал, филтер, решетка, сноп итд. у говорном језику, а други у математици.
Па кад кажемо да је реч матрица срећно изабран термин да означи оно на шта се односи, имамо у виду, с једне стране, широки спектар феномена у природи и друштву на који се она може ваљано да примени, а с друге, сам корен ове речи и њено значење у језику. Наиме, појаве на које су нарочито случајне матрице примењиве крећу се од самог хаоса у природи, преко сваке од наука – математике, физике, хемије и других, па све до цунамија или положаја дрвећа у шуми, односно чекања метроа на станици или распореда аутомобила дуж улице. Ближе говорећи, једну исту статистичку законитост расподеле ми препознајемо, рецимо, код понашања јединки у паници и кретања акција на берзи, код топлотне проводљивости метала и језгра тешких атома, односно кристала и облика протеина итако даље, као што и, као математички објекти, налазе матрице примене у геометрији, квантној теорији, теорији струна – и не само у њима.
А та најшира примена њихова даје за право инвенцији речи матрица, чији је корен мат у мноштву језика исти као и корен наших речи мајка (мати), али и речи материја, материца и сл. Kао што је и у старогрчком језику то реч meter, у латинском mater, у енглеском mother итд.
Иначе, матрице у математици су шеме бројева поређаних водоравно и усправно у оквиру неке мале (или средње) заграде. Бројеви поређани водоравно чине редове, а усправно – колоне матрице, па ако има она m редова и n колона, кажемо да је димензија (или тип) матрице m×n. Потом, она је квадратна, за m=n, симетрична ако су јој елементи симетрично распоређени у односу на главну дијагоналу, а хермитска онда када су елементи, као конјуговано-комплексни бројеви, симетрично распоређени у односу на исту дијагоналу. Иначе, њих обележавамо великим словима латинице А, B, C…
Имамо затим да ако је дата матрица А и скалар k, нову матрицу kА можемо да добијемо тако што сваки елеменат А помножимо са k. Или пак да од две матрице А и B – али истог типа – добијемо матрицу
C, њихов збир А+B, као и од матрице А типа m×n и матрице B типа n×p, матрицу C, њихов производ АB, типа m×p.
Иначе, изразиту улогу ови математички објекти стичу као оператори или линеарна пресликавања. Реч је о могућности да, рецимо, неки низ од m бројева путем одређене матрице типа m×n буде пресликан у други низ од н бројева, а што би у физичком свету одговарало еволуцији (промени) неке појаве од стања одређеног с m параметара до другог стања исте појаве с n параметара, а што би био и довољно општ случај у природи. На пример, радио-одашиљач би долазне сигнале фреквенција f1, f2, f3 (вектор f) модулирао у три нове фреквенције f1*, f2*, f3* (вектор f*) ради преноса, а што би било изражено извесном матрицом M, типа 3×3, при чему је f*=Mf.
Матрични рачун је, дакле, нашао места у процени нивоа енергије атомских језгара, управо налажењем спектра њиховог Хамилтоновог оператора, а не само мпутем мерења. Но, ако је у случају лаких језгара, попут деутеријума, које чине један протон и један неутрон, овај спектар прост, није то случај свакако код тешких елемената, као што је, рецимо, уранијум 238, који садржи 92 протона и 146 неутрона. Стога ће педесетих година прошлога века Јуџин Пол Вигнер (Eugene Paul Wigner), атомски физичар и нобеловац (1963. година), од тачног израчунавања нивоа енергије атомских језгара померити свој интерес на његову статистичку расподелу између два временска тренутка. Цртајући одговарајуће хистограме, када је увидео био да је код различитих врста језгара уранијума 238, торијума 232, кадмијума 110 и других њихов тип расподеле готово исти (означио га је са GOE), као и исти код друге две групе тешких метала (GUE и GSE).
И тако је то исто тајанствено својство случајних матрица нашло одраза и у низу других открића у теоријској физици, попут вероватноће преласка из једног у друго квантно стање у теорији струна, чија је улога, као што је познато, да измири квантну механику и општу теорију релативитета.
Други (смео) искорак Вигнеров у овој области био је у томе што се уместо спектра Хамилтоновог оператора (иначе, сувише сложеног) латио он да проучава матрице великих димензија и сa случајно одабраним елементима у њима. Реч је о елементима – у делу матрице изнад главне дијагонале – одабраним по Гаусовом закону вероватноће, док су они испод дијагонале ти исти елементи само симетрично распоређени у односу на њу. Оно што је уочио било је пак да се крива статистичке расподеле сопствених вредности случајних матрица великих димензија и кад ове теже у бесконачност, приближава хистограму ослобађања енергије тешких језгара, мерених дифузијом неутрона.
Гаусова вероватноћа
Тако је овај тип случајних матрица свратио на себе интерес истраживача, не само у случају симетричних матрица, већ и хермитских, кватернионских и других и не само у овој области, већ и, уопште, у математици, физици, хемији, биологији, економији и другим, задобивши карактер једне универзалне расподеле у природи, а која се приближава Пуасоновој криви расподеле случајних променљивих. (види слику). Оно што се показало потом било је да се универзалност о којој је реч не дугује закону вероватноће при избору случајних променљивих, већ самој симетрији линеарног оператора, њега као матрице извесне димензије.
Пуасонова крива
И тако је то исто тајанствено својство случајних матрица нашло одраза и у низу других открића у теоријској физици, попут вероватноће преласка из једног у друго квантно стање у теорији струна, чија је улога, као што је познато, да измири квантну механику и општу теорију релативитета. Не би ли на тај начин била изграђена извесна кохерентна теорија свега, као квантна гравитација. Наиме, показано је да је она иста као и вероватноћа случајних матрица чија је спектрална крива она површина око које обитавају димензије струна које се не уочавају у макро свету, а којих је више од четири.
Рецимо, најзад, да својства случајних матрица ваљано објашњавају и различите феномене с хаотичним процесима у природи, те да утолико и привлаче знатижељу стваралаца у науци, што могу да се неочекивано нађу у основи најудаљенијих појава и процеса у природи.
А с тим у вези поменимо и чувену Риманову (Bernhard Riemann) зета функцију из 1891. године, с бесконачно много нула, чије би познавање омогућило увид у распоред простих бројева у скупу свих целих бројева. Сам Риман је истакао и хипотезу да сви прости бројеви (сем тривијалних) леже на истој правој а што ни он ни било ко други није успео да докаже. Но, сада је мноштво нула зета функције већ израчунато на рачунару, да би 1972. године на универзитету Принстон двојица математичара Х. Монтгомери (Hugh Montgomery) и Ф. Дајсон (Freeman Dyson) показали да је хистограм између нула зета функције приближно исти као и Вигнерова расподела о којој смо говорили.
Законитост која се препознаје сем тога и у најразличитијим околностима у природи и друштву, попут оне коју су описали двојица Чеха Милан Kрбалек (Мilan Krbálek) и Петр Себа (Petr Seba), а који су истраживали време чекања аутобуса – кад нема реда вожње – на некој станици у граду Kвернавака (Cuernavaka), у Мексику. Да би други од њих испитивао и празан простор између аутомобила паркираних дуж неке улице у граду и дошао до истог закључка итд.
Учесталост долазака
Рецимо, најзад, да својства случајних матрица ваљано објашњавају и различите феномене с хаотичним процесима у природи, те да утолико и привлаче знатижељу стваралаца у науци, што могу да се неочекивано нађу у основи најудаљенијих појава и процеса у природи. Поменимо, у том смислу, тројицу математичара, добитника Филдсове медаље: Теренса Таоа (Terence Tao), Максима Kонцевича (Maxim Kontsevitch) и Едварда Витена (Edward Witten), а који су значајно допронели развоју теорије случајних матрица.
